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4.8　公因数和最大公因数的应用
教学目标 1.进一步理解公因数和最大公因数的意义，并能解决生活中的实际问题。 2.经历获取信息、自主探究、归纳总结等数学活动，掌握解决此类问题的方法和策略，提高学生分析解决问题的能力，培养学生的应用意识及推理意识。 3.体会数学与生活的密切联系，激发学习数学的兴趣。
教学重难点 1.会用最大公因数解决生活中的实际问题。 2.能将实际问题转化成数学问题，提高学生分析解决问题的能力，培养应用意识及推理意识。
目标落实 教师活动 学生活动 二次备课
初步感知将实际问题转化成数学问题，体会数学与生活的联系，培养学生的应用意识。 一、情境导入 活动一：初步感知将实际问题转化成数学问题。 课件出示木棒： 这是一根16分米长的木棒，我想把它截成若干段长度相等（整分米）的小木棒且没有剩余，小木条的长度可以是多少分米？ 1.读题，你从中得到了哪些关键信息？这些信息隐藏了什么样的数学问题？ 2.你可以解决这个问题了吗？ 小结：数学是为生活服务的，我们要善于将生活中的问题转化成数学问题，然后利用数学的知识来解决问题。这节课我们继续学习解决问题。 一、发现问题 活动一：初步感知将实际问题转化成数学问题。 1.学生读题并获取关键信息。 预设：长度相等、整分米、没有剩余。 预设：要想满足这些信息，说明小棒的长度得是16的因数。 2.学生独立解决这个问题。 预设：16的因数：1，2，4，8，16。 小木棒的长度可以是1 dm，2 dm， 4 dm，8 dm，16 dm。
培养学生获取信息、分析信息的能力，进一步将生活问题转化成数学问题，感知生活与数学的联系。 二、引导合作 活动一：阅读理解获取信息。 1.课件出示情景：小亮家的储藏室长16 dm，宽12 dm。 问：从图中，你得到什么信息？ 你知道小亮家的储藏室是什么形状吗？ 2.课件出示装修要求：如果用边长是整分米数的正方形地砖把贮藏室的地面铺满（使用的地砖必须是整块）。 （1）请仔细阅读，你又获得了哪些信息？ （2）你是怎样理解这些信息的？ 3.怎样叫铺满？ 教师进一步用课件动画演示铺满的含义。 4.出示问题：弄清楚了装修要求，你认为小亮家去购买地砖时首先要考虑的是什么？ 小结：地砖的面积大小由边长决定，所以，我们在买砖时需要考虑地砖的边长。 活动二：自主探究初步形成解决问题的策略。 出示问题：小亮请我们帮忙算一算：可以选择边长是几分米的地砖？边长最大是几分米？ 二、探究问题 活动一：阅读理解获取信息。 1.学生读图，获取信息，分析储藏室的形状。 预设：根据图中信息，得到储藏室是一个长方形。 2.阅读装修要求，获得关键信息，理解分析相关要求。 预设1：边长是整分米，正方形地砖，铺满，地砖是整数块。 预设2：这些地砖是正方形的，边长是整数，而且必须用整数块，也就是不能分割，要把整个储藏室铺满。 3.学生说一说自己对铺满的理解。 预设：沿着长边铺，不能留空隙； 沿着宽边铺，不能留空隙。 4.学生思考分析，将生活问题转化成数学问题。 预设：可能有学生会说：购买地砖首先考虑地砖的面积； 也有学生认为：购买地砖首先考虑地砖的边长。 活动二：自主探究初步形成解决问题的策略。
