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中小学教育资源及组卷应用平台
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1.3　有关0的运算
教学目标 1.在玩扑克牌的游戏过程中，引导学生总结归纳0在四则运算中的特性，会利用特性进行四则运算，提高运算能力。 2.通过小组内合作、讨论、交流的学习过程中，总结归纳0在四则运算中的特性以及理解0不能作除数的道理，了解0由来的故事，提升数感，发展推理意识。 3.养成思维严谨、勤奋好学的良好品格，感受数学的魅力。
教学 重难点 1.总结归纳0在四则运算中特性。 2.理解0不能作除数的道理。
教学准备 每人一副扑克牌、收集有关0的故事的信息
目标落实 教师活动 学生活动 二次备课
在扑克牌游戏中，思考并初步总结有关0的运算有哪些，建立数感。 一、游戏导入 引导学生在游戏中总结有关0的运算。 我们继续用扑克牌来玩游戏，游戏规则；把一副扑克牌中的J、Q、K和大、小王拿走，用剩下的40张扑克牌，把A当作1，任意抽取1张牌，写下和0有关的所有运算。前提是学过的数的运算，像负数我们不考虑。 一、发现问题 小组内玩扑克牌游戏，首先明确分工：一人抽牌，一人负责写，四人一起思考和0有关的运算。 比如： 预设1：有关加法的运算，学生可能写7+0=7、0+7=7。 预设2：有关减法的运算，学生可能写7-0=7、7-7=0。（不全可以找其他学生补充） 预设3：有关乘法的运算，学生可能写7×0=0、0×7=0。 预设4：有关除法的运算，学生可能写，0÷7=0、7÷0=0。（7÷0=0这个算式为后面学习0不能为除数这个知识做铺垫）
在合作交流讨论过程中，进一步总结有关0的运算。并思考7÷0结果是多少，发展推理意识。 对比非零的数除以0和0除以0商的情况，得出0不能作除数的结论，进一步增强发展推理意识。 二、引导合作 1.引导学生通过观察和思考，把有关0在四则运算中进行分类。 投影展示一个小组的答案 7+0=7、0+7=7、7-0=7、 7-7=0、7×0=0、0×7=0、 0÷7=0、7÷0=0 这是一个小组的答案，写得最多，大家来看一下，你有什么想说的？ 2.理解0不能作除数的道理。 （1）引导学生理解非0除以0商的情况。 请小组讨论一下7÷0=0这个算式成不成立？为什么不成立呢？ 8÷0、9÷0有商吗？你有什么发现？请小组内再讨论一下。 （2）引导学生理解0除以0商的情况。 那请小组内再讨论那如果这个数是0，0除以0等于几？你有什么发现？ 二、探究问题 1.活动一： 学生独立思考，教师点名回答，学生详细阐述。 预设1：7+0=7、0+7=7可以算一个算式，因为得数都是7。 预设2：有关0的减法算式有两个。 预设3：7×0=0、0×7=0也可以算一个算式，因为得数都是0。 预设4：有关0的除法算式有两个。 预设5：有关0的除法算式只有一个，因为7÷0≠0，这个算式不成立。 2.活动二： （1）合作要求：小组讨论7÷0=0到底成立不成立？7÷0的商到底是几？ 预设1：成立。 预设2：不成立。7÷0=7。 预设3：不成立。7÷0不可能等于0，也不可能等于7，因为反过来看0×0≠7，0乘任何数都得0，所以这道题结果没有商。 预设4：8÷0、9÷0都没有商。 预设5：一个数除以0没有商，所以0不能作除数。 （2）合作要求：小组内讨论可能得出三种结论，全班汇报。 预设1：0÷0=0，因为反过来看0×0=0. 预设2：0÷0=2，因为反过来看0×2=0 预设3：0÷0=3也可以啊。
