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(共28张PPT)
第七章　相交线与平行线
7.1　相交线
7.1.1　两条直线相交
课标要求 核心素养
1.理解对顶角、补角的概念;探索并掌握对顶角相等的性质. 2.理解垂线、垂线段的概念,能用三角板或量角器过一点画已知直线的垂线;能用尺规作图:过一点作已知直线的垂线;过已知直线外一点画这条直线的平行线. 3.识别同位角、内错角、同旁内角;理解平行线的概念;掌握平行线基本事实Ⅰ,掌握平行线基本事实Ⅱ. 4.探索并证明平行线的判定定理;探索并证明平行线的性质定理. 5.通过具体实例,了解定义、命题、定理、推论的意义;了解反例的作用. 6.通过具体实例认识平移,探索它的基本性质 抽象能力
几何直观
推理意识
应用意识
情境导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂达标
叁
新知初探
贰
情境导入
壹
情境导入
视频引入
观察下列图片，说一说直线与直线的位置关系.
直线与直线相交于一点，并形成了四个角.
你发现了什么？
新知初探
贰
新知初探
任务一　探究邻补角与对顶角的概念
活动：握紧把手时，随着两个把手之间的角逐渐变小，剪刀刃之间的角也相应变小直到剪开布片.如果把剪刀的构造看作两条相交的直线，这就关系到两条相交直线所成的角的问题.
思考 剪刀剪东西的过程中,你能说说∠AOC与∠AOD,
∠AOC与∠BOD这两对角的位置保持怎样的关系吗？
A
O
C
B
D
∠AOC和∠BOD有公共顶点，且∠AOC的两边分别是∠BOD两边的反向延长线.
∠AOC和∠AOD有一条公共边AO，且∠AOC的另一边是∠AOD另一边的反向延长线.
1
2
3
4
A
B
C
D
O
邻补角：如果两个角有一条公共边，它们的另一边互为____________，那么这两个角互为邻补角.图中∠1的邻补角有___________.
反向延长线
∠2, ∠4
1
2
3
4
A
B
C
D
O
对顶角：如果一个角的两边是另一个角的两边的 ，那么这两个角互为对顶角.图中∠1的对顶角是______.
反向延长线
∠3
(1)下列图中的∠1与∠2是邻补角吗 为什么
不是
是
(2)下列各图中∠1,∠2是对顶角吗
不是
是
不是
不是
即时测评
归纳总结：
邻补角的特点:
①顶点相同;
②有一条公共边,另一边互为反向延长线;
③成对出现.
对顶角的特点:
①顶点相同;
②角的两边互为反向延长线;
③成对出现的.
范例应用
解：对顶角有∠1与∠3， ∠2与∠4， ∠5与∠7， ∠6与∠8， ∠9与∠11， ∠10与∠12.
邻补角有∠1与∠2， ∠1与∠4， ∠2与∠3， ∠3与∠4， ∠5与∠6， ∠5与∠8， ∠6与∠7， ∠7与∠8， ∠9与∠10， ∠9与∠12， ∠10与∠11， ∠11 与∠12.
例1 如图所示，三条直线两两相交，你能说出图中所有的对顶角、邻补角吗？
任务二 探究对顶角的性质
猜想：对顶角相等
C
O
A
B
D
4
3
2
1
问题：∠1 与∠3在数量上又有什么关系呢？
思考：你能利用有关知识来验证∠1 与∠3的数量关系吗？
在上学期我们已经知道互为补角的两个角和为180°，因而互为邻补角的两个角和为180°.
O
A
B
C
D
4
3
2
1
已知：直线AB与CD相交于O点(如图),试说明:∠1=∠3
解：因为直线AB与CD相交于O点,
所以∠1+∠2=180°
∠2+∠3=180°，
所以∠1=∠3.
同理可得∠2=∠4.
