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第2课时　余弦定理、正弦定理的综合应用
题型1 三角形面积公式及其应用
例1　在△ABC中，A=60°，b=1，S△ABC=，则sin B∶sin C=　　　　.
答案　1∶4
解析　因为S△ABC=bcsin A，所以c===4，由正弦定理=，得sin B∶sin C=b∶c=1∶4.
反思感悟　对于面积公式S=absin C=acsin B=bcsin A，总的概括为两边与夹角正弦乘积的一半.一般是已知角A就选S=bcsin A，但也要结合具体条件，要根据解题目标和其他条件(如已知条件中角的大小)选取对解题有利的面积公式.如已知a，c，就以选S=acsin B为宜.
跟踪训练1　（1）在△ABC中，若a=3，cos C=，S△ABC=4，则b=　　　　.
答案　2
解析　∵cos C=，∴0°（2）在△ABC中，已知b=2，B=，C=，则c=　　　　，△ABC的面积为　　　　　.
答案　2　+1
解析　由正弦定理得c==2.
又sin A =sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C =，所以△ABC的面积为S=bcsin A=+1.
二、判断三角形的形状
例2　在△ABC中，若sin A=2sin Bcos C，且sin2A=sin2B+sin2C，试判断△ABC的形状.
解　在△ABC中，根据正弦定理，得==，
∵sin2A=sin2B+sin2C，∴a2=b2+c2，∴A是直角.
∵A=180°－(B+C)，sin A=2sin Bcos C，∴sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Bcos C，∴sin(B－C)=0.
又－90°反思感悟　判断三角形形状的方法及注意事项
（1）利用余弦定理、正弦定理把已知条件转化为边(或角)的关系，通过因式分解、配方等得出边(或角)的相应关系，从而判断三角形的形状.
（2）统一成边(或角)的关系后，注意等式两边不要轻易约分，否则可能会出现漏解.
跟踪训练2　（1）在△ABC中，已知3b=2asin B，且cos B=cos C，A是锐角，则△ABC是(　　)
A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形
答案　D
解析　由3b=2asin B，得=，根据正弦定理，得=，所以=，即sin A=.
又A是锐角，所以A=60°.
又cos B=cos C，且B，C都为三角形的内角，所以B=C.
故△ABC为等边三角形.
（2）在△ABC中，若acos C+ccos A=bsin B，则此三角形为(　　)
A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形
答案　C
解析　在△ABC中，由acos C+ccos A=bsin B，以及正弦定理可知，sin Acos C+sin Ccos A=sin2B，
即sin(A+C)=sin B=sin2B，∵0三、正弦、余弦定理在平面几何中的应用
例3　如图，在平面四边形ABCD中，已知A=，B=，AB=6.在AB边上取点E，使得BE=1，连接EC，ED.若∠CED=，EC=.
（1）求sin∠BCE的值；
（2）求CD的长.
解　（1）在△BEC中，由正弦定理，知=，
因为B=，BE=1，CE=，所以sin∠BCE===.
（2）因为∠CED+∠DEA=B+∠BCE，且∠CED=B=，所以∠DEA=∠BCE，
所以cos∠DEA====.
因为A=，所以△AED为直角三角形，又AE=5，所以ED===2.
在△CED中，由余弦定理，得CD2=CE2+DE2－2CE·DE·cos∠CED=7+28－2××2×=49.所以CD=7.
反思感悟　三角形中几何计算问题的解题要点及关键
（1）正确挖掘图形中的几何条件简化运算是解题要点，善于应用正弦定理、余弦定理.
（2）此类问题突破的关键是仔细观察，发现图形中较隐蔽的几何条件.
跟踪训练3　如图，在四边形ABCD中，若∠DAB=60°，∠ABC=30°，∠BCD=120°，AD=2，AB=5.
（1）求BD的长；
（2）求△ABD的外接圆半径R；
（3）求AC的长.
解　如图，由∠DAB=60°，∠BCD=120°，可知四边形ABCD为圆内接四边形.
（1）在△ABD中，由∠DAB=60°，AD=2，AB=5及余弦定理，得BD2=AB2+AD2－2AB·AD·cos∠DAB=52+22－2×5×2×=19.所以BD=.
（2）在△ADB中，由正弦定理，得=2R=，则△ABD的外接圆半径R=.