在总结归纳0在四则运算中的特性，进一步提升推理意识。 通过观看0的历史故事视频，进一步提高数感。 教师板书： 非零的数÷0=无商 0÷0=商不确定 （3）引导学生观察、对比归纳。 小结：看来除法算式都不能除以0，也就是0不能作除数。 3.归纳0在四则运算中的特性。 （1）引导学生应用0不能作除数这一知识来解决问题。 我们把刚才这个小组写得不对的算式先划掉再将上面的口算进行分类，你有什么发现？ 7+0=7、0+7=7、 7-0=7、7-7=0、 7×0=0、0×7=0、 0÷7=0、7÷0=0 （2）再次引导学生应用0不能作除数这一知识解决问题。 同学们对以上结论有什么疑问吗？ 4.引导学生了解0的历史故事。 我们一起来观看视频来了解0的由来的历史故事吧。 预设4：0除以0商可以是任何数，得不到一个确定的商，研究没有意义。 3.活动三： 通过筛选几除以0这个算式的过程，学生掌握0不能作除数这个结论。 7+0=7、0+7=7、 7-0=7、7-7=0、 7×0=0、0×7=0、 0÷7=0、7÷0=0 再观察思考，四人小组讨论分类情况，并根据分类总结规律。 预设1：加法分一类：一个数加上0，还得原数。 预设2：减法分一类：一个数减去0，还得原数；被减数与减数相同时，差为0。 预设3：乘法分一类：一个数与0相乘，得0。 预设4：除法分一类：0除以任何数，都得0。 合作要求：同桌讨论0除以任何数，都得0这句话对吗？ 预设：0不能作除数，0除以任何非0的数都得0。 4.活动四：观看视频数字0的身世之谜。
利用0在四则运算中的特性，提高运算能力。 灵活运用有关0的运算特性，在纠错的过程进一步提升运算能力。 分析有关0的运算，真正理解和掌握0的运算特征。 三、辅导练习 1.基础练习 36+0= 0+68= 0×68= 54-0= 0÷28= 128-0= 25+0= 99-0= 49-49= 0+6= 0+39= 0×9= 2.变式练习 （1）0和任何数相乘，都得0。 （　） （2）0除以任何数都得0。 （　） （3）一个数加上0仍得0。 （　） （4）130×0=130-0 （　） 请同学们独立完成并思考错题原因。 3.提升练习 师：请同学们先小组讨论一下，再独立完成。 下面哪个算式的结果最大？ （1）0+1+2+3+4+5+6+7+8+9。 （2）0×1×2×3×4×5×6×7×8×9。 （3）0+0+0+0+0+…+0+0+0+0+0+0。 学生独立解答并汇报结果。 三、解决问题 1.基础练习 独立完成，找一个同学对答案，如果错题，说说错的原因。 预设：加号和乘号容易看错，比如：0×9=9 2.变式练习 （1）0和任何数相乘，都得0。 （√） （2）0除以任何数都得0。
（ ） 预设1：第二题错的原因是，0除以任何非0的数都得0，因为0不能作除数。 （3）一个数加上0仍得0。 （ ） 预设2：第三题有同学做错了，和乘、除法有关0的运算混了。 （4）130×0=130-0 （ ） 预设3：第四题错的原因是130×0=0，130-0=130。 3.提升练习 小组合作讨论：想一想根据什么进行判断，再独立完成，集体订正。 预设1：根据一个数加上0，还得原数。所以第一题不得0。 预设2：根据一个数与0相乘，得0。所以第二题得0。 预设3：第三题加数都是0，所以第三题得0。 第（1）题最大
通过对本节课知识归纳总结汇总，加深巩固有关0运算的知识。 四、引导反思 引导学生回顾总结本节课所学内容、方法和素养的提升。 四、提升问题 预设1：有关0的加法、减法、乘法、除法运算特征。 预设2：0为什么不能作除数。 预设3：了解了0的历史故事。
板书设计 有关0的运算 非零的数÷0=无商 0÷0=商不确定 0不能作除数。 一个数加上0，还得原数。 一个数减去0，还得原数；被减数与减数相同时，差为0。 一个数与0相乘，得0。 0除以任何不是0的数，都得0。
任务四　有中括号、小括号的四则运算
教学目标 1.在玩扑克牌的游戏过程中，引导学生掌握运算法则和运算顺序，会计算带有“中括号”的含有三步计算的题目，提高运算能力。 2.通过了解括号的历史，经历带有“中括号”的混合运算的运算顺序的探索过程，发展推理意识，提高数感。 3.培养学生认真、细致的计算习惯。
教学 重难点 重点：掌握“中括号”的三步混合运算的运算顺序，并能正确地进行计算。 难点：体会“小括号”和“中括号”的作用。
教学准备 每组准备一副扑克牌，收集有关括号历史的信息
