资源简介

利用仰、俯角解直角三角形
教学目标
1.了解仰角、俯角等有关概念,经历对实际问题的探究,会利用解直角三角形的知识解决实际问题.
2.通过在具体情景中从数学的角度发现问题和提出问题,并综合运用数学知识解决简单实际问题.
3.经历将实际问题转化为数学问题的探究过程,提高应用数学知识解决实际问题的能力.
4.通过探索用解直角三角形知识解决仰角、俯角等有关问题,让学生体会数学知识的发生、发展、应用过程,并发展学生的动手能力.
5.经历从实际问题构建数学模型的过程,体会数学来源于生活又应用于生活
教学重点
1.能根据题意画出示意图,将实际问题的数量关系转化为直角三角形元素之间的关系.
教学难点
2.正确理解题意,将实际问题转化为数学模型的建模过程.
教学过程
（一）复习提问
1.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c.
(1)三边a,b,c有什么关系
(2)∠A,∠B有怎样的关系
(3)边与角之间有怎样的关系
2.解直角三角形应具备怎样的条件
【师生活动】学生回答问题,教师点评归纳.
（二）新知讲解
1.活动一
(教材例3)2012年6月18日,“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接.“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343 km的圆形轨道上运行,如图所示,当组合体运行到地球表面P点的正上方时,从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置 最远点与P点的距离是多少(地球半径约为6400 km,π取3.142,结果取整数)
思路一
师生合作探究
(1)从组合体上最远能直接看到的地球上的点,应该是视线与地球相切时的切点.
(2)根据题意画出平面图形.
(3)所要求的距离是图形中的哪条线段的长度
(4)已知中有哪些条件 求弧长需要知道哪些条件
(5)弧所对的圆心角在哪个三角形中 你能求出这个角的度数吗
(如图②所示,☉O表示地球,点F是组合体的位置,FQ是☉O的切线,切点Q是从组合体中观测地球时的最远点.弧PQ的长就是地面上P,Q两点间的距离.为计算弧PQ的长需先求出∠POQ(即α)的度数)
【师生活动】　教师通过提出的问题引导学生分析思考,指导学生画出平面图形,分析已知条件和所求的结论,师生共同分析题意及解题思路后,学生独立完成并板书解题过程.
教师引导思考:
(1)要解决实际问题,首先要做什么 (将实际问题抽象成数学问题)
(2)如何根据题意画出平面图形 (地球平面图形是圆,组合体近似看作点)
(3)从组合体中看到的地球表面最远的点在什么位置 (过点作圆的切线,切点即为所求)
学生操作:画出平面示意图.
(4)最远点与P点的距离在示意图中指的是什么的长
(5)如何求这段距离 和圆有什么关系
(6)如何将所需数据转化为解直角三角形的知识
【师生活动】　学生尝试根据图形写出解题思路,教师巡视过程中及时帮助有困难的学生,展示解题过程,规范解题格式.
【展示】　解答同思路一.
[设计意图]　引导学生画出示意图,把实际问题转化为数学问题,分析实际问题中的数量关系,利用解直角三角形的知识解决实际问题,让学生经历作图、分析过程,体会数形结合思想在数学中的应用,提高学生分析问题、解决问题的能力.
2.活动二
【思考】　平时我们观察物体时,我们的视线相对于水平线来说可有几种情况
【归纳】　视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的角是仰角,视线在水平线下方的角是俯角.
(教材例4)热气球的探测器显示,从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°,看这栋楼底部的俯角为60°,热气球与楼的水平距离为120 m,这栋楼有多高(结果取整数)
教师引导分析:
(1)分析题意,已知条件有哪些
(2)你能直接求出AB的长吗
(3)如何求出BC的长 (线段BD与线段CD的和)
(4)在Rt△ABD中,能否求线段BD的长
(5)在Rt△ACD中,能否求线段CD的长
【展示】　解:如图所示,α=30°,β=60°,AD=120.
∵tan α= ,tan β=,
∴BD=AD·tan α=120×tan 30°
=120×=40,
CD=AD·tan β=120×tan 60°
=120×=120.
∴BC=BD+CD=40+120
=160≈277(m).
因此,这栋楼高约为277 m.
3.活动三
【思考】　你能总结利用解直角三角形的有关知识解决实际问题的一般过程吗
【师生活动】　学生思考后小组合作交流,共同归纳解题过程,教师对学生的回答以鼓励为主,将学生的回答补充完整.
【归纳】
(1)将实际问题抽象成数学问题(画出示意图,将其转化为解直角三角形的问题);
(2)根据问题中的条件,适当选用锐角三角函数解直角三角形;
(3)得到数学问题的答案;
(4)得到实际问题的答案.
[设计意图]　通过例题的探究,归纳解决实际问题的一般步骤,培养学生归纳总结能力和建模思想.
[知识拓展]　仰角与俯角都是视线与水平线的夹角.
归纳小结
用解直角三角形的有关知识解决实际问题的一般过程:
(1)将实际问题抽象成数学问题(画出示意图,将其转化为解直角三角形的问题);
(2)根据问题中的条件,适当选用锐角三角函数等解直角三角形;
(3)得到数学问题的答案;

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