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2.4　质数和合数
教学目标 1.理解质数和合数的概念，明确质数和合数的内在特征，感受质数、合数和1与因数个数之间的关系。 2.学生在游戏探究、合作交流中经历质数与合数概念形成的过程，渗透分类的数学思想，建构数的特征，体验数学的探索与创造性，继续发展数感和推理意识。 3.感受数学文化的魅力，培养学生勇于探索的科学精神。
教学重难点 1.理解和掌握质数和合数的概念。 2.正确判断出质数或合数。
教学准备 课件、操作单、2张设计单。
目标落实 教师活动 学生活动 二次备课
在游戏中，提高学生学习兴趣，培养学生观察思考、动手操作的能力。 一、情境导入 活动一：游戏导入 1.喜欢玩游戏吗？先来玩一个既动手又动脑的数学游戏。游戏规则： （1）根据长方形的面积，画出对应的长方形，长和宽取整厘米数。 （2）画出不同长方形的个数多的组获胜。举个例子来试一下。长方形的面积是6 cm2，可以画出什么样的长方形？ 一、发现问题 活动一：学生游戏 1.学生根据长方形面积数6 cm2，独立思考和操作，画出不同的长方形。 预设：面积数是6 cm2的长方形有两个，分别是长3 cm、宽2 cm和长6 cm、宽1 cm的长方形。
培养学生分析问题、思考问题、提出猜想的能力。 2.规则是否已经明白了？接下来开始比赛。第一组长方形的面积是8 cm2，第二组是12 cm2。 　教师根据学生汇报，呈现长方形。 活动二：分析输赢原因。第一组输了，你们认为是什么原因？思考一下。 小结：我们猜测长方形的个数跟因数的个数有关系，接下来还要进行验证。 2.第一组学生画面积是8 cm2的长方形，第二组画面积是12 cm2的长方形，完成操作单。 预设1：第一组，2个。分别是长8 cm、宽1 cm；边长是4 cm。 预设2：第二组，3个。分别是长12 cm、宽1 cm；长6 cm、宽2 cm；长4 cm、宽3 cm。 第一组输，第二组赢。 活动二：学生小组讨论输赢的原因。 预设1：可能跟因数个数有关系。 预设2：8和12的因数的个数不同。8的因数有4个，12的因数有6个。
通过自己设计游戏单，让学生成为探究知识的主人，在验证猜想的同时提高成就感和学习兴趣。 二、引导合作 活动一：质数和合数概念 1.继续玩游戏。前面是老师指定数，这次给大家一些数，自己来设计。（单位：cm2） 长方形的面积分别为 2、3、4、5、6、7、8、9 设计单 对方组 长方形的面积 （单位：cm2）自己组 长方形的面积 （单位：cm2）
2.说一说这么分配的理由。 二、探究问题 活动一：质数和合数概念 1.学生根据规则，小组活动，将给出的面积数分给对方组和自己组，保证拿出自己组任何一个数都能赢。（单位：cm2） 预设 对方组：2、3、5、7 自己组：4、6、8、9 2.学生汇报：对方组的面积数都只能画出一个长方形，自己组的都能画两个。
鼓励学生透过现象看本质，锻炼学生观察反思、分析总结的能力，提升数感。 活动二：深入分析：如何能赢。 1.继续思考，给自己组什么样的数就一定会赢？长方形的个数跟什么有关系？ 小结：通过分析，对应一个长方形的这些数，都是只有2个因数。对应两个长方形的数至少有3个因数。 2.那么大一点的面积数，也是这样吗？下面在游戏中继续来验证。（单位：cm2） 长方形的面积分别为 10、11、12、13、14、15、16、17、18、19、20 设计单 对方组 长方形的面积 （单位：cm2）自己组 长方形的面积 （单位：cm2）
　把这些数继续填在设计单里。 师根据学生回答进行及时评价和肯定。 3.总结赢的方法和窍门。 活动二：深入思考。 1.长方形的个数跟什么有关系？ 预设1：跟因数的个数有关系。 预设2：因数越多，画的长方形就越多。 （2个因数） （至少3个因数） 2.本次用的数再大点，继续根据规则，进行第三次小组活动。 也要保证，拿出任意一个自己都会赢对方。 预设：对方组11、13、17、19。这些都只能组成一个长方形。自己组10、12、14、15、16、18、20这些至少能组两个长方形。 3.学生思考赢的方法和窍门。 预设：我们把只有两个因数的数给对方，把至少有三个因数的数给了自己。