（3）在△ABC中，由正弦定理，得=2R=，则AC=×=.
巩固提升
1.在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a=4，b=3，C=60°，则△ABC的面积为____________.
解析　S△ABC=absin C=×4×3×=3.
2.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若asin A+bsin B解析　根据正弦定理可得a2+b2由余弦定理得cos C=<0，所以C是钝角，故△ABC是钝角三角形.
3. 如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠ADC=60°，CD=AD=2，BD=4，则sin B的值为____________.
解析　由题意，得△ADC为等边三角形，则∠ADB=120°，AC=2，在△ABD中，
由余弦定理，得AB2=BD2+AD2－2BD·ADcos∠ADB=42+22－2×4×2×=28，
则AB=2，在△ABD中，由正弦定理，得=，则sin B==.
4.在△ABC中，sin B=2sin A，a+c=3，且cos C=，则a=　　　　.
答案　1
解析　∵sin B=2sin A，∴b=2a，又a+c=3，∴c=3－a，∴cos C===，整理得a2+2a－3=0，解得a=1(a=－3舍去).
5.如图所示，在四边形ABCD中，D=2B，且AD=1，CD=3，cos B=.
（1）求△ACD的面积；
（2）若BC=2，求AB的长.
解　（1）因为D=2B，cos B=，所以cos D=cos 2B=2cos2B－1=－.
因为D∈(0，π)，所以sin D==.
因为AD=1，CD=3，所以△ACD的面积S=AD·CD·sin D=×1×3×=.
（2）在△ACD中，AC2=AD2+DC2－2AD·DC·cos D=12，所以AC=2.
在△ABC中，因为BC=2，=，所以===，所以AB=4.
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题型1 三角形面积公式及其应用
例1　在△ABC中，A=60°，b=1，S△ABC=，则sin B∶sin C=　　　　.
跟踪训练1　（1）在△ABC中，若a=3，cos C=，S△ABC=4，则b=　　　　.
（2）在△ABC中，已知b=2，B=，C=，则c=　　　　，△ABC的面积为　　　　　.
二、判断三角形的形状
例2　在△ABC中，若sin A=2sin Bcos C，且sin2A=sin2B+sin2C，试判断△ABC的形状.
跟踪训练2　（1）在△ABC中，已知3b=2asin B，且cos B=cos C，A是锐角，则△ABC是(　　)
A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形
（2）在△ABC中，若acos C+ccos A=bsin B，则此三角形为(　　)
A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形
三、正弦、余弦定理在平面几何中的应用
例3　如图，在平面四边形ABCD中，已知A=，B=，AB=6.在AB边上取点E，使得BE=1，连接EC，ED.若∠CED=，EC=.
（1）求sin∠BCE的值； （2）求CD的长.
跟踪训练3　如图，在四边形ABCD中，若∠DAB=60°，∠ABC=30°，∠BCD=120°，AD=2，AB=5.
（1）求BD的长； （2）求△ABD的外接圆半径R； （3）求AC的长.
巩固提升
1.在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a=4，b=3，C=60°，则△ABC的面积为____________.
2.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若asin A+bsin B3.如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠ADC=60°，CD=AD=2，BD=4，则sin B的值为____________.
4.在△ABC中，sin B=2sin A，a+c=3，且cos C=，则a=　　　　.
5.如图所示，在四边形ABCD中，D=2B，且AD=1，CD=3，cos B=.
（1）求△ACD的面积； （2）若BC=2，求AB的长.
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一、单选题
1.在△ABC中，已知b=5，A=60°，S△ABC=5，则c等于(　　)
A.4 B.16 C.21 D.
答案　A
解析　S△ABC=bcsin A=×5c·=5，解得c=4.
2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin A∶sin B∶sin C=1∶∶2，则△ABC的形状是(　　)
A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.无法判断
答案　C
解析　在△ABC中，由正弦定理得sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c=1∶∶2，设a=x，则b=x，c=2x(x>0)，则a2+b2=c2，故△ABC为直角三角形.
3.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acos B+bcos A=4sin C，则△ABC外接圆的面积为(　　)
A.16π B.8π C.2π D.4π
答案　D
解析　由acos B+bcos A=4sin C及正弦定理，可得sin Acos B+sin Bcos A=，化简得sin(A+B)=，在△ABC中，sin(A+B)=sin C，解得R=2，所以△ABC外接圆的面积为S=πR2=4π.
