资源简介

第11章　§11.1　余弦定理 课后作业
一、单选题
1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝，b＝2，c＝5，则A的大小为(　　)
A.30° B.60° C.45° D.90°
答案　B
解析　由余弦定理，得cos A＝，又0°2.某人向正东方向走x km后向右转150°，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好是 km，那么x的值是(　　)
A. B.2 C.2或 D.3
答案　C
解析　如图所示，在△ABC中，AB＝x km，BC＝3 km，AC＝ km，B＝30°.
由余弦定理，得()2＝x2＋32－2×3×x×，所以x2－3x＋6＝0，解得x＝或x＝2.
3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2－c2＋b2<0，则C是(　　)
A.直角 B.钝角 C.锐角 D.都有可能
答案　B
解析　由余弦定理知cos C＝<0，故C是钝角.
4.若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为(　　)
A. B.8－4 C.1 D.
答案　A
解析　由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C＝(a＋b)2－2ab－2abcos C，
得(a＋b)2－c2＝2ab(1＋cos C)＝2ab(1＋cos 60°)＝3ab＝4，所以ab＝.
5.在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则cos B等于(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　∵b2＝ac，c＝2a，∴b2＝2a2，∴cos B＝.
6.若△ABC的三边长分别为AB＝7，BC＝5，CA＝6，则·的值为(　　)
A.19 B.14 C.－18 D.－19
答案　D
解析　由余弦定理，得cos B＝＝.
所以·＝||||cos(π－B)＝7×5×＝－19.
7.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2＝ac，若m＝sin B＋cos B，则实数m的取值范围为(　　)
A.(，2] B. C.[，2] D.
答案　C
解析　由余弦定理得cos B＝＝≥，当且仅当a＝c时取等号，∵08.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos2，则△ABC是(　　)
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形
答案　A
解析　在△ABC中，因为cos2，所以，所以cos A＝.
由余弦定理，知cos A＝，所以b2＋c2－a2＝2b2，即a2＋b2＝c2，所以△ABC是直角三角形.
二、多选题
9.(多选)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a2＋c2－b2)tan B＝ac，则角B的值可以为(　　)
A. B. C. D.
答案　BC
解析　由余弦定理cos B＝，得a2＋c2－b2＝2accos B.
又(a2＋c2－b2)tan B＝ac，∴2accos B·tan B＝ac，∴sin B＝.
∵B∈(0，π)，∴B＝或.
10.(多选)已知锐角三角形的三边长分别为2，3，x，则x的取值可以是(　　)
A.1 B.2 C.3 D.2
答案　CD
解析　由题设知1当x为最大边时，由余弦定理可知22＋32－x2>0，解得3当x不是最大边时，则3为最大边，只要保证3所对的角为锐角就可以了，则有22＋x2－32>0，解得当x＝3时，三边长分别为2，3，3，构成锐角三角形.
综上可知x的取值范围为(，).故结合选项可知C，D满足题意.
三、填空题
11.某人从A处出发，沿北偏西60°方向行走2 km后到达B处，再沿正东方向行走2 km到达C处，则A，C两地的距离为　　　　km.
答案　2
解析　如图所示，由题意知，∠ABC＝30°，又AB＝2 km，BC＝2 km，
由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos ∠ABC＝12＋4－2×2×2×＝4，所以AC＝2 km，所以A，C两地的距离为2 km.
12.在△ABC中，AB＝3，BC＝，AC＝4，则A＝　　　　，AC边上的高为　　　　.
答案　　
解析　由余弦定理，可得cos A＝，
又0设AC边上的高为h，则h＝AB·sin A＝3×.
13.已知三角形的三边长分别为a，b，(a>0，b>0)，则其最大角为　　　　.
答案　120°
解析　易知>a，>b，设最大角为θ，则cos θ＝＝－，
又∵0°<θ<180°，∴θ＝120°.
14.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且b=c，=.若点O是△ABC外一点，∠AOB=θ(0<θ<π)，OA=2OB=2，则平面四边形OACB面积的最大值是　　　　.
解析　如图，在△ABC中，∵=，
∴sin Bcos A+cos Bsin A=sin A，即sin(A+B)=sin(π-C)=sin C=sin A，∴A=C，
又b=c，故△ABC为等边三角形.
∴S四边形OACB=S△AOB+S△ABC=·OA·OB·sin θ+·AB2·sin
=×2×1×sin θ+(OA2+OB2-2OA·OB·cos θ)=sin θ-cos θ+=2sin+.
