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新湘教版数学七年级下册
运用乘法公式进行计算和推理
本节内容
1.2.3
第一章 整式的乘法
1.熟练地运用乘法公式进行计算.
正确选择乘法公式进行运算.
学习目标
重 点：
前言
综合运用平方差和完全平方公式进行多项式的计算.
难 点：
2.能正确地根据题目的要求选择不同的乘法公式进行运算.
3.提高学生对乘法公式综合运用的能力，分析、解决问题的能力.
4.培养学生实事求是、科学严谨的学习态度.
温故知新
请同学们回忆我们学过的平方差公式与完全平方公式：
注意：公式中的 a 与 b 既可以是数，也可以是单项式或多项式.
平方差公式：
（a+b)(a-b)=a2-b2
平方差公式：
①和平方公式：
②差平方公式：
（a+b)2=a2+2ab+b2
（a-b)2=a2-2ab+b2
相同项的平方减去相反项的平方。
和的平方、差的平方，
等于两边平方，中间积的2倍（注意中间项的正负）。
互为相反数的平方
填一填：
① a+b的相反数 ，a—b的相反数是 。
-a-b
b-a
②（a+b)2= ；
(—a —b)2= 。
a2+2ab+b2
a2+2ab+b2
③(a—b)2 = ；
(b—a)2= 。
a2-2ab+b2
a2-2ab+b2
互为相反数(式)的平方相等：
（a+b)2=(-a-b)2
互为相反数(式)的平方相等：
（a-b)2=(b-a)2
互为相反数(式)的平方相等：
（a+b)2=(-a-b)2；（a-b)2=(b-a)2
动脑筋
典例分析
举
例
运用完全平方公式计算：
(1)(-x+1)2
解：原式=(x-1)2
=x2-2 x 1+12
底数的第一项是负号，可将整个底数变成相反数。
=x2-2x+1
底数的第一项是负号，可将整个底数变成相反数。
解：原式=(2x+3)2
=(2x)2+2 2x 3+32
=4x2+12x+9
(2)(-2x-3)2
以旧引新
做一做
运用乘法公式计算：(x + 1)(x2+ 1)(x - 1).
如果按顺序计算，太麻烦了。有简单的方法计算吗？
能组成平方差公式
解：原式= (x+1)(x-1)(x2+1)
= (x2-1)(x2+1)
= x4-1
（交换律）
乘法运算中，有时采用乘法运算律可以简化计算。
典例分析
举
例
例7 运用乘法公式计算：
（1）(a+ b + c)2； （2）（a- b + c)(a+ b - c).
是一个三项式，如果将（a+b)看成一个整体，就满足了完全平方公式。
解：原式=[(a+b)+c]2
=(a+b)2+2﹒(a+b)﹒c+c2
=a2+2ab+b2 +2ac+2bc+c2
相同的项
相反的项
两个多项相乘，如果只含有相同的项和相反的项，可利用平方差公式计算。
解：原式=[a-(b-c)][a+(b-c)]
=a2-(b-c)2
=a2-(b2-2bc+c2)
=a2-b2+2bc-c2
典例分析
举
例
例8 运用乘法公式计算：
（1）(a+ b)2 +(a- b)2；
解：原式=a2+2ab+b2
（2）(a+ b)2 -(a- b)2
+a2 -2ab+b2
=2a2+2b2
将(a+ b)2和(a- b)2都看成一个整体，就可以使用平方差公式
解：原式=[(a+ b)+(a- b)][(a+ b)-(a- b)]
=2a﹒2b
=4ab
还有其他方法吗？
典例分析
举
例
例9 运用乘法公式计算：(x + y)3.
