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探索图形
单元分析
一、单元核心素养分析
本节课让学生运用所学过的正方体的特征等知识，探索由小正方体拼成的大正方体中各种涂色小正方体的数量，发现其中蕴含的数量上的规律，以及每种涂色小正方体的位置特征，属于图形与几何范畴，核心素养指向是空间观念及推理意识。
依据《数学课程标准（2022版）》，空间观念主要是指对空间物体或图形的形状、大小及位置关系的认识。在本节课中，通过观察、想象、直观演示感知涂色正方体的块数与顶点、棱、面的关系，培养空间观念。
推理意识主要是指对逻辑推理过程及其意义的初步感悟。本节中，通过研究表面涂色小正方体块数的规律，在观察、分析、归纳和类比中，发现并总结出初步的结论，积累数学思维活动经验，提升推理意识。
二、单元教学目标
1.进一步认识和理解正方体的特征。
2.通过观察、列表、想象等活动经历“找规律”的全过程，获得“化繁为简”的解决问题的经验，让学生体会分类、数形结合、归纳、推理、模型等数学思想，培养学生的空间观念和推理意识。
3.培养学生勇于探索的科学精神以及实事求是、一丝不苟的科学态度。
三、单元教学整体结构
单元板块 教师主要问题链 学生主要活动 评价目标
板块一 探索图形 问题1：把一个表面涂色的大正方体平均分成27个大小相同的小正方体，你能发现什么？ 活动1：学生根据直观展示图，进行观察和思考。 目标1：直观演示，激发学生的学习和探究兴趣。
问题2： （1）分成的小正方体一共有几种不同的涂色情况？ （2）涂色不同的小正方体分别在什么位置？ （3）涂色不同的小正方体分别有多少个？一定吗？ 活动2：学生独立完成探究活动：正方体表面涂色问题（一）学习单。 目标2：初步感知规律，培养学生简洁的语言表达和分析问题的能力。
问题3：如果表面涂色的棱长是4、5的大正方体，分别切成棱长为1的小方块又是怎样的情况呢？ 活动3：学生尝试完成探究活动：正方体表面涂色问题（二）学习单。 目标3：继续深入研究规律，培养推理意识和空间观念。
问题4：每种小正方体数量跟棱长有什么关系？能尝试用算式表示吗？ 活动4：学生完成学习单（三）并尝试用含有棱长n的式子表示每种小正方体的数量。 目标4：培养学生推理意识和符号表达能力。
　探索图形
教学目标 1.进一步认识和理解正方体的特征。 2.通过观察、列表、想象等活动经历“找规律”的全过程，获得“化繁为简”的解决问题的经验，让学生体会分类、数形结合、归纳、推理、模型等数学思想，培养学生的空间观念和推理意识。 3.培养学生勇于探索的科学精神以及实事求是、一丝不苟的科学态度。
教学重难点 1.学会从简单的情况找规律，解决复杂问题的化繁为简的思想方法。 2.探索规律的归纳方法，提高空间观念和推理意识。
教学准备 课件、学习单。
目标落实 教师活动 学生活动 二次备课
通过直观演示，感悟小正方体涂色面的数量是不一样的，激发学习兴趣，培养学生提出问题的能力。 一、情境导入 活动一：课件出示一个正方体。 1.引导学生思考所有的面涂色，涂了几个面？ 2.将刚才的正方体切开，你能发现什么？ 3.那针对这些小的正方体，你想研究些什么？ 一、发现问题 活动一： 1.学生根据课件展示，思考问题。 预设：虽然只能看到3个面，但实际是涂了6个面。 2.学生根据课件的呈现，回答问题。 预设：每个小正方体涂色面的数量是不一样的。 3.学生根据切开的正方体，尝试提出研究问题。 预设1：表面涂2个面的小正方体有多少个？ 预设2：表面涂3个面的小正方体有几个？
通过操作，引发思想和行动的冲突，激发起学生探究的欲望。 二、引导合作 活动一：游戏初体验。 指导学生游戏初体验。 1.教师呈现打乱的9个涂色小正方体，你们能帮我复原吗？ 活动要求：2分钟，比一比哪一组的动手能力强。 2.通过刚才的这个过程，你们觉得复原简单吗？难在哪？ 教师将学生的困惑进行整理。 （1）小正方体有几种？ （2）分别在什么位置？ （3）各有多少个？ 活动二：引导学生探究活动：正方体表面涂色问题（一） 1.看来这不仅是动手问题，还是个动脑问题。 请学生拿出学习单（一）探究。 探究活动：正方体表面涂色问题（一） （1）想一想，这样的小正方体一共有几种？ （2）再想一想，不同的小正方体分别在什么位置？ （3）数一数：不同的小正方体分别有多少个？确定吗？ 提示：简要作答，第（2）题只思考不作答。 二、探究问题 活动一：游戏初体验。 1.学生按照活动要求，小组合作将打乱的小正方体复原。 2.学生根据刚才的操作，思考复原的过程难在哪？ 预设1：每个涂色的小方块放在哪个位置比较难。 预设2：找几个面涂色的方块比较难。 预设3：可能会看错，比如感觉是2个面涂色，实际上是3个面涂色。 活动二：探究活动：正方体表面涂色问题（一） 1.学生根据学习单（一），独立思考完成任务。