目标落实 教师活动 学生活动 二次备课
让学生试着列三步的综合算式，为后面的学习做铺垫。 一、游戏导入 引导学生在游戏中体会四则运算的法则和顺序。 今天我们继续玩有关扑克牌的游戏，大家看一下游戏规则： 下面4张扑克牌上的点数，经过怎样的运算才能得到24呢？ 请同学们先独立思考并写下来然后小组交流，看看哪个小组写得最多？ 一、发现问题 学生思考后和小组成员一起写出得数是24的运算。 （写几个都可以，重复的后面环节可以当练习筛选，错题可以当练习处理） 预设： 6×2+3×4　3×6+2+4 4×6÷（3-2）　3×（6+4-2） （6+4÷2）×3　6+（4+2）×3
正确计算不含括号的四则运算，提高运算能力。 二、引导合作 1.总结四则运算“法则”。 （1）引导学生通过计算不含有小括号四则运算，总结出运算法则。 （出示6×2+3×4，3×6+2+4）让学生独立计算得数是不是24？计算时你有什么发现？ （2）引导学生通过计算含有小括号的四则运算，总结出运算法则。 出示这四道题： 4×6÷（3-2） 6+（4+2）×3 3×（6+4-2） （6+4÷2）×3 先观察这四道题你有什么发现？请小组内讨论一下每道题的运算顺序，并画一画，说一说或算一算。 二、探究问题 1.活动一： （1）合作要求：先独立计算这道题，再同桌说一说这两道题的运算顺序是什么？ 预设1：6×2+3×4这道题，先算乘法，再把它们的和相加。 　6×2+3×4 =12+12 =24 预设2：3×6+2+4这道题先算3乘6，再加2，最后加4. 　3×6+2+4 =18+2+4 =20+4 =24 预设3：有乘法和加法时，先算乘法。 预设4：连续加两个数时，要从左往右一步一步计算。 （2）合作要求：小组讨论这四道题的共同点是什么？说一说或画一画每道题的运算顺序。 预设1：都有小括号。 预设2：算式4×6÷（3-2），先算减法，再算乘法，最后算除法。 4×6÷（3-2） =4×6÷1 =24÷1 =24 预设3：算式6+（4+2）×3，先算加法，再算乘法，最后算加法。 　6+（4+2）×3 =6+6×3 =6+18 =24
让学生总结四则运算法则，初步发展推理意识。 让学生总结有关小括号的运算顺序，掌握有关小括号的四则混合运算，提高运算能力 让学生明确带有“中括号”的混合运算的运算顺序并且正确计算，进一步增强推理意识和发展运算能力。 （3）引导学生小结。 （展示小组内写的算式） 像这样的加、减、乘、除四种运算统称四则运算。 （板书课题：四则运算） 关于四则运算，你都知道些什么？ 2.引导学生掌握小括号的运算顺序。 同学们总结得很到位，出示课件。 （1）在没有括号的算式里，只有加、减法或只有乘、除法，都要从左往右按顺序计算。 （2）在没有括号的算式里，如果既有乘、除法，又有加、减法，要先算乘、除法，后算加、减法。 小组讨论一下，小括号作用以及有小括号的四则运算的运算顺序是什么？ 3.认识中括号，理解含有小括号和中括号的运算顺序。 （1）引导学生认识中括号，通过自学了解中括号的作用。 出示这道题： 6×［（4+2）÷3］ 有一名同学是这样写的，“［　］”这是什么符号你有什么了解？自学教材第9页，先和你的同桌说一说，再全班汇报。 　预设4：算式3×（6+4-2），先算加法，再算减法，最后算乘法。 　3×（6+4-2） =3×（10-2） =3×8 =24 预设5：算式（6+4÷2）×3，先算除法，再算加法，最后算乘法。 　（6+4÷2）×3 =（6+2）×3 =8×3 =24 小结：有小括号时，会改变运算顺序，先算小括号里面的。 （3）合作要求：以小组为单位，讨论学过的四则运算的法则。 预设1：一个算式里既有加、减法，又有乘、除法，先算乘、除法，再算加、减法。 预设2：只有加、减法或只有乘、除法，要按照从左往右的顺序计算。 预设3：有小括号应该先算小括号里面的，再算小括号外面的。 2.活动二： 合作要求：四人小组说一说小括号的作用以及含有小括号的题目的运算顺序。 