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第2课时　定理与证明
教师备课　素材示例
●复习导入　判断下列语句是不是命题，是命题的指出命题的题设和结论，并判断此命题是否是真命题．
(1)画射线AC；
(2)同位角相等吗？
(3)两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行；
(4)任意两个直角都相等；
(5)如果两条直线相交，那么它们只有一个交点；
(6)若|x|＝|y|，则x＝y.
解：(1)(2)不是命题；(3)题设是两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补，结论是这两条直线平行，真命题；(4)题设是任意两个直角，结论是这两个角相等．真命题；(5)题设是两条直线相交，结论是只有一个交点，真命题；(6)题设是|x|＝|y|，结论是x＝y，假命题．
【教学与建议】教学：复习识别命题，确定命题的题设和结论，并辨别真假命题，为新课作下铺垫．建议：由易到难，选择不同层次学生回答问题．
●情景导入　阿基米德，古希腊人，是科学家、数学家、物理学家、天文学家，被称为“力学之父”，他曾经去埃及的亚历山大城向欧几里德学习过数学，他的著名成就是发明了三大定理，你知道是哪些吗？
杠杆原理，就是动力臂×动力＝阻力臂×阻力；浮力原理，就是液体里物品受到的浮力就是它排出液体的体积的液体重量，如曹冲称象故事；求积原理，创立“穷竭法”，也就是现在的逐步近似求极限的方法，故他被称为“微积分计算的鼻祖”，如求圆、椭圆面积，球体的表面积公式．
【教学与建议】教学：用科普阿基米德三大定理的事迹导入课题，激发学生对物理和数学的学习兴趣．建议：可提问你知道三大定理在生活中的运用吗？
·命题角度1　识别定理
命题的正确性是通过推理证实的，这样的真命题叫作定理．
【例1】“垂线段最短”有下列说法：①是命题；②是假命题；③是真命题；④是定理．其中，正确的说法有(B)
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④
【例2】为抄近路践踏草坪是一种不文明现象，请你用数学知识解释出现这一现象的原因：__两点之间，线段最短__．
·命题角度2　证明
在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫作证明．证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据，可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等．
【例3】阅读下列材料，其①～④步中数学依据错误的是__②__．
如图：已知直线b∥c，a⊥c，求证：a⊥b.
证明：①∵a⊥c(已知)，
∴∠2＝90°(垂直的定义)．
又∵b∥c(已知)，
②∴∠1＝∠2(同位角相等，两直线平行).
③∴∠2＝∠1＝90°(等量代换).
④∴a⊥b(垂直的定义)．
【例4】在下面的括号内，填上推理的根据：
如图，已知AD⊥BC于点D，DE∥AB，∠1＝∠3，求证：FG⊥BC.
证明：∵DE∥AB(已知)，
∴∠1＝∠2(__两直线平行，内错角相等__).
又∵∠1＝∠3(已知)，
∴∠2＝∠3(__等量代换__)，
∴AD∥FG(__同位角相等，两直线平行__)，
∴∠BGF＝∠BDA(__两直线平行，同位角相等__).
∵AD⊥BC(已知)，
∴∠BDA＝90°(__垂直的定义__)，
∴∠BGF＝90°(__等量代换__)，
∴FG⊥BC(__垂直的定义__).
教学设计
1．了解命题中真命题、假命题的含义以及命题的构成，领会和理解命题、证明和定理的含义．
2．体验、理解证明的重要性．
3．理解证明命题的思路、书写的格式，能对推理证明有初步认识．
▲重点
定理的证明过程．
▲难点
按规定格式表达证明的过程．
◆活动1　新课导入
我们知道，举一个反例就可以证明一个命题是假命题，那么如何证实一个命题是真命题呢？用以前学过的观察、实验、验证特例等方法来证明可靠吗？能不能根据已经知道的真命题证实呢？那已经知道的真命题又是如何证实的？
◆活动2　探究新知
探究1　请看下面几位同学之间的讨论：(多媒体出示课件)
探究2　定理与证明
1．举例数学学习中公认的真命题．
(1)两点确定一条直线；
(2)两点之间线段最短；
(3)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
(4)过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．
2．这些真命题是怎样产生的？
有些命题可以从基本事实出发；有些命题用逻辑推理的方法判断它们是正确的．
3．探究证明
根据定义以及基本事实定理等，通过演绎推理，来判断一个命题是否正确，这就是证明．
如图，有下列三个条件：
①DE∥BC；②∠1＝∠2；③∠B＝∠C.