根据以上探究过程，你能用数学语言归纳发现的结论吗？
对顶角相等
例2 (1)如图,直线a,b相交,∠1=40°,求 ∠2,∠3,∠4的度数
a
b
）
（
1
3
4
2
）
（
所以∠2=180°－∠1=140°,
因为∠3=∠1,
所以∠3=40°,
解:
所以∠4=∠2=140°.
(2)若∠1 +∠3 = 80°，求各个角的度数．
(3)若∠2 是∠1 的 3 倍，求各个角的度数．
(4)若 ∠1 ：∠2 =1 ：8 ，求各个角的度数．
∠1=40°， ∠2=140°， ∠3=40°， ∠4=140°.
∠1=45°， ∠2=135°， ∠3=45°， ∠4=135°.
∠1=20°， ∠2=160°， ∠3=20°， ∠4=160°.
范例应用
归纳总结
对顶角和邻补角经常在求角的度数的题目中同时用到，只要分清楚对顶角、邻补角的性质，就是对顶角相等、邻补角互补，此类题目容易解答.
当堂达标
叁
当堂达标
A.
1. 下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（　 　）
C
B.
C.
D.
2.（1）若∠1与∠2是对顶角，∠1=16 ，则∠2=______ ；
（2）若∠3与∠4是邻补角，则∠3+∠4 =_______ .
3.若∠1与∠2为对顶角，∠1与∠3互补，则∠2+∠3= ______ .
180
180
16
4.如图，直线AB、CD，EF相交于点O，∠1＝40°，
∠BOC＝110°，求∠2的度数．
解：因为∠1＝40°，∠BOC＝110°(已知)，
所以∠BOF＝∠BOC－∠1＝110°－40°＝70°.
因为∠BOF＝∠2 (对顶角相等)，
所以∠2＝70°(等量代换)．
课堂小结
肆
课堂小结
角的 名称 特 征 性 质 相 同 点 不 同 点
对 顶 角
邻 补 角 对顶
角相
等
邻补
角互
补
②有公共顶点;
③没有公共边
①两条直线相交形成的角；
①两条直线相交而成；
②有公共顶点;
③有一条公共边
①都是两条直线相交而成的角；
③都是成对出现的
②都有一个公共顶点；
②两直线相交时，对顶角只有两对，邻补角有四对
①有无公共边；
课后作业
基础题：1.课后习题 第 1题。
提高题：2.请学有余力的同学完成课后习题第2、3题
谢
谢(共19张PPT)
第七章 相交线与平行线
7.1　相交线
7.1.1　两条直线相交
预习导学
课堂互动
中档题
素养题
基础题
预习导学
1.若两个角有一条公共边,且它们的另一边　 　,具有这种位置关系的两个角,互为邻补角.
2.若两个角有一个公共顶点,并且一个角的两边分别是另一个角的两边的　 　,具有这种位置关系的两个角,互为对顶角.
3.对顶角　 　.
互为反向延长线
反向延长线
相等
课堂互动
知识点一　认识对顶角、邻补角
例1　下列四个图形中,∠1和∠2互为邻补角的是( )
D
例2　如图所示,直线AB与CD相交,∠1的对顶角是　 　,∠2的对顶角是　 　,∠1的邻补角是　 　.
∠3
∠4
∠2和∠4
知识点二　对顶角、邻补角的性质应用
例3　如图所示,直线AB与CD相交于点O,若∠1+∠2=80°,则∠3等于
( )
A.100° B.120°
C.140° D.160°
例4　下列说法中,正确的是( )
A.相等的角是对顶角
B.互补的两个角是邻补角
C.有公共顶点且相等的两个角是对顶角
D.不相等的两个角一定不是对顶角
C
D
基础题
1.(教材练习变式)下列各图中,∠1与∠2是对顶角的是( )
A
A
A　 B　 C　 D
2.如图所示,直线AB,CD相交于点O,∠AOD=140°,则∠AOC的度数是
( )
A.40° B.50°
C.60° D.70°
3.(2024广西)已知∠1与∠2为对顶角,∠1=35°,则∠2=　 　°.