预设1：小括号作用是改变运算顺序。 预设2：先算小括号里的，再算小括号外面的。 预设3：括号外面也遵循先乘除后加减。 预设4：先算小括号里的，括号里面也遵循先乘除后加减。 3.活动三： （1）自学要求：自学教材第9页有关“［　］”这部分的知识。 预设1：这是中括号。 预设2：中括号要用在小括号的外面。 预设3：当一个算式用了小括号后还需要改变运算顺序，就使用中括号。 预设4：一个算式如果同时含有小括号和中括号：要先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算中括号外面的。
让学生对括号有更深刻的认识，发展数感。 （2）引导学生通过计算含有中括号的四则运算，体会中括号的作用。 请同学们尝试计算6×［（4+2）÷3］，看看结果是不是24呢？ 4.（1）引导学生一起来了解小括号的历史。 （2）引导学生为自己的聪明才智点赞。 师生一起来为写算式多且正确的小组颁奖。 （2）合作要求：尝试计算6×［（4+2）÷3］，同桌俩互相检查。 预设1：学生做对的，上台展示并讲解。 预设2：有的学生忘加中括号，及时投影让全班同学纠错。 　6×［（4+2）÷3］ =6×6÷3 =36÷3 =12 预设3：有的学生中括号写得不全，及时投影让全班同学纠错。 　6×［（4+2）÷3］ =6×［6÷3 =36÷3 =12 4.活动四： 合作要求：学生阅读小括号的历史并思考括号的作用是什么？ 小括号“（　）”是公元17世纪由荷兰人吉拉特首先使用的。 中括号“［　］”是公元17世纪英国数学家瓦里士最先使用的。 在以后的学习中，还会用到大括号“｛　｝”，又称为花括号。大括号是法国数学家韦达在1593年首先使用的。 预设：大括号、中括号和小括号的功能一样，都是改变运算顺序的作用。
正确计算含有小括号和中括号的题目，提高运算能力。 理解“小括号”和“中括号”的作用，能正确计算，进一步增强推理意识和运算能力。 三、辅导练习 1.基础练习 先说一说下面各题的运算顺序，再计算。 （37+29×3）÷4 42×［169-（78+35）］ 2.变式练习 在240+60×2÷8中，按要求先加括号，再计算。 （1）按加法、乘法、除法的顺序计算。 （2）按乘法、加法、除法的顺序计算。 引导小组讨论一下，再独立完成。 三、解决问题 1.基础练习 预设：先算的运算可以画横线，再计算。 　（37+29×3）÷4 =（37+87）÷4 =124÷4 =31 　42×［169-（78+35）］ =42×［169-113］ =42×56 =2352 2.变式练习 易错点：第2问容易出错，先算乘法，学生加小括号，再算加法，学生再加中括号。教师及时纠错先算乘法不用加括号。 预设： （1）按加法、乘法、除法的顺序计算。 　（240+60）×2÷8 =300×2÷8 =600÷8 =75 （2）按乘法、加法、除法的顺序计算。 　（240+60×2）÷8 =（240+120）÷8 =360÷8 =45
能够分析小括号和中括号的使用条件，深化增强推理意识。 3.提升练习 根据运算顺序添上小括号或中括号。 （1）32×800-400÷25。先减再乘最后除 （2）32×800-400÷25。先除再减最后乘 （3）32×800-400÷25。先减再除最后乘 3.提升练习 易错点：这类题不能只考虑运算顺序（先算乘除再算加减），还要考虑运算的前后顺序。第二题就容易出错。400÷25是除法不用加小括号，但是800-400÷25得加小括号，因为800减的这个商在算式的后面，前面是乘法，要改变运算顺序所以加小括号。第三题也容易出错，先算减法800-400先加小括号，再算除法，除法在算式的后面，前面是乘法，要改变运算顺序，所以加中括号。 预设：（1）32×（800-400）÷25。先减再乘最后除 （2）32×（800-400÷25）。先除再减最后乘 （3）32×［（800-400）÷25］。先减再除最后乘