(1)若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成一个命题，一共能组成几个命题，请写出来；
(2)请你就其中的一个真命题给出推理过程．
解：(1)一共组成3个命题．
题设①②结论③；题设①③结论②；题设②③结论①；
(2)题设①②结论③.
证明：∵DE∥BC，∴∠1＝∠B，∠2＝∠C(两直线平行，内错角相等).
∵∠1＝∠2，∴∠B＝∠C.(答案不唯一)
◆活动3　知识归纳
(1)定理是经过推理证实的__真命题__，是在今后推理中经常作为依据的一种真命题．但不是所有经过推理证实的真命题都能把它当作定理；
(2)在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫作__证明__．
◆活动4　例题与练习
例1　如图，如果∠1＝∠2，那么AB∥CD，这个命题是真命题吗？若不是，请你再添加一个条件，使该命题成为真命题，并证明．
解：如果∠1＝∠2，那么AB∥CD，不是真命题．
添加条件为BE∥DF，
证明过程如下：
∵BE∥DF，∴∠MBE＝∠BDF(两直线平行，同位角相等)，
∵∠1＝∠2，∴∠MBE＋∠1＝∠BDF＋∠2，即∠MBA＝∠BDC，
∴AB∥CD(同位角相等，两直线平行).
几何证明的一般步骤：(课件)
1．根据题意画出图形．
2．根据命题的题设和结论结合图形，写出已知、求证．
3．通过分析，找出证明的方法，写出证明过程．
注意点：
1．引用的理由与定理的证明相同．
2．根据可以是已知条件，也可以是学过的__定义__、__基本事实__、__定理__等．
3．判断一个命题是错误的，只要举出一个__例子(反例)__，它符合命题的__题设__，但不满足结论．
例2　已知∠1＝∠2，∠3是∠1的补角，∠4是∠2的补角．求证：∠3＝∠4.
证明：∵∠3是∠1的补角，∠4是∠2的补角，
∴∠3＋∠1＝180°，∠4＋∠2＝180°(补角的定义).
∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠4(等量代换).
例3　求证：两条直线平行，一组内错角的平分线互相平行．
解：如图，已知：AB∥CD，直线AB，CD被直线MN所截，交点分别为P，Q，PG平分∠BPQ，QH平分∠CQP.求证：PG∥HQ.
证明：∵AB∥CD(已知)，
∴∠BPQ＝∠CQP(两直线平行，内错角相等).
又∵PG平分∠BPQ，QH平分∠CQP(已知)，
∴∠GPQ＝∠BPQ，∠HQP＝∠CQP(角平分线的定义)，
∴∠GPQ＝∠HQP(等量代换)，
∴PG∥HQ(内错角相等，两直线平行).
练习
1．教材P24　练习第1，2题．
2．有下列命题：①真命题都是定理；②定理都是真命题；③假命题不是命题；④公理都是命题；⑤真命题不是公理就是定理；⑥命题都是由题设和结论两部分组成．其中，是真命题的有(B)
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．证明：同角的余角相等．
解：如图，已知：∠AOC＋∠BOC＝90°，∠BOD＋∠BOC＝90°.
求证：∠AOC＝∠BOD.
证明：∵∠AOC＋∠BOC＝90°，∠BOD＋∠BOC＝90°(已知)，
∴∠AOC＝∠BOD(等式的性质).
4．(1)如图，已知：直线AB，CD，EF被直线BF所截，∠B＋∠1＝180°，∠2＝∠3.证明：∠B＋∠F＝180°；
(2)你在(1)的证明过程中应用了哪些定理和基本事实．
解：(1)∵∠B＋∠1＝180°，
∴AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行).
∵∠2＝∠3，∴CD∥EF(内错角相等，两直线平行)，
∴AB∥EF，
∴∠B＋∠F＝180°(两直线平行，同旁内角互补)；
(2)在(1)的证明过程中应用的定理和基本事实有：同旁内角互补，两直线平行；内错角相等，两直线平行；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；两直线平行，同旁内角互补．
◆活动5　完成练习
◆活动6　课堂小结
定理与证明．
1．作业布置
(1)教材P24～25　习题7.3第2，3，4题；
(2)对应课时练习．
2．教学反思

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