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7.3 定义、命题、定理
1.理解定义、命题、定理的概念，能区分命题的条件和结论.（重点）
2.了解真命题和假命题的概念，能判断一个命题的真假性，并会对命题举反例.（难点）
3.发展初步的演绎推理能力，初步养成有条理的思维品质，感悟数学的严谨.
一、新课导入
[情境导入]小华与小刚正在津津有味地阅读《我们爱科学》.
小华：这个黑客终于被逮住了.
小刚：是的,现在的因特网广泛运用于我们的生活中,给我们带来了方便,但……
坐在旁边的两个人一边听着他们的谈话，一边也在悄悄地议论着.
A:这个黑客是个小偷么？
B:可能是个喜欢穿黑衣服的贼.
A:那因特网一定是一张很大的网？
B:估计是英国造的特殊的网.
教师提问：听完这则故事，你有什么想法？
二、新知探究
（一）定义
[课件展示]前面，我们在学习一些新的数学对象时，对它们进行了清晰、明确的描述.例如:
(1)规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴;
(2)使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解;
(3)从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角的平分线;
(4)直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离.
总结：这样的描述称为数学对象的定义.
一个数学对象的定义揭示了它的本质特征，能够帮助我们准确地理解它，并作出准确的判断.
例如，“数轴”指的是一条直线，而且这条直线上有规定的原点、正方向和单位长度;根据方程的解的定义，可以判断x=是方程2x=3的解.
（二）命题
[提出问题]请记录并观察，说出这些语句的共同特征.
(1)等式两边加同一个数，结果仍相等；
(2)对顶角相等；
(3)如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也相互平行；
(4)两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；
(5)如果一个数能被2整除，那么它也能被4整除.
[交流讨论]学生观察并思考，小组之间交流讨论，得出结论：都是在对一件事进行判断，前4个语句都是正确的，第5个语句是错误的.
[归纳总结]像这样可以判断为正确（或真）或错误（或假）的陈述语句，叫作命题.被判断为正确(或真)的命题叫作真命题，被判断为错误(或假)的命题叫作假命题.
注意：
1.只要对一件事情作出了判断，不管正确与否，都是命题.
2. 如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它就不是命题.
[典型例题]例1 判断下列语句是不是命题？若是用“√”，若不是用“× 表示.
(1) 长度相等的两条线段是相等的线段吗 ( × )
(2) 两条直线相交，有且只有一个交点（ √ ）
(3) 不相等的两个角不是对顶角（ √ ）
(4) 相等的两个角是对顶角（ √ ）
(5) 取线段 AB 的中点 C （ × ）
(6) 画两条相等的线段（ × ）
[提出问题]观察下列命题，你能发现这些命题有什么共同的结构特征？与同伴交流.
(1) 如果两个三角形的三条边分别相等，那么这两个三角形的周长相等；
(2) 如果两个数的绝对值相等，那么这两个数也相等；
(3) 如果一个数的平方等于 9，那么这个数是 3.
[交流讨论]学生观察并思考，小组之间交流讨论，得出结论：都是“如果……那么……”的形式.
[归纳总结]命题一般都可以写成“如果……那么……”的形式.
1.“如果”后接的部分是题设.
2.“那么”后接的部分是结论.
示例：如命题“熊猫没有翅膀”可改写为：如果这个动物是熊猫，那么它就没有翅膀.
注意：添加“如果”“那么”后，命题的意义不能改变，改写的句子要完整，语句要通顺，使命题的题设和结论更明确，易于分辨，改写过程中，要适当增加词语，切不可生搬硬套.
[典型例题]例2 请将下列命题改写成“如果......那么......”的形式.
(1) 同位角相等.
(2) 垂直于同一条直线的两条直线互相垂直.
(3) 过一点有且只有一条直线与已知直线平行.
解：（1）如果两个角是同位角，那么这两个角相等.
（2）如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相垂直.
（3）如果过一点向已知直线作平行线，那么这种直线有且只有一条.
[归纳总结]
注意：由题设和结论组成的命题，如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题就是正确的;如果题设成立，不能保证结论一定成立，这样的命题就是错误的.
（三）定理与证明
[课件展示]有些命题的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题叫作定理.定理也可以作为继续推理的依据.学过的定理：
1. 补角的性质：同角或等角的补角相等.
2. 余角的性质：同角或等角的余角相等.
3. 对顶角的性质：对顶角相等.
4. 垂线的性质：①在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②垂线段最短.
在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫作证明.
注意：每一步推理都要有根据，不能“想当然”.这些根据，可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等.
[典型例题]例3 如图，已知直线a⊥b，b//c，求证a⊥c.
证明:∵a⊥b(已知)，
∴∠1=90°(垂直的定义).
∵b//c(已知)，
∴∠1=∠2(两直线平行，同位角相等).
∴∠2=90°(等式的基本事实).
∴ a⊥c(垂直的定义).
思考：如何判定一个命题是假命题呢？
[课件展示]例如，要判定命题“相等的角是对顶角”是假命题，可以举出如下反例：如图，OC 是∠AOB 的平分线， ∠1 =∠2，但它们不是对顶角.
确定一个命题是假命题的方法：判断一个命题是错误的，只要举出一个例子(反例)，它符合命题的题设，但不满足结论就可以了.
三、课堂小结
1. 命题的定义：判断一件事情的句子.
2. 命题的组成：题设和结论.
四、课堂训练
1. 下列语句中，不是命题的是 (　D　)
A. 两点之间，线段最短
B. 对顶角相等
C. 不是对顶角不相等
D. 过直线 AB 外一点 P 作直线 AB 的垂线
2. 下列关于命题的描述中，正确的是 ( C )
A. 命题一定是正确的
B. 真命题一定是定理
C. 定理一定是真命题
D. 一个反例不足以说明一个命题为假命题
3.举反例说明下列命题是假命题．
(1) 若两个角不是对顶角，则这两个角不相等；
(2) 若 ab＝0，则 a＋b＝0.
解：(1) 两条平行线被第三条直线所截形成内错角，其中一对内错角不是对顶角，但是它们相等.
(2) 当 a＝5，b＝0 时，ab＝0，但 a＋b ≠ 0.
4. 如图，现有以下 3 个条件：①AB//BC；②∠B = ∠C；③∠E = ∠F.请以其中的两个条件为题设，另一个条件为结论构造命题.
(1) 你构造的是哪几个命题？
(2) 请选择其中的一个真命题加以证明.
解：(1)若 AB//CD，∠B = ∠C，则∠E = ∠F.
若 AB//CD，∠E = ∠F，则∠B = ∠C.
若 ∠B = ∠C，∠E = ∠F，则AB//CD.
(2)以选择“若 AB//CD，∠B = ∠C，则∠E = ∠F”为例：
证明：如图，∵AB//CD， ∴∠B = ∠CDF.
又∠B = ∠C，∴∠C = ∠CDF.
∴CE//BF.∴∠E = ∠F.
在本节课的教学中，学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，学会有条理地、清晰地阐述自己的观点.命题是数学教学的基本依据，经过推理证实的命题可以作为继续推理的依据（如定理）.所以认识命题的定义、结构、真假是数学学习的重要任务之一.

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