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7.3　定义、命题、定理
　　　　　　　　　　　　　　　　　
课题 7.3　定义、命题、定理 授课人
学习 目标 1.掌握命题、定理的概念,并能分清命题的题设和结论. 2.能判定真命题和假命题. 3.能根据已知条件对简单问题进行证明.
学习 重点 　　掌握命题、定理的概念,并能分清命题的组成.
学习 难点 　　分清命题的组成,并能把一个命题改写成“如果……那么……”的形式.
教学活动
教学 步骤 师生活动 设计意图
活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 　　下列6个语句,有什么不同 你能对它们进行分类吗 如果你能分类,分类的依据是什么 (1)熊猫没有翅膀;(2)对顶角相等;(3)如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行;(4)你喜欢数学吗 (5)作线段AB=CD;(6)清新的空气;(7)不许讲话. 像(1)(2)(3)这样可以判断为正确(或真)或错误(或假)的陈述语句,叫作命题. 　　既复习了已学知识,又让学生认识了命题的多种表现形式.
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活动 二: 探究 与 应用 【探究1】 定义的概念 　　前面,我们在学习一些新的数学对象时,对它们进行了清晰、明确的描述.例如: (1)规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴; (2)使方程左、右两边的值相等的未知数的值,叫作方程的解; (3)从一个角的顶点出发,把这个角分成两个相等的角的射线,叫作这个角的平分线; (4)直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫作点到直线的距离. 这样的描述称为数学对象的定义.一个数学对象的定义揭示了它的本质特征,能够帮助我们准确地理解它,并作出准确的判断. 【探究2】 命题的概念 我们再来看一些可以判断正确与否的陈述语句,例如: (1)等式两边加同一个数,结果仍相等; (2)对顶角相等; (3)如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行; (4)两条平行直线被第三条直线所截,同旁内角互补; (5)如果一个数能被2整除,那么它也能被4整除. 容易判断,前4个语句都是正确的,第5个语句是错误的.像这样可以判断为正确(或真)或错误(或假)的陈述语句,叫作命题.被判断为正确(或真)的命题叫作真命题,被判断为错误(或假)的命题叫作假命题. 【应用举例】 例1　下列语句是命题的是 (C) A.连接A,B两点　　　　B.用三角尺画∠AOB=30° C.两点之间,线段最短　　D.一个数的立方大于它本身吗 【探究3】 命题的题设和结论 数学中的命题常可以写成“如果……那么……”的形式,这时“如果”后接的部分是题设,“那么”后接的部分是结论.有些命题的题设和结论不明显,要经过分析才能找出来,从而将它们写成“如果……那么……”的形式. 判断下列语句是不是命题,如果是命题,指出命题的题设和结论,并判断此命题是真命题还是假命题. (1)画射线AC; (2)同位角相等吗 (3)两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行; (4)任意两个直角都相等; (5)如果两条直线相交,那么它们只有一个交点; (6)若|x|=|y|,则x=y. 解:(1)(2)不是命题;(3)(4)(5)(6)是命题. (3)题设是两条直线被第三条直线所截,同旁内角互补,结论是这两条直线平行,是真命题; (4)题设是两个角是直角,结论是这两个角相等,是真命题; (5)题设是两条直线相交,结论是它们只有一个交点,是真命题; (6)题设是|x|=|y|,结论是x=y,是假命题. 　　通过各类型的语句,探究命题的概念.
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活动 二: 探究 与 应用 　　有些数学命题,如“对顶角相等”,没有写成标准形式,题设和结论不明显,要认真分析它是由什么来推断什么,从而把它改写成标准形式,这样就容易找到它的题设和结论.如“对顶角相等”改写成标准形式是“如果两个角是对顶角,那么这两个角相等”.有些命题的题设之前还有题设,那么把这两个题设合起来作为命题的题设,如“两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行”,题设是两条直线被第三条直线所截,同位角相等,结论是这两条直线平行. 【应用举例】 例2　下列语句中,哪些是命题 哪些不是命题 若是命题,则指出是真命题还是假命题,并改写成“如果……那么……”的形式,再分别找出命题的题设和结论. (1)和为90°的两个角互为余角; (2)-8小于-6吗 (3)乘积为1的两个数互为倒数. 解:(1)是命题,是真命题. 改写:如果两个角的和为90°,那么这两个角互为余角. 题设:两个角的和为90°.结论:这两个角互为余角. (2)不是命题. (3)是命题,是真命题. 改写:如果两个数的乘积为1,那么这两个数互为倒数. 题设:两个数的乘积为1.结论:这两个数互为倒数. 【探究4】 定理与证明 我们已经知道下列各命题都是正确的,即都是公认的真命题: (1)两点确定一条直线; (2)两点之间,线段最短; (3)在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直; (4)过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行. 有些命题可以从基本事实或其他真命题出发,用逻辑推理的方法判断它们是正确的,并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据,这样的真命题叫作定理. 归纳:定理的作用不仅在于它揭示了客观事物的本质属性,而且还可以作为进一步判断其他命题真假的依据. 探究证明:根据已知条件,也可以是学过的定义、基本事实、定理等,经过演绎推理,来判断一个命题的正确性,这样的推理过程叫作证明. 如图7-3-2,有下列三个条件: ①DE∥BC;②∠1=∠2;③∠B=∠C. 图7-3-2 (1)若从这三个条件中任选两个作为题设,另一个作为结论,组成一个命题,则一共能组成几个命题 请你把它们写出来; 　　师生通过例题共同探究确定命题的题设和结论的方法. 引导学生区分命题与定理的关系,且体会数学命题证明的必要性.