培养语言表达能力，能清晰表述思考过程，锻炼思维严谨性，建构数的特征。 掌握质数与合数的内在特征。 渗透分类的数学思想，进一步发展数感。 活动三：观察分析，确认长方形的个数和因数的关系。 1.对比以下两组数的因数，有什么想和大家分享的吗？ 一个长方形 2的因数：1、2 3的因数：1、3 5的因数：1、5 7的因数：1、7 11的因数：1、11 13的因数：1、13 17的因数：1、17 19的因数：1、19 至少两个长方形 4的因数：1、4、2 6的因数：1、6、2、3 8的因数：1、8、2、4 9的因数：1、9、3 10的因数：1、10、2、5 12的因数：1、12、2、6、3、4 14的因数：1、14、2、7 15的因数：1、15、3、5 16的因数：1、16、2、8、4 18的因数：1、18、2、9、3、6 20的因数：1、20、2、10、4、5 2.继续来透过现象看本质。因数的个数决定了长方形的个数。为什么只有两个因数对应的就只有一个长方形呢，至少3个因数对应的就至少2个长方形呢？ 3.如果因数的个数更多点呢？ 活动四：质数、合数的定义。 1.今天研究的这两类数在数学上很有价值，它们都有自己的名字，分别叫质数（素数）和合数。教师板书：质数和合数的定义。 2.谁来说说：什么样的数是质数？什么样的数是合数？在上面那幅图中哪些是质数？哪些是合数？ 活动三：观察分析，确认长方形的个数和因数的关系。 1.学生仔细观察两组数的因数的个数及特点，回答问题。 预设1：左边这些数都有1和它自己本身两个因数。 预设2：右边的这些数，除了有1、它本身这两个因数外，还有另外的数。 2.同桌间合作讨论。 预设1：长方形要求面积的话，需要两个数相乘，若是这个数有两个因数的话就正好一个是长、一个是宽。 预设2：可以举例说说。比如7，因数只有两个，分别是1和7，所以只能对应长7、宽1。 预设3：8的因数有4个，画长方形的时候可以长8、宽1，也可以长4、宽2。 3.学生思考因数的个数越多，画出的长方形就会越多。 活动四：掌握质数、合数的定义。 1.学生根据质数和合数的定义，进行理解和记忆。 2.学生根据板书提示，陈述质数和合数定义并分析上图中数的情况。 预设：数2、3、5、7、11、13、17、19都是质数。 数4、6、8、9、10、12、14、15、16、18、20都是合数。
学生自主建构知识，形成知识网络，提高应用和合作探究的能力。 了解古人研究质数与合数的过程，体验数学的探索与创造性，提高学习数学的兴趣。 活动五：100以内质数表，根据因数的个数给自然数分类。 1.我们已经找到了20以内的质数和合数。老师说一个数，你来判断行吗？说说理由。 7、35、27、1 小结：根据因数的个数，我们可以把所有的自然数分为三类，分别是质数、合数和1。 2.你还能说几个质数吗？这样的数能说的完吗？ 活动六：制作100以内质数表。 1.想想怎样找出100以内所有的质数，制成质数表。 2.找到方法后，同桌合作完成。 要求：边找边记忆，想一想，哪几个数容易记错？ 活动七：质数、合数名字的由来接下来解答学生的疑惑：为什么叫质数或者合数这样的名字呢？一起来看看古人的研究。 有的数，用石头能够摆成几排几列的长方形。如：15块石头 有的数，只能将所有石头摆成一个直条状。如：5块石头 活动五：100以内质数表根据因数的个数给自然数分类。 1.学生依次根据质数合数的定义对7、35、27进行判断。 预设：学生对1的判断有分歧。 小组讨论1的情况：1只有一个因数，所以它既不是质数也不是合数。 2.学生回答并说明理由。 预设：23、57等。 这样的质数有无数个，说不完。 活动六：制作100以内质数表。 1.学生首先思考如何找到100以内所有的质数。 预设1：一个一个地验证； 预设2：先去掉1，再把2的倍数、3的倍数、5的倍数、7的倍数依次去掉。 2.学生同桌合作，共同圈出100以内所有的质数。 预设：51、57、87、91等比较容易记混淆。 活动七：学生观看课件，了解古人的研究历程。