将(x+y)3变成（x+y)2(x+y)就可以用学过的知识计算了！
解：原式=(x+y)2(x+y)
=(x2 + 2xy + y2)(x + y)
=x3+2x2y+xy2+yx2+2xy2+y3
=x3+3x2y+3xy2+y3
对点练习
个位是5的数的平方
动脑筋
填空：
（1） 152 = =100×1× +25；
（3） 352 = =100×3× +25
（2） 252 = =100×2× +25
225
625
1225
由此猜测：十位数字是a，个位数字是5的两位数可以表示为 ，它的平方可表示为100× × + 。
2
3
4
10a+5
a
(a+1)
25
10a+5=100a(a+1)+25,如：45=100×4×5+25=2025
总结
152=225
252=625
352=1225
452=2025
等于其十位数字a与a+1的积的100倍，再加上25。
个位是5的数的平方
个位是5的数的平方：
证明：十位数字是a，个位数字是5的两位数是10a+5.
∴（10a+5)2=
(10a)2 + 2﹒10a﹒5+52
= 100a2+100a+25.
又∵100a(a+1)+25 =100a2 +100a+25，
∴（10a+5)2 =100a(a+1)+25.
做一做：752=？
5625
对点练习
练 习
做一做
1. 运用乘法公式计算：
（1）(x-2)(x+2)(x2+4）； （2）(x+1)2(x-1)2；
（3）(a-b-c)2； （4）(x+2y-1)(x+2y+1）；
（5）(2x+y-1)(2x-y+1）.
解：原式=(x2-4)(x2+4）
=(x2)2-42
=x4-16
解：原式=[(x+1)(x-1)]2
=(x2-1)2
=x4-2x2+1
练 习
做一做
1. 运用乘法公式计算：
（1）(x-2)(x+2)(x2+4）； （2）(x+1)2(x-1)2；
（3）(a-b-c)2； （4）(x+2y-1)(x+2y+1）；
（5）(2x+y-1)(2x-y+1）.
解：原式=[a-(b+c)]2
=a2-2a(b+c)+(b+c)2
=a2-2ab-2ac+b2+2bc+c2
解：原式=[(x+2y)-1][(x+2y)+1]
=x2+4xy+y2-1
=(x+2y)2-12
解：原式=[2x+(y-1)][2x-(y-1)]
=4x2-(y-1)2
=4x2-y2+2y-1
练 习
做一做
2. 运用乘法公式计算：（3x-2)2 -(2x + 5)2.
继续学习
方法一：
原式=[(3x-2)+(2x+5)][(3x-2)-(2x+5)]
=(3x-2+2x+5)(3x-2-2x-5)
=(5x+3)(x-7)
=5x2-35x+3x-21
=5x2-32x-21
方法二：
原式=9x2-2﹒3x﹒2+4-（4x2+2﹒2x﹒5+25）
=9x2-12x+4-4x2-20x-25
=5x2-32x-21
练 习
3. 若n是整数，则(n+3)2 -（5n+9）一定能被2整除. 试说明理由.
解：(n+3)2 -（5n+9)=n2+6n+9-5n-9
=n2+n
又∵n(n+1)=n2+n
∴(n+3)2=n(n+1)
又∵n是整数，
∴n(n+1)表示两个连续整数相乘，
∴n(n+1)一定是个偶数，
∴(n+3)2 -（5n+9)一定是个偶数，即一定能被2整除。
挑战平台
课堂总结
运用乘法公式进行计算和推理
互为相反数的平方相等：
运用乘法公式计算：
(a-b)2=(b-a)2
(-a-b)2=(a+b)2
[ ]
先观察式子的特点，选取适当的乘法公式，再计算。有时会结合其它运算法则。
[ ]
个数是5的两位数的平方：
十位数字是a个位数字是5的两位数的平方，等于其十位数字a与a+1的积的100倍，再加上25。
[ ]
作 业
课堂作业：P22习题2第3、4题
课后作业：P22习题2第6、7题，并做P24~26《复习题1》
湘教版初中数学七年级下册
课程结束新湘教版初中数学七年级下册
《完全平方公式》教学设计
【教学目标】
1.熟练地运用乘法公式进行计算。
2.能正确地根据题目的要求选择不同的乘法公式进行运算。
3.提高学生对乘法公式综合运用的能力，分析、解决问题的能力。