4.在括号内填写依据.
如图所示,因为直线a,b相交于点O,
所以∠1+∠3=180° (　 　),
∠1=∠2(　 　).
5.如图所示是一把剪刀的示意图,∠AOB=15°,如果要想使∠COD为40°,那么∠AOB应增加的度数是　 　.
35
邻补角互补
对顶角相等
25°
6.如图所示,直线AB,CD交于点O,∠AOC∶∠COE=1∶2,若∠BOD=28°,则∠COE等于　 　度.
56
7.如图所示,直线AB,CD,EF相交于点O.
(1)写出∠COE的邻补角;
(2)分别写出∠COE和∠BOE的对顶角;
(3)如果∠BOD=60°,∠BOF=90°,求∠AOF和∠FOC的度数.
解:(1)∠COE的邻补角为∠COF和∠EOD.
(2)∠COE和∠BOE的对顶角分别为∠DOF和∠AOF.
(3)因为∠BOF=90°,
所以∠AOF=90°.
又因为∠AOC=∠BOD=60°,
所以∠FOC=∠AOF+∠AOC=90°+60°=150°.
中档题
8.如图所示,在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西66°的方向,轮船B在OA的反向延长线上,同时轮船C在东南方向,则∠BOC的大小为( )
A.45° B.31°
C.24° D.21°
D
180
9.如图所示,直线AB,CD,EF相交于点O,则∠1+∠2+∠3=　 　°.
10.如图所示,要测量两堵墙所形成的∠AOB的度数,但人不能进入围
墙,如何测量 请写出你的测量方法,并说明几何道理.
解:方法一:如图①所示,延长AO到点C,测量∠BOC,利用邻补角的数量关系求∠AOB.
∠AOB=180°-∠BOC.
图①
方法二:如图②所示,延长AO到点C,延长BO到点D,测量∠DOC,利用对顶角相等求∠AOB.
∠AOB=∠DOC.
图②
11.如图所示,直线AB,CD相交于点O,OE是一条射线,∠1∶∠3=2∶7,
∠2=70°.
(1)求∠BOD的度数;
(2)试说明:OE平分∠COB.
解:(2)因为∠1+∠COE+∠2=180°,∠2=70°,
所以∠COE=180°-∠1-∠2=180°-40°-70°=70°.
所以∠2=∠COE.所以OE平分∠COB.
素养题
12.(规律探究题)(1)三条直线相交,最少有　　个交点,最多有　　个交点,画出交点最多的图形,并数出图形中对顶角和邻补角的对数.
(2)四条直线相交,最少有　　　个交点,最多有　　　个交点,画出交点最多的图形,并数出图形中对顶角和邻补角的对数.
(3)以此类推,n条直线相交,最少有多少个交点 最多有多少个交点 对顶角有多少对 邻补角有多少对 中小学教育资源及组卷应用平台
7.1　相交线
7.1.1　两条直线相交
学习目标
1.理解相交线、邻补角、对顶角的概念;理解对顶角相等的性质.
2.通过学习邻补角、对顶角等概念,体会它们在解决实际问题中的作用,并能用它们解释生活中的一些现象.
自主探索
任务一　探究邻补角与对顶角的概念
活动1　这里有一把剪刀，握紧剪刀的把手，就能剪开物体，你能说出其中的道理吗？
1.如果把剪子的构造抽象成一个几何图形，会是什么样的图形？请你画出这个图形．
你能用几何语言描述这个图形吗？
3.观察图形，同桌讨论以下问题：
(1)两条直线相交组成几个角？
(2)∠1和∠2之间有怎样的位置关系？∠1和∠3之间有怎样的位置关系？
小结:(1)∠1与∠2是直线AB,CD相交得到的,有公共顶点O,且有一条公共边OC,它们的另一边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为角.
(2)∠1与∠3是直线AB,CD相交得到的,它们有一个公共顶点O,没有公共边,并且∠1的两边分别是∠3的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为角.