∵0<θ<π，∴-<θ-<，故当θ-=，即θ=时，sin取得最大值1，
故S四边形OACB的最大值为2+=.
反思感悟　求解平面图形有关的面积最值(范围)问题可以先转化为三角形的面积，用三角形的面积公式表示，进而利用三角函数的有界性、基本不等式、函数单调性求解.
四、解答题
15.已知A，B，C为△ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，c，且2cos2＋cos A＝0.
（1）求A的大小；
（2）若a＝2，b＝2，求c的值.
解　（1）∵cos A＝2cos2－1，2cos2＋cos A＝0，∴2cos A＋1＝0，∴cos A＝－，∵0°（2）由余弦定理，知a2＝b2＋c2－2bccos A，即(2)2＝22＋c2－2×2·c×，
化简得c2＋2c－8＝0，解得c＝2(c＝－4舍去).
16.已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc.
（1）求A的大小；
（2）若b＋c＝2a＝2，试判断△ABC的形状.
解　（1）∵(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，∴a2＝b2＋c2－bc，
而a2＝b2＋c2－2bccos A，∴2cos A＝1，∴cos A＝.
∵A∈(0，π)，∴A＝.
（2）在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos A，且a＝，∴()2＝b2＋c2－2bc·＝b2＋c2－bc. ①
又∵b＋c＝2，与①联立，解得bc＝3，
∴∴b＝c＝，∴△ABC为等边三角形.
17.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos C＋(cos A－sin A)cos B＝0.
（1）求B的大小；
（2）若a＋c＝1，求b的取值范围.
解　（1）由已知得－cos(A＋B)＋cos Acos B－sin Acos B＝0，即sin Asin B－sin Acos B＝0.
因为sin A≠0，所以sin B－cos B＝0.
又cos B≠0，所以tan B＝.
又0（2）由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B.
因为a＋c＝1，cos B＝，所以b2＝3.
又0即b的取值范围为.
第9页 共10页第11章　§11.1　余弦定理 课后作业
一、单选题
1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝，b＝2，c＝5，则A的大小为(　　)
A.30° B.60° C.45° D.90°
2.某人向正东方向走x km后向右转150°，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好是 km，那么x的值是(　　)
A. B.2 C.2或 D.3
3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2－c2＋b2<0，则C是(　　)
A.直角 B.钝角 C.锐角 D.都有可能
4.若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足(a＋b)2－c2＝4，C＝60°，则ab的值为(　　)
A. B.8－4 C.1 D.
5.在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则cos B等于(　　)
A. B. C. D.
6.若△ABC的三边长分别为AB＝7，BC＝5，CA＝6，则·的值为(　　)
A.19 B.14 C.－18 D.－19
7.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2＝ac，若m＝sin B＋cos B，则实数m的取值范围为(　　)
A.(，2] B. C.[，2] D.
8.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos2，则△ABC是(　　)
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形
二、多选题
9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a2＋c2－b2)tan B＝ac，则角B的值可以为(　　)
A. B. C. D.
10.已知锐角三角形的三边长分别为2，3，x，则x的取值可以是(　　)
A.1 B.2 C.3 D.2
三、填空题
11.某人从A处出发，沿北偏西60°方向行走2 km后到达B处，再沿正东方向行走2 km到达C处，则A，C两地的距离为　　　　km.
12.在△ABC中，AB＝3，BC＝，AC＝4，则A＝　　　　，AC边上的高为　　　　.
13.已知三角形的三边长分别为a，b，(a>0，b>0)，则其最大角为　　　　.
14.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且b=c，=.若点O是△ABC外一点，∠AOB=θ(0<θ<π)，OA=2OB=2，则平面四边形OACB面积的最大值是　　　　.
四、解答题
15.已知A，B，C为△ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，c，且2cos2＋cos A＝0.
（1）求A的大小； （2）若a＝2，b＝2，求c的值.
16.已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc.
（1）求A的大小； （2）若b＋c＝2a＝2，试判断△ABC的形状.
17.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos C＋(cos A－sin A)cos B＝0.
（1）求B的大小； （2）若a＋c＝1，求b的取值范围.
第9页 共10页第11章　§11.1　余弦定理
余弦定理的证明
问题　在Rt△ABC中，已知两直角边a，b和C＝90°，则c2＝a2＋b2.那么你能用所学知识研究一般的三角形中，是否也有类似的结论吗？
提示　如图，在△ABC中，有向量等式，联想＝||2，
所以·＝()·()＝＋2·
＝||2＋2||||cos(180°－A)＋||2＝c2－2cbcos A＋b2，即a2＝b2＋c2－2bccos A.
