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8.3　实数及其简单运算
第1课时　实数的相关概念及大小比较
课题 第1课时　实数的相关概念及大小比较 授课人
学习 目标 　　1.了解无理数和实数的概念. 2.会对实数按照一定的标准进行分类,培养分类能力. 3.实数和数轴上的点一一对应.
学习 重点 　　无理数和实数的概念.实数和数轴上的点一一对应.
学习 难点 　　无理数和实数的概念.
教学活动
教学 步骤 师生活动 设计意图
活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 问题1:什么是有理数 有理数怎样分类 可以写成分数形式的数称为有理数,即有理数就是形如(p,q是整数,q≠0)的数.有理数可以分为正有理数、0与负有理数. 问题2:列举几个无限不循环小数,你知道的无限不循环小数都有哪些形式 　　以问题的形式对有理数的概念与分类进行复习,进一步感受数系的扩充,体会无限不循环小数和无限循环小数的界定.
活动 二: 探究 与 应用 【探究1】 实数的概念及分类 把下列有理数写成小数的形式,你发现了什么 4,,-,,,. 可以发现,上面的有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式,即 4=4.0,=2.5,-=-0.6,=6.75,=1.,=0.. 总结: 1.有理数和无理数的概念 事实上,任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式.反过来,任何有限小数或无限循环小数也都是有理数. 通过前面的学习,我们知道,很多数的平方根、立方根是无限不循环小数,例如,,-,,等,π=3.14159265…也是无限不循环小数.从上面的讨论可知,无限不循环小数都不是有理数.无限不循环小数又叫作无理数. 像有理数一样,无理数也有正负之分.例如,,,π是正无理数,-,-,-π是负无理数. 　　对于无理数的学习,联系有理数的概念,并引导学生对比,区分不同,并能准确地进行判断.
活动 二: 探究 与 应用 　　常见无理数的形式: a.开方开不尽的数,如,等. b.π及化简后含有π的数,如,π-1等. c.有规律的无限不循环小数,如0.1010010001…(相邻的两个1之间依次多一个0)等. 2.实数的概念及分类 有理数和无理数统称实数.这样,我们学过的数可以这样分类: 实数 由于非0有理数和无理数都有正负之分,所以非0实数也有正负之分,于是实数也可以这样分类: 实数 【应用举例】 例1　在实数,0,,2π,0.333…,2.12112111211112…(相邻的两个2之间依次多一个1)中,无理数有 (C) A.1个　　　　　B.2个　　　　　C.3个　　　　　D.4个 变式　把下列各数填入相应的集合中:-,,0.3,,,-7.,-3.14152,0,,,-0.2121121112…(相邻的两个2之间依次多一个1). 有理数集合:　-,,0.3,,-7.,-3.14152,0,,　…; 无理数集合: ,,-0.2121121112…(相邻的两个2之间依次多一个1),　…; 正实数集合: ,0.3,,,,,　…; 负实数集合:　-,-7.,-3.14152,-0.2121121112…(相邻的两个2之间依次多一个1),　…. 【探究2】 实数与数轴的对应关系 (1)以单位长度为直径画1个圆,它的周长等于π.如图8-3-4,从原点开始,将这个圆沿数轴向右滚动一周,圆上的一点由原点O到达点O',点O'对应的数是多少 图8-3-4 师生共同归纳:OO'的长是这个圆的周长,所以点O'对应的数是π.这样,数轴上的点O'就表示无理数π. 　　 通过具体的实例,加强学生对无理数和实数概念的认识,进一步巩固新知.
(续表)
活动 二: 探究 与 应用 　　 　图8-3-5 (2)教师指导学生以单位长度为边长画一个正方形(如图8-3-5),以原点为圆心,正方形的对角线长为半径画弧,与正半轴的交点就表示,与负半轴的交点就表示-.(为什么 ) 推测无理数都可以用数轴上的点来表示,从而确定实数与数轴上的点是一一对应关系. 引导学生归纳总结: 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示;反过来,数轴上的每一个点都表示一个实数.因此,实数与数轴上的点是一一对应的. 【探究3】 实数的大小比较 与规定有理数的大小一样,对于数轴上的任意两个点,右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大. 图8-3-6 与有理数一样,在实数范围内: (1)正数大于0,负数小于0,正数大于负数; (2)两个正数,绝对值大的数较大; (3)两个负数,绝对值大的数反而小. 【应用举例】 例2　把下列实数表示在数轴上,并比较它们的大小(用“<”连接): -,,-2,2.5,0. 解:将各数在数轴上表示出来,如图8-3-7所示. 图8-3-7 由图可知,它们的大小为-2<-<0<<2.5. 变式1　在|-5|,0,-3,四个数中,最小的数是 (C) A.|-5|　　　　　B.0　　　　　C.-3　　　　　D. 变式2　比较以下两个数的大小: ①7　< ;②3　> ; ③-3　< ;④1-　>　1-. 　　 类比有理数的大小比较,实数的大小比较同样如此,借助数轴比较更形象直观.
活动 三: 课堂 总结 反思 【小结】 　　提纲挈领,重点突出.
活动 三: 课堂 总结 反思 【当堂训练】 1.下列各数中,是无理数的是 (D) A.3.1415　　　　B.　　　　C.　　　　D. 2.把下列各数分别填入相应的集合里. -π,-,,,3.14,0,,-,,0.8181181118…(相邻的两个8之间依次多一个1). 整数集合:{ …}; 无理数集合:{ …}; 有理数集合:{ …}; 负实数集合:{ …}. 解:整数集合:{,0,,…}; 无理数集合:{-π,,,-,0.8181181118…(相邻的两个8之间依次多一个1),…}; 有理数集合:-,,3.14,0,,…; 负实数集合:-π,-,-,…. 3.判断题. (1)无限小数都是无理数; (2)无理数都是无限小数; (3)用根号表示的数都是无理数; (4)所有有理数都可以用数轴上的点表示,反过来,数轴上的所有点都表示有理数; (5)所有实数都可以用数轴上的点表示,反过来,数轴上的所有点都表示实数. 4.在0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的平方根与立方根中,哪些是有理数 哪些是无理数 5.把下列实数表示在数轴上,并比较它们的大小(用“<”连接): -2,,,-π. 　　通过设置当堂训练,进一步巩固所学新知,同时检测学习效果,做到“堂堂清”.

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