4.在△ABC中，∠BAC=120°，AD为角A的角平分线，AC=3，AB=6，则AD等于(　　)
A.2 B.2或4 C.1或2 D.5
答案　A
解析　设AD=x，如图，∠DAC=∠DAB=60°.
∵AC=3，AB=6，且S△ABC=S△ACD+S△ABD，∴×3×6×=·3x·+·6x·，解得x=2.
5.我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则△ABC的面积S=.根据此公式，若acos B+(b－2c)cos A=0，且b2+c2－a2=4，则△ABC的面积为(　　)
A. B.2 C. D.3
答案　C
解析　由正弦定理可知acos B+(b－2c)cos A=0化简为sin Acos B+(sin B－2sin C)cos A=0，
sin Acos B+sin Bcos A=2sin Ccos A，即sin(A+B)=sin C=2sin Ccos A，∵sin C≠0，∴cos A=，cos A===，解得bc=4，根据面积公式可知S===.
6. 如图，在△ABC中，B=45°，AC=8，D是BC边上一点，DC=5，DA=7，则AB的长为(　　)
A.4 B.4 C.8 D.4
答案　D
解析　在△ACD中，因为DC=5，DA=7，AC=8，所以cos∠ADC===，
因此cos∠ADB=－，所以sin∠ADB=，
又B=45°，DA=7，在△ABD中，由正弦定理，可得=，所以AB===4.
7.设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，tan A=，且B为钝角，则sin A+sin C的取值范围是(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　由tan A=以及正弦定理得==，所以sin B=cos A，即sin B=sin，
又B为钝角，所以+A∈，故B=+A，C=π－(A+B)=－2A>0 A∈，
于是sin A+sin C=sin A+sin=sin A+cos 2A=－2sin2A+sin A+1=－2+，
因为A∈，所以0二、多选题
8.(多选)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列等式恒成立的是(　　)
A.a2=b2+c2－2bccos A B.asin B=bsin A C.a=bcos C+ccos B D.acos B+bcos C=c
答案　ABC
解析　对于A，根据余弦定理，可得a2=b2+c2－2bccos A，故A正确；
对于B，根据正弦定理边角互化，可得asin B=bsin A ab=ab，故B正确；
对于C，根据正弦定理，得a=bcos C+ccos B sin A=sin Bcos C+sin Ccos B sin(B+C)=sin A，故C正确；
对于D，根据正弦定理的边角互化可得，sin Acos B+sin Bcos C=sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B，
即sin Bcos C=cos Asin B，又sin B≠0，所以cos C=cos A，只有当A=C时，等式成立，故D不正确.
9.在△ABC中，已知B=30°，AB=2，AC=2，则△ABC的面积为(　　)
A. B.2 C.2 D.4
答案　AC
解析　由正弦定理，得sin C==，
又AB>AC，B=30°，故该三角形有两解，所以C=60°或120°.
当C=60°时，A=90°，S△ABC=AB·AC=2；
当C=120°时，A=30°，S△ABC=AB·AC·sin A=.
所以△ABC的面积为2或.
10.在△ABC中，已知a2tan B=b2tan A，则△ABC的形状是(　　)
A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形
答案　AB
解　a2tan B=b2tan A即=，由正弦定理得=，
又sin A≠0，sin B≠0，所以=，即sin Acos A=sin Bcos B，故sin 2A=sin 2B，
故2A=2B或2A+2B=π，所以A=B或A+B=.
所以△ABC为等腰三角形或直角三角形.
三、填空题
11.已知锐角△ABC的面积为3，AB=2，BC=6，则角B的大小为　　　　.
答案　45°
解析　∵S△ABC=BC·AB·sin B=×6×2sin B=3，∴sin B=，∵△ABC为锐角三角形，∴B=45°.
12.在△ABC中，已知2a=b+c，sin2A=sin Bsin C，则△ABC的形状为　　　　三角形.
答案　等边
解析　由sin2A=sin Bsin C和正弦定理，得a2=bc.
因为2a=b+c，所以a=，所以=bc，整理得(b－c)2=0，所以b=c.