4.培养学生实事求是、科学严谨的学习态度。
【教学重点】
弄正确选择乘法公式进行运算。
【教学难点】
综合运用平方差和完全平方公式进行多项式的计算。
【教学方法】
实验法、观察法、练习法、小组合作交流法、启发式、讲授法。
【教学过程】
〖温故知新〗
提问：请同学们回忆我们学过的平方差公式与完全平方公式：
1.平方差公式：（a+b)(a-b)=a2-b2 （技巧：相同项的平方减去相反项的平方。）
2.平方差公式：
①和平方公式：（a+b)2=a2+2ab+b2
②差平方公式：（a-b)2=a2-2ab+b2
（技巧：和的平方、差的平方，等于两边平方，中间积的2倍（注意中间项的正负）。
§强调：公式中的 a 与 b 既可以是数，也可以是单项式或多项式.。
【设计意图】
通过复习平方差公式和完全平方公式，让学生掌握平方差公式和完全平方公式的算式的区别，以及它们结果的区别，加深对平方差公式和完全平方公式的掌握，以及运用平方差公式和完全平方公式的技巧。
〖新知探究1〗
1.填一填：
① a+b的相反数 -a-b ， a—b的相反数是 b-a 。
②（a+b)2= a2+2ab+b2 ； (—a —b)2= a2+2ab+b2 。
③(a—b)2 = a2-2ab+b2 ； (b—a)2= a2-2ab+b2 。
2.猜想：互为相反数（式）的平方有什么关系？
§规律：互为相反数(式)的平方相等——（a+b)2=(-a-b)2；（a-b)2=(b-a)2
（ 学生填空后，让学生观察两个式子及计算结果的关系，并与同学交流、讨论， 总结出律。）
【设计意图】
学生利用已学旧知做题，然后观察，并与同学交流、讨论，总结规律，培养学生总结归纳的习惯。
〖知识应用1〗
运用完全平方公式计算：
(-x+1)2； (2) (-2x-3)2。
分析：两个式子的底数第一项是负号，可将整个底数变成相反数。
（1）解：(-x+1)2=(x-1)2=(x-1)2=x2-2﹒x﹒1+12=x2-2x+1
（2）解：(-2x-3)2=(2x+3)2=(2x)2+2﹒2x﹒3+32=4x2+12x+9
（学生利用归纳出的规律解题，再相互交流、讨论，相互纠错。）
【设计意图】
学生利用归纳出的规律解题，训练了学生对所学知识的运用，培养学生学以致用的习惯。
〖新知探究2〗
运用乘法公式计算：(x + 1)(x2+ 1)(x - 1)
分析：(x + 1)(x - 1)能够使用平方差公式 计算，得到（x2-1)，（x2-1)(x2+ 1)又可以使用平方差公式计算。
解：原式=(x + 1)(x - 1)(x2+ 1)=（x2-1)(x2+ 1)=x4-1。
（先让学生观察，再与同学交流、讨论，找出合适的方法解题。）
§强调：乘法运算中，有时采用乘法运算律可以简化计算。
【设计意图】
让学生观察，并与同学交流、讨论，应用乘法的交换律解题，简化计算。培养学生观察、分析能力。
〖知识应用2〗
例7 运用乘法公式计算：
(a+ b + c)2； (2）（a- b + c)(a+ b - c).
分析：第（1）是一个三项式，如果将（a+b)看成一个整体，就满足了完全平方公式；第（2）中的两个多项式只有相同的项和相反的项，可以使用平方差公式计算。
（1）解：原式=[(a+b)+c]2 （2）解：原式=[a-(b-c)][a+(b-c)]
=(a+b)2+2﹒(a+b)﹒c+c2 =a2-(b-c)2
=a2+2ab+b2 +2ac+2bc+c2 =a2-(b2-2bc+c2)
=a2-b2+2bc-c2
(师生共同探究，引导学生整体转化意识，学会整体转化思想。)
【设计意图】
通过例题的分析和解答，培养学生的整体转化思想。
〖知识应用3〗
例8 运用乘法公式计算：
（1）(a+ b)2 +(a- b)2 （2）(a+ b)2 -(a- b)2
解：原式=a2+2ab+b2+a2 -2ab+b2 解：原式=[(a+ b)+(a- b)][(a+ b)-(a- b)]
=2a2+2b2 =2a﹒2b
=4ab
(让学生观，鼓励一题解多。）
【设计意图】
通过学生观察，找出算式的特点，选用合适的方法，训练学生对乘法公式的综合运用能力，以及分析能力。
〖知识应用4〗
例9 运用乘法公式计算：(x + y)3.