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活动 二: 探究 与 应用 　　(2)请你就其中的一个真命题给出推理过程. 解:(1)一共能组成3个命题,它们是:题设①②,结论③;题设①③,结论②;题设②③,结论①. (2)答案不唯一,如选择命题:题设①②,结论③. 证明:∵DE∥BC,∴∠1=∠B,∠2=∠C. 又∵∠1=∠2,∴∠B=∠C. 归纳总结: 几何证明的一般步骤: 第一步:根据题意画出图形; 第二步:根据命题的题设和结论,结合图形,写出已知、求证; 第三步:通过分析,找出证明的方法,写出证明过程. 在证明几何命题时,须注意以下几点: 1.明确题目的题设和结论; 2.证明过程中每一步结果所用的根据必须是得到这一结果的充分理由; 3.要防止利用未学过的定理来证明学过的命题,避免循环论证. 【应用举例】 例3　如图7-3-3,已知直线a⊥b,b∥c,求证:a⊥c. 图7-3-3 证明:∵a⊥b(已知), ∴∠1=90°(垂直的定义). ∵b∥c(已知), ∴∠1=∠2(两直线平行,同位角相等), ∴∠2=90°(等式的基本事实), ∴a⊥c(垂直的定义). 　　 归纳证明的过程有助于培养学生严密的逻辑推理能力,为后续的学习打好基础.
【拓展提升】 图7-3-4 例4　如图7-3-4,已知DP平分∠ADC交AB于点P,∠1+∠3=90°,∠2=∠4. 求证:DP⊥PC. 证明:∵DP平分∠ADC,∴∠3=∠4. ∵∠2=∠4,∴∠2=∠3. 又∵∠1+∠3=90°,∴∠1+∠2=90°. 又∵∠1+∠2+∠DPC=180°, ∴∠DPC=90°,∴DP⊥PC. 　　知识的综合与拓展,提高学生的应考能力.
活动 三: 课堂 总结 反思 【小结】 命题 　　框架图式总结,更容易形成知识网络.
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活动 三: 课堂 总结 反思 【当堂训练】 1.指出下列命题的题设和结论: (1)若a=b,则5a=5b; (2)如果AB⊥CD,垂足为O,那么∠AOC=90°; (3)如果∠1=∠2,∠2=∠3,那么∠1=∠3; (4)两直线平行,同位角相等. 　图7-3-5 2.在下面的括号内,填上推理的依据. 如图7-3-5,∠A+∠B=180°,求证:∠C+∠D=180°. 证明:∵∠A+∠B=180°, ∴AD∥BC(　　　　　　　　　　), ∴∠C+∠D=180°(　　　　　　　　　　). 3.命题“同位角相等”是正确的吗 如果是,请说明理由;如果不是,请举出反例. 4.已知:如图7-3-6,∠1+∠2=180°,∠A=∠D. 　图7-3-6 求证:∠B=∠C. 证明:∵∠1与∠CGD是对顶角, ∴∠1=∠CGD(　　　　　　　). 又∵∠1+∠2=180°(　　　　), ∴∠CGD+∠2=180°(　　　　　　), ∴AE∥FD(　　　　　　　　　　　　), ∴∠A=∠BFD(　　　　　　　　　　). 又∵∠A=∠D(　　　　　), ∴∠BFD=∠D(　　　　　　), ∴AB∥CD(　　　　　　　　　　), ∴∠B=∠C(　　　　　　　　　　). [答案:对顶角相等　已知　等量代换　同旁内角互补,两直线平行　两直线平行,同位角相等　已知　等量代换　内错角相等,两直线平行　两直线平行,内错角相等] 　　通过练习,进一步巩固所学知识,使教师及时了解学生对本课所学知识的掌握情况.
【教学反思】 ①[授课流程反思] 既复习了已学知识,又让学生认识了命题的多种表现形式,从而使学生明白命题我们都已接触过,只是没有从概念上加以澄清,从而消除学生对新知识的恐惧感,增加亲切感. ②[讲授效果反思] 本节课的教学内容较简单,通过本节课的教学,学生在区分命题的题设和结论的基础上知道命题有真假之分,其中有的真命题又叫作定理.对于假命题只要举出反例加以说明即可,其中推理过程叫作证明. ③[师生互动反思] 学生小组合作学习的积极性较高,体现出学生愿学、乐学的心态,教师要及时地给予鼓励和表扬. ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　 错题题号　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　 　　回顾反思,找出差距与不足,形成知识及教学体系,更进一步提升教师教学能力.

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