找一找上图中还有没有邻补角和对顶角，如果有，是哪两个角？
【即时测评】
(1)下列图中的∠1与∠2是邻补角吗 为什么
(2)下列各图中∠1,∠2是对顶角吗
例1 如图所示，三条直线两两相交，你能说出图中所有的对顶角、邻补角吗？
归纳总结：
邻补角的特点:①顶点相同;②有一条公共边,另一边互为反向延长线;③成对出现.
对顶角的特点:①顶点相同;②角的两边互为反向延长线;③成对出现的.
任务二　探究对顶角的性质
活动2　我们在图形中能准确地辨认对顶角,那么对顶角有什么性质呢
1.已知，直线AB与CD相交于O点(如图所示),试猜想∠1、∠3的大小关系，并借助量角器或其他方式验证你的想法.
2.你能用说理的方法推出∠1=∠3吗
3.依照以上过程，猜想∠2与∠4的大小关系，并说明理由.
4.根据以上探究过程，你能用数学语言归纳发现的结论吗？
例2.(1)如图,直线a、b相交，∠1=40 ，求∠2，∠3，∠4的度数.
若∠1 +∠3 = 80°，求各个角的度数．
若∠2 是∠1 的 3 倍，求各个角的度数．
若∠1 ：∠2 =1：8 ，求各个角的度数．
当堂达标
1. 下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（　　）
A． B． C． D．
2.（1）若∠1与∠2是对顶角，∠1=16 ，则∠2= ；
（2）若∠3与∠4是邻补角，则∠3+∠4 = .
3.若∠1与∠2为对顶角，∠1与∠3互补，则∠2+∠3= .
4.如图，直线AB、CD，EF相交于点O，∠1＝40°，∠BOC＝110°，求∠2的度数．
参考答案
当堂达标
1.C 2.(1)16 (2)180 3.180
4.解：因为∠1＝40°，∠BOC＝110°(已知)，
所以∠BOF＝∠BOC－∠1＝110°－40°＝70°.
因为∠BOF＝∠2 (对顶角相等)，
所以∠2＝70°(等量代换)．
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7.1.1　两条直线相交
课标摘录 1.理解对顶角的概念. 2.探索并掌握对顶角相等的性质.
教学目标 1.理解对顶角和邻补角的概念,能在图形中辨认. 2.掌握对顶角相等的性质和它的推证过程. 3.通过探索邻补角、对顶角的定义及对顶角相等的性质,培养学生的语言表达和书写能力.
教学重难点 重点:邻补角和对顶角的概念及对顶角相等的性质. 难点:在较复杂的图形中准确辨认对顶角和邻补角.
教学策略 本节课从学生熟悉的生活情境出发,从剪刀的构造抽象出两条直线相交,先引导学生观察角的位置关系,猜想角之间的数量关系,再引导学生探究角之间的数量关系,学生经历动手画图、观察、推断、交流、归纳总结等数学活动,初步感受学习几何知识的方法,培养学生的观察、转化、推理能力和数学语言规范表达能力.
情境导入 问题:请同学们观察图片,说一说哪些道路是交错的,那些是平行的 教师导入:图中的道路是有宽度的,是有限长的,而且也不是完全直的,当我们把它们看成直线时,这些直线有些是相交线,有些是平行线.相交线、平行线都有许多重要性质,并且在生产和生活中有广泛应用.所以研究这些问题对今后的工作和学习都是有用的,也将为后面的学习做些准备.我们先研究直线相交的问题.