通过观察、思考、想象等活动，使学生体会分类的数学思想。 培养学生分析问题、解决问题的能力。 在形成表象的过程中，初步培养学生的空间观念。 2.组织学生汇报交流，并及时给予评价和纠正。 第（1）题提示：说三种的是哪种情况没想到？ 根据学生回答板书四种分类： 3面　2面　1面　0面 第（2）题提示：注意语言规范和简洁。 3面涂色的小正方体在大正方体的8个顶点上。 2面涂色的小正方体在大正方体棱的中间。 1面涂色的小正方体在大正方体每个面的中间。 第（3）题提示：①语言表达完整；②对于这个三层的正方体来说，每个数据是一定的吗？ 指导学生有序、分类思考。 3.带学生继续在脑中形成表象，记忆每种小正方体的位置，同桌说一说。 4.请组长将刚才复原游戏中的小正方体再打乱，小组合作，根据刚才的分析，将大正方体复原。 5.组织学生进行经验分享。 2.学生汇报。第（1）题： 预设1：按涂色面数的不同，可以分为三种。 预设2：按涂色面数的不同，可以分为四种。 第（2）题：学生上台鼠标点击并语言表达。 预设1：3面涂色的在上面的4个角和下面的4个角。 预设2：2面涂色的在大正方体的棱上。 预设3：1面涂色的在大正方体每个面的中间。 预设4：0面涂色的在大正方体的第二层的中心。 第（3）题： 预设1：因为有3面涂色的正方体都在顶点上，正方体有8个顶点，所以3面涂色的正方体就有8个。 预设2：2面涂色的每层有4个，三层就是12个。每条棱上有1个2面涂色的，12条棱就有12个。 预设3：正方体每个面上有一个1面涂色的，6个面就有6个，数量也是一定的。 预设4：①大正方体一共有3×3×3=27个小正方体，去掉前面的8个、12个、6个，还剩下1个，所以0面涂色的只有1个。②大正方体只有中间那一个小正方体是我们看不见的，所以就它是0面涂色的。 3.学生同桌交流每种小正方体所在的位置。 4.学生根据前面的分析，小组合作复原大正方体。 5.经验分享。 预设：先将小正方体分类，然后拼摆。
通过列表、想象、合作讨论、知识迁移等活动，进一步感知认识和理解正方体的特征，积累数学活动经验，培养推理意识。 借助直观演示，提高学生的空间观念。 活动三：指导学生探究活动：正方体表面涂色问题（二） 1.刚才研究的是棱长为3的大正方体涂色后各个不同的小正方体的情况，如果棱长是4、5，那么不同的小方块又是怎样的情况呢？ 拿出学习单二，独立完成，或同桌小声讨论。 探究活动：正方体表面涂色问题（二） 3面涂 色的个 数2面涂 色的个 数1面涂 色的个 数0面涂 色的个 数
提示：观察、想象、思考，可以在图上圈一圈，画一画，完成学习单（二）。 2.组织学生汇报交流，没写完也不要紧，带着思考来交流。 3.根据学生的回答，重点解决答案不同的问题：棱长为4的0面涂色的数量。 找两个不同答案的同学说一说理由。 根据学生的回答，课件直观呈现： 活动三：探究活动：正方体表面涂色问题（二） 1.学生根据要求，独立完成学习单（二），探究棱长是4、5的正方体表面的涂色问题。 2.学生汇报，订正答案。 棱长为4的正方体。 预设： 3面涂色的有8个，2面涂色的有24个，1面涂色的有24个，0面涂色的有8个（还有可能回答4个）。 棱长为5的正方体 预设： 数据分别是8、36、54、27个。 3.学生间辩论棱长为4的0面涂色的数量。 预设1：一共4×4×4=64（个），64-8-24-24=8（个） 预设2：一共四层，上面一层都能看到，下面一层也都能看到，只有中间两层看不全，两层的棱长又都能看到，所以只有中间的看不到，看不见的长、宽、高都是2，所以2×2×2=8（个）。
经历“找规律”的全过程，渗透数形结合的数学思想，获得“化繁为简”的解决问题的经验，促进学生总结概括、推理意识和符号表达水平的提高。 通过3个问题辨析将知识的掌握从感性上升到理性，掌握知识的本质，为后续解决变式问题打好基础。 活动四：指导学生探索规律。 1.引导学生观察记录的数据，你发现了什么？ 2.根据大家的思路，小组合作分析每种小正方体数量跟棱长的关系，尝试用算式表示。完成学习单（三）。 探究活动：正方体表面涂色问题（三） 3面涂 色的个 数2面涂 色的个 数1面涂 色的个 数0面涂 色的个 数