从而a==b=c，故△ABC是等边三角形.
13.在△ABC中，A=，BC=3，则△ABC的周长的取值范围为______________.
答案　6sin+3
解析　在△ABC中，由正弦定理得===2，
即AC=2sin B，AB=2sin，所以三角形的周长为BC+AC+AB=3+2sin B+2sin
=3+3sin B+3cos B=6sin+3.
四、解答题
14.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(sin B+sin C)2=sin2A+sin Bsin C.
（1）求A的大小；
（2）若b+c=6，△ABC的面积为2，求a的值.
解　（1）∵(sin B+sin C)2=sin2A+sin Bsin C.
∴由正弦定理，得(b+c)2=a2+bc，即b2+c2－a2=－bc，∴cos A===－，∵A∈(0，π)，∴A=.
（2）∵S△ABC=bcsin A=bc=2，∴bc=8，
又b+c=6，∴a2=b2+c2－2bccos A=(b+c)2－bc=36－8=28，∴a=2.
15．已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）若，求B； （2）若，，求c.
【分析】根据已知条件利用正弦定理求出角，再根据已知边的值利用余弦定理求出边.
【详解】（1）已知，由正弦定理可得.
因为，所以，此时.
在直角中，，所以.
那么，移项可得.
根据正切函数的定义，因为且是三角形内角，所以，从而得出.
（2）已知，且，所以.
根据余弦定理，将代入可得.
化简可得.
将，代入，得到.
即，因为，所以.
16．在中，内角，，所对的边分别为，，，且，，的面积为，．
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值．
【分析】（1）由，利用正弦定理将边转化为角，再利用两角和的正弦公式求解；
（2）根据的面积为，得到，再由余弦定理得到求解；
（3）由余弦定理求得 ，进而得到，再利用两角和的余弦公式求解.
【详解】（1）解：因为．
由正弦定理得 ．
又因为，所以，从而得．
又因为，因此，又因为，所以．
（2）因为的面积为，即，所以 ①．
又由余弦定理，，得 ②．
因为．由①②解得，．
（3）由余弦定理得 ，所以，
，，所以．
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一、单选题
1.在△ABC中，已知b=5，A=60°，S△ABC=5，则c等于(　　)
A.4 B.16 C.21 D.
2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin A∶sin B∶sin C=1∶∶2，则△ABC的形状是(　　)
A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.无法判断
3.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acos B+bcos A=4sin C，则△ABC外接圆的面积为(　　)
A.16π B.8π C.2π D.4π
4.在△ABC中，∠BAC=120°，AD为角A的角平分线，AC=3，AB=6，则AD等于(　　)
A.2 B.2或4 C.1或2 D.5
5.我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则△ABC的面积S=.根据此公式，若acos B+(b－2c)cos A=0，且b2+c2－a2=4，则△ABC的面积为(　　)
A. B.2 C. D.3
6. 如图，在△ABC中，B=45°，AC=8，D是BC边上一点，DC=5，DA=7，则AB的长为(　　)
A.4 B.4 C.8 D.4
7.设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，tan A=，且B为钝角，则sin A+sin C的取值范围是(　　)
A. B. C. D.
二、多选题
8.(多选)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列等式恒成立的是(　　)
A.a2=b2+c2－2bccos A B.asin B=bsin A C.a=bcos C+ccos B D.acos B+bcos C=c
9.在△ABC中，已知B=30°，AB=2，AC=2，则△ABC的面积为(　　)
A. B.2 C.2 D.4
10.在△ABC中，已知a2tan B=b2tan A，则△ABC的形状是(　　)
A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形
三、填空题
11.已知锐角△ABC的面积为3，AB=2，BC=6，则角B的大小为　　　　.
12.在△ABC中，已知2a=b+c，sin2A=sin Bsin C，则△ABC的形状为　　　　三角形.
13.在△ABC中，A=，BC=3，则△ABC的周长的取值范围为______________.
四、解答题
14.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(sin B+sin C)2=sin2A+sin Bsin C.
（1）求A的大小； （2）若b+c=6，△ABC的面积为2，求a的值.
15.已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）若，求B； （2）若，，求c.
16．在中，内角，，所对的边分别为，，，且，，的面积为，．
（1）求的值； （2）求的值； （3）求的值．
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