通过合作探究，直观操作，归纳总结，使学生初步形成解决此类问题的方法和策略。 抽象出数学问题，掌握解决问题的一般方法，提高学生解决问题的能力，初步培养学生应用意识及推理意识。 1.请同学们打开任务单，借助任务单，以小组为单位进行思考交流：正方形的边长可以选择几分米？ 任务单 要求：以小组为单位，在下面的长方形方格纸上，每人选择一种边长的方砖，试一试，只要画满一条长边，一条宽边就可以。 2.教师根据学生的展示进行动画演示。 活动三：总结发现问题的本质。 1.通过刚才的探究过程，你们发现方砖的边长和储藏室长、宽的关系了吗？ 师小结：方砖的边长是12和16的公因数。 2.怎样求12和16的公因数？ 3.边长最长是几分米是指什么？ 师小结：要想把长方形地面铺满正方形的地砖，而且要满足方砖边长是整数分米，块数是整数块，求方砖的边长实际上就是转化成求长和宽的公因数。 1.小组合作交流探究，研究可行的方砖方案。 2.学生汇报展示。 预设1：边长是1 dm，沿长铺16块，沿宽正好铺12块。 预设2：边长是2 dm，沿长铺8块，沿宽正好铺6块。 预设3：边长是4 dm，沿长铺4块，沿宽正好铺3块。 预设4：边长是6 dm沿长铺，不能满足整数块，所以不可行。 活动三：总结发现问题的本质。 1.学生独立思考方砖边长和储藏室长、宽的关系。 预设：要使所用的正方形地砖都是整块的，地砖的边长必须既是16的因数，又是12的因数。 2.学生根据已有知识求12和16的公因数。 预设：列举法，筛选法。12和16的公因数有1，2，4。所以方砖的边长可以是1 dm，2 dm，4 dm。 3.学生思考分析，进一步将生活问题转化成数学问题。 预设：最长是几分米，实际是求12和16的最大公因数，12和16的最大公因数是4，所以方砖边长最大是4 dm。
巩固利用公因数、最大公因数解决问题的方法策略。 进一步培养学生解决问题的能力，培养应用意识及推理意识。 提高学生解决问题的策略以及思维的灵活性，进一步培养应用意识及推理意识。 三、辅导练习 1.基础练习 课本P63第5题。 有一张长方形纸，长70 cm，宽50 cm。如果要剪成若干张同样大小的正方形而没有剩余，那么剪出的正方形的边长最大是多少厘米？ 2.变式练习 男生有48人，女生有36人分别站成若干排。要使每排的人数相同，每排最多多少人？这时男、女生分别有几排？ 3.提升练习 毕业了，六（1）班的同学买来27枝白百合、36枝黄玫瑰和18枝红玫瑰，准备扎成花束送给老师，用这些花最多可以扎成几束同样的花束？在每束花中，三种花各几枝？ 三、解决问题 1.基础练习 引导学生找关键信息，长70 cm，宽50 cm；同样大小，没有剩余。 引导学生分析出最大边长实际是70和50的最大公因数。 2.变式练习 引导学生读题，分析题意，每排人数一样多，说明每排的人数是48和36的公因数，每排最多多少人，实际上求48和36的最大公因数。 强调所求得最大公因数是每排人数，根据每排人数再求男生、女生的排数。 3.提升练习 27、36和18的最大公因数是9，最多可以扎成9束同样的花束。在每束花中，白百合有3枝，黄玫瑰有4枝，红玫瑰有2枝。
通过沟通对比，挖掘解决问题的本质特征，进一步培养学生的应用意识，形成解决问题的策略。 四、引导反思 1.在今天这节课上，我们解决生活中的一些问题。铺砖问题，男、女生排队问题，扎花问题（课件出示这三个问题进行对比）。 （1）这些看起来不同的情景，不同的问题，它们有什么相同之处吗？ （2）为什么可以用求公因数或者最大公因数解决。 2.回顾本节课，在解决问题时，我们是按照怎样的步骤进行的？ 四、提升问题 1.学生同桌总结回顾并思考汇报。 预设1：都可以用求公因数的方法解决。 预设2：同时满足两个数或者多个数被平均分，每份同样多且没有剩余，所以转化成求两个或多个数的公因数及最大公因数。 2.学生回顾解决问题的过程。 预设：理解题意——分析解答（生活问题转化成数学问题）——回顾反思
板书设计 公因数和最大公因数的应用 16和12的公因数：1，2，4 16和12的最大公因数是4。　　　理解题意 　　　　　　　　　　　　　　　　分析解答求公因数、最大公因数 正方形的边长可能是1 dm，2 dm，4 dm。最大是4 dm。
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