对本节课的知识进行归纳汇总和巩固，加深对括号的相关知识的理解。 四、引导反思 引导学生回顾总结本节课所学内容、方法和素养的提升。 四、提升问题 预设1：认识了中括号和知道了中括号的作用。 预设2：有括号和没有括号的运算顺序是什么？ 预设3：添加括号时，不能只考虑运算法则（先算乘除再算加减），还要考虑运算的前后顺序。
板书设计 有中括号、小括号的四则运算 　6×［（4+2）÷3］ =6×［（4+2）÷3］ =6×［6÷3］ =6×2 =12 当一个算式里同时出现中括号和小括号时，要先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算中括号外面的。
任务五　租船问题
教学目标 1.能够灵活运用四则混合运算知识解决生活中的简单实际问题，解决租船、租车、买票等数学问题，发展学生的应用意识。 2.通过探究“租船费用”最省的过程，感受数据变化的规律性，培养学生的推理意识，建立数学模型。 3.体会数学与生活的紧密联系，感受数学应用的灵活性、广泛性。
教学 重难点 1.运用有余数的除法有关知识解决生活中的简单问题。 2.通过对现实数据的分析进行合理调整。
教学准备 收集有关租船、租车、买票等相关的数学信息
目标落实 教师活动 学生活动 二次备课
回忆学过的四则混合运算的知识，为后面的学习做铺垫。 一、谈话导入 1.引导学生复习回忆本单元的知识，引入新知识。 我们通过玩扑克的游戏学习了四则混合运算，说说你都知道了些什么？ 2.今天我们就运用这些知识解决一些生活中的问题。 （板书课题：租船问题） 一、发现问题 学生回忆本单元有关四则运算的知识，为本节课的学习打下基础。 预设1：知道了加、减、乘、除的意义和各部分的名称及关系。 预设2：认识了中括号，能计算含有中括号和小括号的题目。 预设3：理解有关0的运算。
初步判断租哪种船便宜，发展应用意识。 二、引导合作 1.租哪种船便宜。 引导学生明确已知信息和问题，充分理解最省钱的意思。 （1）有32人要租船游玩1小时，怎样租船最省钱？ 观察图片，说一说你都知道了哪些信息？怎样理解最省钱。 二、探究问题 1.活动一： （1）合作要求：请同学们独立思考，小组讨论，说说自己的想法。 预设1：一共有32人，要租大船或小船1小时。 预设2：大船每小时收费24元，每条船最多坐6人。 预设3：小船每小时收费30元，每条船最多坐4人。 预设4：最省钱也就是花钱最少。 （课件相应出示有关信息）
（2）引导学生通过计算的方法得出哪种船省钱。 一共有32人，要租船游玩，大船和小船的租金不一样，怎样租船最省钱，你有什么想法？ 同学们说出了自己的想法，租大船比租小船便宜，租几条大船呢？为什么？ （2）合作要求：请同学们先独立思考在小组内交流一下，然后全班汇报。 预设1： 全租小船： 32÷4=8（条） 24×8=192（元） 全租大船： 32÷6=5（条）……2（人） 5+1=6（条）30×6=180（元） 192>180，租大船便宜。 预设2： 大船每个座位30÷6=5（元） 小船每个座位24÷4=6（元） 5<6租大船便宜。
探究“租船费用”最省的过程，培养学生的推理识。 2.调整方案。 （1）引导学生思考虽然租大船便宜，但是多出来的2人如果再坐一条大船这种安排并不是最便宜的方案。 （2）引导学生思考还有更便宜的方案吗，你有什么想法？ （3）引导学生对比这两种方案，哪一个更省钱？ 2.活动二： （1）合作要求：同桌两人讨论，再全班汇报， 预设1：租大船32÷6=5（条）……2（人） 多出来的2人单独坐一条大船。所以5+1=6（条） （2）合作要求：学生分组讨论多出来的2人怎么安排。 预设1：租5条大船，那2人租1条小船. 预设2：把小船上的2人和其中一条大船上的6人一共8人都安排坐小船，也就是8÷4=2（条）。需要租4条大船和2条小船。 （3）合作要求：先独立计算，再小组交流，全班汇报。