知识梳理
1.余弦定理
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有
余弦定理 语言 叙述 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍
公式 表达 a2＝b2＋c2－2bccos A， b2＝c2＋a2－2cacos B， c2＝a2＋b2－2abcos C.
余弦定理 推论 cos A＝， cos B＝， cos C＝.
2.解三角形
我们把三角形的三个角和三条边叫作三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫作解三角形.
3.利用余弦定理，可以解决以下两类解三角形的问题：
（1）已知三边，求三个角；
（2）已知两边及一角，求第三边和其他两个角.
注意点：
（1）勾股定理是余弦定理的一个特例.
（2）余弦定理把用“边角边”和“边边边”判定三角形全等的方法从数量的角度进行了刻画.
（3）已知两边及其中一边的对角也可以利用余弦定理建立一元二次方程求第三边.
题型1 已知两边及一角解三角形
例1　在△ABC中，已知b＝3，c＝3，A＝30°，求a的值.
解　由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A＝9＋27－2×3×3×＝9，所以a＝3.
延伸探究　把本例条件A＝30°换成B＝30°，求C.
解　由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B，即32＝a2＋(3)2－2a×3×cos 30°，
即a2－9a＋18＝0，解得a＝3或a＝6.
当a＝3时，A＝30°，C＝120°；
当a＝6时，由余弦定理得cos A＝＝0，又0°反思感悟　已知三角形的两边及一角解三角形的方法
已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角.若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边.
跟踪训练1　已知在△ABC中，
（1）a＝1，b＝2，cos C＝，则c＝　　　，sin A＝　　　. （2）a＝，c＝2，cos A＝，则b＝　　　.
解析　（1）根据余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝12＋22－2×1×2×＝4，解得c＝2.
由a＝1，b＝2，c＝2，得cos A＝，所以sin A＝ .
（2）由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得5＝b2＋4－2×b×2×，即3b2－8b－3＝0，解得b＝3.
题型2 已知三边解三角形
例2　在△ABC中，已知a＝2，b＝6＋2，c＝4，求A，B，C的大小.
解　根据余弦定理，得cos A＝＝.
∵A∈(0，π)，∴A＝，cos C＝＝，
∵C∈(0，π)，∴C＝.∴B＝π－A－C＝π－，∴A＝，B＝，C＝.
反思感悟　已知三角形的三边解三角形的方法
利用余弦定理求出三个角的余弦值，进而求出三个角.
跟踪训练2　在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a∶b∶c＝3∶2∶4，则cos C＝　　　.
解析　由题意可设a＝3k(k>0)，则b＝2k，c＝4k，所以cos C＝＝－.
题型3 余弦定理的应用
例3.1 在△ABC中，若acos B＋acos C＝b＋c，试判断该三角形的形状.
解　由acos B＋acos C＝b＋c及余弦定理，得a·＋a·＝b＋c，即＝b＋c，
整理得(b＋c)(a2－b2－c2)＝0.
因为b＋c≠0，所以a2－b2－c2＝0，即a2＝b2＋c2，故△ABC是直角三角形.
跟踪训练3.1　在△ABC中，A＝60°，a2＝bc，则△ABC一定是(　　)
A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等边三角形
解析　在△ABC中，因为A＝60°，a2＝bc，
所以由余弦定理可得，a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－bc，
所以bc＝b2＋c2－bc，即(b－c)2＝0，所以b＝c，结合A＝60°，可得△ABC一定是等边三角形.
例3.2 如图所示为起重机装置示意图.支杆BC＝10 m，吊杆AC＝15 m，吊索AB＝5 m，求起吊的货物与岸的距离AD.
解　在△ABC中，AC＝15(m)，AB＝5(m)，BC＝10(m)，
由余弦定理得cos∠ACB＝＝＝－，sin∠ACB＝.
又∠ACB＋∠ACD＝180°，∴sin∠ACD＝sin∠ACB＝.
在Rt△ACD中，AD＝AC·sin∠ACD＝15×(m).∴起吊的货物与岸的距离AD为 m.
反思感悟　（1）利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，一般有两条思考路线
①先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系；
②先化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系.
（2）判断三角形的形状时，经常用到以下结论
①△ABC为直角三角形 a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋c2；
②△ABC为锐角三角形 a2＋b2>c2，且b2＋c2>a2，且c2＋a2>b2；
③△ABC为钝角三角形 a2＋b2（3）解决实际问题其实只比解三角形多一步，即把实际问题中涉及的量纳入到图形中.这一过程中要特别注意准确理解和翻译相关术语.