分析：将(x+y)3变成（x+y)2(x+y)就可以用学过的知识计算了
解：原式=(x+y)2(x+y)
=(x2 + 2xy + y2)(x + y)
=x3+2x2y+xy2+yx2+2xy2+y3
=x3+3x2y+3xy2+y3
（师生共同探究，引导学生学会转化。）
【设计意图】
通过和立方公式的推导，训练学生的转化思想，培养学生分析问题、解决问题的能力。
〖新知探究2〗
1.填空：
（1） 152 = 225 =100×1× 2 +25；
（2） 252 = 625 =100×2× 3 +25
（3） 352 = 1225 =100×3× 4 +25
2.由此猜测：十位数字是a，个位数字是5的两位数可以表示为 10a+5 ，它的平方可表示为100×a × (a+1) + 25 。
§规律：10a+5=100a(a+1)+25,如：45=100×4×5+25=2025。
（学生独自填空，然后观察找规律，并与同学交流、讨论，最后师生共同归纳出规律》）
3.总结：
个位是5的数的平方：等于其十位数字a与a+1的积的100倍，再加上25。
证明：十位数字是a，个位数字是5的两位数是10a+5.
∴（10a+5)2=(10a)2 + 2﹒10a﹒5+52= 100a2+100a+25.
又∵100a(a+1)+25 =100a2 +100a+25，
∴（10a+5)2 =100a(a+1)+25.
4.做一做：852=？ 答：752=5625.
【设计意图】
通过学生填空、观察找规律，并证明猜想的过程，培养学生观察、分析、归结总结的能力，严谨的科学验证的研究精神。
〖巩固练习〗
1. 运用乘法公式计算：
（1）(x-2)(x+2)(x2+4）； （2）(x+1)2(x-1)2；
（3）(a-b-c)2； （4）(x+2y-1)(x+2y+1）；
（5）(2x+y-1)(2x-y+1）.
【设计意图】
通过练习，让学生能熟练运用乘法的运算律，整体转化进行整式乘法运算。
2. 运用乘法公式计算：（3x-2)2 -(2x + 5)2.
【设计意图】
通过练习，训练学生综合运用乘法律进行计算的能力。
〖挑战平台〗
3. 若n是整数，则(n+3)2 -（5n+9）一定能被2整除. 试说明理由.
解：(n+3)2 -（5n+9)=n2+6n+9-5n-9=n2+n
又∵n(n+1)=n2+n ∴(n+3)2=n(n+1)
又∵n是整数，∴n(n+1)表示两个连续整数相乘。
∴n(n+1)一定是个偶数，
∴(n+3)2 -（5n+9)一定是个偶数，即一定能被2整除。
【设计意图】
通过练习，训练学生分析能力和逻辑推理能力。
【课后小结】
1.互为相反数（式）的平方相等：（a+b)2=(-a-b)2；（a-b)2=(b-a)2
2.整式乘法运算技巧：先观察式子的特点，选取适当的乘法公式，再计算。有时需结合其它运算法则。
3.个位是5的两位数的平方：等于其十位数字a与a+1的积的100倍，再加上25。
【板书设计】
【课后作业】
课堂作业：P22习题2第3、4题。
课后作业：P22习题2第6、7题，并做P24~26《复习题1》
【教学反思】
亮点：引导学生在做题中观察、分析，利用转化思想寻找解题的思路，培养了学生的观察、分析能力，训练了学生的转化思想。同时，通过推导公式，训练了学生的逻辑推理能力，培养了学生严谨的科学探究精神。
不足：没有学习因式分解，在证明一些倍数问题时，学生很可能难以理解。
教学建议：多让学生动手练习，让学生在练习、观察、讨论、交流中发现并总结出规律。同时，在解题时，鼓励学生一题多解，培养学生的发散性思维。

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