新知初探 探究一　探究邻补角与对顶角的概念 活动1　这里有一把剪刀,握紧剪刀的把手,就能剪开物体,你能说出其中的道理吗 1.如果把剪刀的构造抽象成一个几何图形,会是什么样的图形 请你在练习本上画出. 如图所示:
2.你能用几何语言描述这个图形吗 直线AB,CD相交于点O. 设计意图:从现实生活中发现并提出简单的数学问题吸引学生的注意,同时为得出两条直线相交所成角的关系提供生活背景. 3.观察图形,同桌讨论以下问题: (1)两条直线相交组成几个角 (2)合作探究:把四个角两两组合,按照两个角的位置关系将角分类. 师生活动:学生讨论,教师巡堂,预测会发现有不同的组合,教师请他们分别发言说出这么组合的缘由. (3)∠1和∠2之间有怎样的位置关系 提示:分别从顶点和边两方面来看. 追问1:∠1和∠3之间有怎样的位置关系 归纳总结:见课件. 追问2:找一找图中还有没有邻补角和对顶角,如果有,是哪两个角 学生口答:∠3与∠2、∠1与∠4、∠3与∠4也互为邻补角,∠2和∠4也是对顶角. 【即时测评】见课件、导学案. 设计意图:通过练习,进一步巩固邻补角和对顶角的知识,总结角的辨析题的做题方法,让学生加深对定义的把握. 归纳总结:见课件. 邻补角的特点:①顶点相同;②有一条公共边,另一边互为反向延长线;③成对出现. 对顶角的特点:①顶点相同;②角的两边互为反向延长线;③成对出现. 【例1】见课件. 师生活动:学生先独立解答,然后请学生回答,教师给予恰当评析,肯定学生的成绩,对出现的疑问给予鼓励,帮助他们形成正确认知. 设计意图:通过三条直线相交这种较为复杂的模型,提高学生思维度,加深对对顶角、邻补角的概念的理解. 探究一　意图说明 通过动手操作与观察,帮助学生构建相交线的几何模型,握紧把手时,两个把手之间的角不断变化,两条相交线形成的角也在不断变化,但是这些角之间存在不变的位置关系,这就引出了邻补角和对顶角.结合图形描述邻补角和对顶角的概念,这样描述,便于学生在图形中辨认,教学时要引导学生抓住概念的本质,教会学生如何在图形中辨认它们.再通过追问巩固概念,纠正错误. 探究二　对顶角的性质 活动2　我们在图形中能准确地辨认对顶角,那么对顶角有什么性质呢 问题1:已知,直线AB与CD相交于点O(如图所示),试猜想∠1,∠3的大小关系,并借助量角器或其他方式验证你的想法. 问题2:你能用说理的方法推出∠1=∠3吗 注意:∠1与∠2互补不是给出的已知条件,而是分析图形得到的,所以括号内不填已知,而填邻补角定义. 追问1:依照以上过程,猜想∠2与∠4的大小关系,并说明理由. 追问2:根据以上探究过程,你能用数学语言归纳发现的结论吗 归纳总结:对顶角相等.
【例2】见教材P3例1或课件、导学案. 师生活动:学生独立思考与解答,学生代表发言,教师根据学生发言完成板书. 变式训练一:若∠1+∠3=80°,求各个角的度数. 变式训练二:若∠2是∠1的3倍,求各个角的度数. 变式训练三:若∠1∶∠2=1∶8,求各个角的度数. 归纳总结:见课件. 设计意图:变式训练是数学揭示本质、挖掘思想、注重思维、提升素养的一种有效的方式和途径.通过对本例题的探究以及对该题的变式练习,从多个角度巩固了学生对对顶角与邻补角性质的理解与应用. 探究二　意图说明 紧扣本节课主线,让学生先通过观察得到结论,再对结论进行推理说明,最后用数学语言归纳总结出性质.学生经历“观察—猜想—验证—总结”的研究过程,从而提高探索能力.要让学生了解几何语言的书写要求,综合提升学生对邻补角、对顶角概念的理解,以及对对顶角相等的性质的掌握.通过分析与总结,教会学生方法,帮助学生理清解题思路.
当堂达标 见课件、导学案
课堂小结 1.什么是邻补角 什么是对顶角 根据你的理解说一说. 2.对顶角具有什么性质 3.本节课你还有哪些收获 还存在什么疑惑
板书设计 7.1　相交线 7.1.1　两条直线相交 两条直线相交求角的大小
教学反思
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