跟踪训练3.2　某观测站C与两灯塔A，B的距离分别为3 km和5 km，测得灯塔A在观测站C北偏西50°，灯塔B在观测站C北偏东70°，求两灯塔A，B之间的距离.
解　依题意知在△ABC中，AC＝3(km)，BC＝5(km)，∠ACB＝120°.
由余弦定理得，AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝32＋52－2×3×5×＝49(km2).
所以AB＝7(km).即两灯塔A，B之间的距离为7 km.
巩固提升
1.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝4，b＝5，c＝，则C＝　　　.
解析　由余弦定理，得cos C＝
＝＝－，
C为△ABC的内角，所以C＝120°.
2.一个三角形的两边长分别为5和3，它们夹角的余弦值是－，则该三角形的第三条边长为(＝　　　.
解析　设第三条边长为x，则x2＝52＋32－2×5×3×＝52，所以x＝2.
3.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2－b2＋c2＝ac，则B＝　　　.
解析　∵a2－b2＋c2＝ac，∴cos B＝，又B为△ABC的内角，∴B＝.
4.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c2＝bccos A＋cacos B＋abcos C，则△ABC是　　　.三角形.(填“锐角”“直角”或“钝角”)
答案　直角
解析　由余弦定理得c2＝bc·＋ac·＋ab·，
即c2＝a2＋b2，所以△ABC是直角三角形.
5.在锐角中，，则的取值范围为　　　.
【分析】由余弦定理可，结合为锐角三角形可得答案.
【详解】由余弦定理可知：，
在锐角三角形中又有，
即
故答案为：C．
第9页 共10页第11章　§11.1　余弦定理
余弦定理的证明
问题　在Rt△ABC中，已知两直角边a，b和C＝90°，则c2＝a2＋b2.那么你能用所学知识研究一般的三角形中，是否也有类似的结论吗？
知识梳理
1.余弦定理
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有
余弦定理 语言 叙述 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍
公式 表达
余弦定理 推论
2.解三角形
我们把三角形的三个角和三条边叫作三角形的元素.
已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫作解三角形.
3.利用余弦定理，可以解决以下两类解三角形的问题：
（1）已知三边，求三个角；
（2）已知两边及一角，求第三边和其他两个角.
注意点：（1）勾股定理是余弦定理的一个特例.
（2）余弦定理把用“边角边”和“边边边”判定三角形全等的方法从数量的角度进行了刻画.
（3）已知两边及其中一边的对角也可以利用余弦定理建立一元二次方程求第三边.
题型1 已知两边及一角解三角形
例1　在△ABC中，已知b＝3，c＝3，A＝30°，求a的值.
延伸探究　把本例条件A＝30°换成B＝30°，求C.
跟踪训练1　已知在△ABC中，
（1）a＝1，b＝2，cos C＝，则c＝　　　，sin A＝　　　.
（2）a＝，c＝2，cos A＝，则b＝　　　.
题型2 已知三边解三角形
例2　在△ABC中，已知a＝2，b＝6＋2，c＝4，求A，B，C的大小.
跟踪训练2　在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a∶b∶c＝3∶2∶4，则cos C＝　　　.
题型3 余弦定理的应用
例3.1 在△ABC中，若acos B＋acos C＝b＋c，试判断该三角形的形状.
跟踪训练3.1　在△ABC中，A＝60°，a2＝bc，则△ABC一定是(　　)
A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等边三角形
例3.2 如图所示为起重机装置示意图.支杆BC＝10 m，吊杆AC＝15 m，吊索AB＝5 m，求起吊的货物与岸的距离AD.
跟踪训练3.2　某观测站C与两灯塔A，B的距离分别为3 km和5 km，测得灯塔A在观测站C北偏西50°，灯塔B在观测站C北偏东70°，求两灯塔A，B之间的距离.
巩固提升
1.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝4，b＝5，c＝，则C＝　　　.
2.一个三角形的两边长分别为5和3，它们夹角的余弦值是－，则该三角形的第三条边长为　　　.
3.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2－b2＋c2＝ac，则B＝　　　.
4.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c2＝bccos A＋cacos B＋abcos C，则△ABC是　　　.三角形.(填“锐角”“直角”或“钝角”)
5.在锐角中，，则的取值范围为　　　.
第9页 共10页

展开更多......

收起↑