总结最省钱方案，培养建立数学模型意识。 3.总结最省钱方案。 （1）引导学生充分理解把安排多出来的2人坐满也就是不空位就是最省钱的方案。 小组讨论一下为什么第二种方案更省钱？ （2）引导学生再次理解不会有空位，也就是都坐满了是更省钱的方案。 那同学们思考一下还有更省钱的方案吗？ （3）引导学生小结：同学们说得真好！最省钱的方案一般要考虑两个问题：一是尽可能多租便宜的。二是尽可能减少空位。 预设：方案一： 5条大船，1条小船： 　30×5+24 =150+24 =174（元） 方案二： 4条大船，2条小船： 　30×4+24×2 =120+48 =168（元）　174>168 租4条大船和2条小船最便宜。 3.活动三： （1）合作要求：小组讨论第二种方案更省钱的原因。 预设：方案一：把2人安排在小船还是空出2个座位。方案二：把2人和1条大船的6人安排在2条小船上，就不会有空位了。 （2）合作要求：请同学们独立思考，小组讨论一下，全班汇报交流。 预设：不会了，因为大船便宜，要尽可能多地租大船，同时又要不留空位，全坐满。这种情况应该是最省钱的方案。
灵活利用四则运算的知识解决租船问题，进一步发展应用意识。 利用所学知识解决“买票”的问题，进一步提高推理能力。 三、辅导练习 1.基础练习 怎样租车最省钱？ 引导同学们独立思考方案的合理性，并完成。 2.变式练习 旅行社推出“××风景区一日游”的两种价格方案。 成人6人，儿童4人，选哪种方案合算？ 引导同学们认真读题，独立思考后，小组内讨论一下再计算 三、解决问题 1.基础练习 易错点：共有的人数应该加上老师，326+14=340（人）再计算。 预设： 326+14=340（人） 900÷40=22（元）……20（元） 500÷20=25（元） 22<25，尽量租大车 340÷40=8（辆）……20（人） 8辆大车，1辆小车： 900×8+500=7700（元） 答：租8辆大车和1辆小车最省钱。 2.变式练习 易错点：题目中已知方案一和方案二，可以分别算一算，然后比较得出更省钱的方案。 预设： 方案一：150×6+60×4 =900+240 =1140（元） 方案二：（6+4）×100 =10×100 =1000（元） 答：成人6人，儿童4人，选方案二合算。
通过分析，比较得出组合买票更省钱的方案，提高解决实际问题的能力。 3.提升练习 星光小学有15名老师带领105名学生去参观科技馆。 买票至少需要多少钱？ 3.提升练习 易错点：区别上一题，先引导学生利用分开和团体买票的两种方案，小组讨论交流想到更省钱的方案可以组合买票。 预设： 方案一：分开买 30×15+15×105=2025（元）
师：请同学们独立设计方案，然后独立思考后小组内交流，找出最省钱的方案。 方案二：全买团体票 （15+105）×20=2400（元） 方案三：组合买票 15名老师和40-15=25（名）学生一起买团体票，其余学生买学生票。 20×40+（105-25）×15=2000（元） 2400>2025>2000 答：买票至少需要2000元。
依据实际情况从给定的方案中选择或设计最经济的方案。 四、引导反思 引导学生回顾总结本节课所学内容、方法和素养的提升。 四、提升问题 预设1：最省钱的方案一般要考虑两个问题：一是尽可能多租便宜的。二是尽可能减少空位。 预设2：解决团体票和分开买哪一种更省钱的问题时，虽然组合买票更省钱，具体方案得看题目要求和实际情况。
板书设计 解决问题 全租大船：32÷6=5（条）……2（人）
5+1=6（条）　30×6=180（元）
全租小船：32÷4=8（条）
24×8=192（元）
192>180，租大船便宜。
　　大船每个座位30÷6=5（元）
小船每个座位24÷4=6（元）
5<6租大船便宜。
调整：方案一：32÷6=5（条）……2（人）
租5条大船，1条小船：
　30×5+24
=150+24
=172（元）
方案二：尽可能不空座位，
租4条大船，2条小船：
　30×4+24×2
=120+48
=168（元）
租4条大船和2条小船最便宜。
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