15块石头 合数（多排多列） 5块石头 质数（直条状） 最本质的属性——能否排列为一个多排多列的长方形。 质数，只能够分成一堆或者是几就等分成几堆。 即：质数，只有1和它本身两个因数。 如：5块石头 合数，还能够被其他的数等分。 即：合数，除了1和它本身，还有其他的因数。 如：15还能够被3和5等分。 《数理精蕴》把质数看作“数的根本”，称为“数根”。但后来因“数根”为“树根”同音。容易混淆，而“质”有根本的意思，所以改称为“质数”。 国际上，多把质数看作是自然数的“元素”，所以又称之为“素数”，由于合数可以看作是由质数合成的，就称为“合数”。
加深巩固判断一个数是质数还是合数的方法。 培养学生知识应用、知识迁移和类推的能力。 培养综合运用知识解决问题的能力，发展数据分析意识，提升数感。 三、辅导练习 1.基础练习 把下面各数填入相应的框里。 9　 68　 21　 99　 37 49 87 56 8 63 5 59　 70　 75　 51 91　 16　 23 2.变式练习 （1）最小的质数是（　　）。 （2）最小的合数是（　　）。 3.提升练习 为推进节能环保，国家鼓励新能源汽车消费。李叔叔新购一台新能源汽车，车牌号是“鲁AD ”，后五位数从左往右数，第一位是最小的质数，第二位的最小倍数是3，第三位是最小的合数，第四位既不是质数也不是合数，第五位的最大因数是9，你知道这个车牌号的后五位数是多少吗？ 三、解决问题 1.基础练习 逐一分析，并根据质数、合数、奇数、偶数的定义说清理由。 2.变式练习 （1）根据题目填空，最小的质数是2，最小的合数是4。 （2）思考：有没有最大的质数和合数？ （3）介绍：古希腊数学家欧几里得的《几何原本》中，就证明了素数有无穷多个。 （4）现在找到的最大质数： 282589933-1，它是一个24862048位数。 3.提升练习 预设：最小的质数是2， 3的最小的倍数是它本身3， 最小的合数是4， 1既不是质数也不是合数， 9的最大因数是它本身9， 所以车牌号后五位是23419。
拓展知识，感受数学在生活实际中的应用。 养成爱探究、善于学习的意识，感悟数学的魅力。 四、引导反思 活动一：尽管我们感觉质数和合数在日常生活中的应用较少，但实际上在信息安全、机械制造、导弹、鱼雷的发射等高精尖领域的应用却非常广泛，所以一直是数论的一个重要的研究内容。 活动二：数论的研究，经常需要对数的关系进行猜想和验证，能不能根据我们今天学习的知识猜测一下，合数和质数之间有没有什么样的关系呢？ 数学上有一个很伟大的猜想——哥德巴赫猜想，通过资料来了解一下。 到目前为止，哥德巴赫猜想还没有得到证明，希望你们努力学习，试着验证这个猜想！ 四、提升问题 活动一：学生尝试猜测。 预设1：两个质数的积是合数，比如2×3=6。 预设2：两个质数的和是合数，比如5+7=12。 活动二：根据教师提供的继续学习资源，课后继续进行探究。 哥德巴赫猜想 从上面的资料我们看到：4=2+2，6=3+3，8=5+3，10=7+3，12=7+5，14=11+3……那么，是不是所有大于2的偶数，都可以表示两个质数的和呢？ 这个问题是德国数学家哥德巴赫最先提出的，所以被称作哥德巴赫猜想。哥德巴赫猜想看似简单，要证明却非常困难，成为数学中一个著名的难题，被称为“数学皇冠上的明珠”。世界各国的数学家都想攻克这一难题，但至今还未解决。我国数学家陈景润在这一领域取得了举世瞩目的成果。
板书设计 质数和合数 自然数
（0除外） 100以内质数表 2　3　5　7　11　13　17　19　23　29　31　37　41　43　47　53　59　61　67　71　73　79　83　89　97
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