3.组织学生汇报交流2面、1面、0面涂色的小正方体的数量。 4.根据学生回答，教师提出以下问题，引发学生继续思考。 问题1：2面涂色的算式中都有12，表示什么意思？后面的因数都比棱长数少几？为什么？ 问题2：1面涂色的算式中都有6，表示什么意思？借助拆开图，观察每个面上1面涂色的拼起来是什么形状？ 问题3：0面涂色的，请结合前面的拆开图考虑，看不见的部分是什么样的图形，棱长和大正方体的棱长有什么关系？ 活动四：探索规律。 1.学生观察分析记录的数据，表达自己的想法。 预设1：3面都涂色的小正方体的数量都是8，跟几层没有关系。 预设2：其余涂色的小正方体的数应该跟层数（棱长）有关系。层数（棱长）越多，数量也越多。 2.学生小组合作，完成学习单（三）。 3.学生汇报交流。 预设1：棱长是3的正方体 2面涂色：12×1=12，1面涂色：6×1=6，0面涂色1。 预设2：棱长是4的正方体 2面涂色：12×2=24，1面涂色：6×4=24，0面涂色：2×2×2=8。 预设3：棱长是5的正方体 2面涂色12×3=36，1面涂色6×9=54，0面涂色3×3×3=9。 4.小组交流，学生汇报。 问题（1） 预设： 2面涂色的都在棱上，12表示正方体的12条棱，少的是顶点上的2个小正方体。 问题（2） 预设： 1面涂色的都在每个面上，6表示6个面，拼起来的这个面是正方形。 问题（3） 预设：0面涂色的在正中间，三幅图分别是棱长为1、2、3的正方体，这些正方体的棱长比原来的棱长少2。
5.继续带学生深入分析：如果用n表示棱长，那么请尝试写一写2面、1面、0面涂色的块数，填写在学习单（三）的下面。 教师需要帮助学生书写规范。 5.学生继续小组合作，尝试用含有字母n的式子表示每类小正方体的数量。 预设： 棱长为n812×（n-2）6×（n-2）2（n-2）3
扎实基础，培养学生应用规律解决问题的能力。 培养学生灵活运用知识解决问题的能力，进一步培养推理意识。 进一步培养学生的空间观念和推理意识。 三、辅导练习 1.基础练习 将一块1 dm3的正方体铁块的表面涂上油漆，然后切割成1 cm3的小正方体，在这些小正方体中，一面涂油漆的小正方体共有多少块？ 2.变式练习 将长6 cm、宽5 cm、高4 cm的长方体木块的六个面都涂上红色，然后分割成棱长1 cm的小正方体木块。在这些小正方体中，三面涂色的有多少块？两面涂色的有多少块？一面的呢？ 3.提升练习 把下图的表面涂色后，小正方体涂色的面数有哪些情况？分别有多少块？ 三、解决问题 1.基础练习 预设：相当于解决棱长是10的大正方体中1面涂色块数的问题。直接带入公式： 6×（10-2）2 =384（块） 2.变式练习 预设： 3面涂色小正方体依然在顶点上，共8个。 2面涂色的依然在棱上，每条长上有6-2=4块，每条宽上有5-2=3块，每条高上有4-2=2块。共有4×（4+3+2）=36（块） 1面涂色的面上，前面除了棱上还有（4-2）×（6-2）=8块，右面除了棱上还有（4-2）×（5-2）=6（块），上面除了棱上还有（5-2）×（6-2）=12（块）。共有2×（8+6+12）=52（块） 3.提升练习 预设： 5面涂色的1块， 4面涂色的6块， 3面涂色的2块， 2面涂色的3块， 1面涂色的1块。
回顾知识，培养学生总结概括的能力。 提供继续学习资源，培养学生善于学习的能力。 四、引导反思 引导学生谈谈收获。 1.通过这节课的学习，你有什么收获？ 2.在本节课整个探究的过程，你觉得哪些数学能力比较重要？ 3.课下请同学们用学到的知识数一数下面这个几何体中各小正方体的数量吧！ 四、提升问题 活动一：学生思考并进行归纳总结。 预设1：棱长是3、4、5的正方体每种小正方体的数量是不同的。 预设2：棱长是n的正方体，每种小正方体的数量是有规律的。 活动二：学生回忆，尝试说一说。 预设1：0面涂色的数量，能“想象”还是很重要的。 预设2：在最后的环节，归纳总结的能力也是很重要的。 活动三：学生课下尝试。
板书设计 探索图形 3面涂色的个数2面涂色的个数1面涂色的个数0面涂色的个数812×（3-2）=126×（3-2）2=61812×（4-2）=246×（4-2）2=24（4-2）3=8812×（5-2）=366×（5-2）2=54（5-2）3=27棱长为n812×（n-2）6×（n-2）2（n-2）3
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