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8.1 平方根
第1课时 平方根
1.了解平方根的概念，能用符号正确地表示一个数的平方根.
2.理解开平方运算和平方运算之间的互逆关系.
3.学会进行开平方运算.（重点）
4.能够求一个数的平方根.（难点）
一、新课导入
[情境导入]我们知道，已知一个数，通过平方运算可以求这个数的平方.反过来，如果已知一个数的平方，那么怎样求这个数呢？
如果一个数的平方等于9，那么这个数是多少？
二、新知探究
（一）平方根的定义及计算
[提出问题]问题1 如果一个数的平方等于9，那么这个数是多少？
因为32=9，所以这个数可以是3；
又因为(-3)2 =9，所以这个数也可以是-3.
因此，如果一个数的平方等于9，那么这个数是可以是 3或-3.
[提出问题]3 和 -3有什么特征？
互为相反数，3和-3一起叫作±3.
[提出问题]填表：
[交流讨论]小组之间交流讨论，根据上表的信息，总结平方根的概念.
[归纳总结]一般地，如果一个数x的平方等于a，即 x2 = a，那么这个数 x 叫作a的平方根或二次方根.例如：(±3)2 = 9，则±3是9的平方根.
求一个数的平方根的运算，叫作开平方.
[课件展示]观察下图，你发现了什么？
平方与开平方互为逆运算.
[典型例题]例1 求下列各数的平方根：(1) 64; （2）； (3) 0.01.
解：(1) 因为(±8)2=64，所以64的平方根是±8.
(2) 因为（）2=，所以的平方根是.
(3) 因为(±0.1)2=0.01，所以0.01的平方根是±0.1.
（二）平方根的性质
[提出问题]问题2 正数的平方根有什么特点？（课件动态展示）
正数有两个平方根，它们互为相反数.
[提出问题]问题3 0的平方根是多少？它有几个平方根？为什么？（课件动态展示）
0的平方根是0，并且只有1个平方根. 因为02=0，并且任何一个不为0的数的平方都不等于 0，所以 0 的平方根是 0.
[提出问题]问题4 -1，-2，-3，-4这些数有没有平方根呢？为什么？
没有.正数的平方是正数，负数的平方也是正数，0 的平方是 0，即在我们所认识的数中，任何一个数的平方都不是负数.所以负数没有平方根.
[交流讨论]小组之间交流讨论，平方根的性质是什么？
[归纳总结]正数有两个平方根，它们互为相反数.0的平方根是0.负数没有平方根.
[思考]如何表示一个正数的平方根呢？（课件动态展示）
正数α的平方根可以用“”表示，读作“正、负根号α”.例如，表示9的平方根，=±3.特别地，0的平方根记为.
[思考]只有当a大于或等于0时，有意义；而当a小于0时，没有意义.为什么？
因为在我们所认识的数中任何一个数的平方都不会是负数，所以负数不能开平方，即当 a<0 时，无意义.
[典型例题]例2 下列各数有平方根吗？如果有，求它的平方根；如果没有，说明理由.
(1) 0.36; (2) -5; (3) (-4)2.
解：(1)因为0.36是正数，所以0.36有两个平方根.
(2)因为-5是负数，所以-5没有平方根.
(3)因为(-4)2 =16是正数，所以(-4)2有两个平方根.
三、课堂小结
1.如果一个数x的平方等于a，即 x2 = a，那么这个数 x 叫作a的平方根或二次方根.
2.求一个数的平方根的运算，叫作开平方.
3.平方与开平方互为逆运算.
4.平方根的性质：正数有两个平方根，它们互为相反数.0的平方根是0.负数没有平方根.
四、课堂训练
1.下列说法正确的是 ①④ .
① -3 是 9 的平方根；
② 25 的平方根是 5；
③ -36 的平方根是 -6；
④ 平方根等于 0 的数是 0.
2.求下列各数的平方根：
3.已知3（x-1） =363，求x的值．
4. 一个正数的两个平方根分别是 2a＋1 和 a－4，求这个数.
解：由于一个正数的两个平方根是 2a＋1 和 a－4，则有 2a＋1＋a－4＝0，即 3a－3＝0，解得 a＝1.所以这个数为 (2a＋1)2＝(2＋1)2＝9.
本节课通过一些实例让学生体会平方根的概念及其特征，渗透“具体—抽象—具体”的研究思路.结合学过的运算理解“开平方”的新运算，使学生的学习形成迁移.借助例题和课堂训练巩固新知，提高学生的学习能力.

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