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1 幂的乘除
第一章 整式的乘除
第4课时 同底数幂的除法
【学习目标】
1．经历探索的过程，得出同底数幂除法的法则，并会用它进行简单的计算．
2.根据同底数幂的除法法则，得出零指数和负指数幂的计算方法，会进行混合运算。
3．通过表示生活中的一些小数，会用科学计数法表示小于1的正数，发展数感．
情境导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂达标
叁
新知初探
贰
情境导入
壹
一种液体每升含有 1012 个有害细菌，为了试验某种杀菌剂的效果，科学家们进行了实验，发现 1 滴杀菌剂可以杀死 109 个此种细菌.要将 1 L液体中的有害细菌全部杀死，需要这种杀菌剂多少滴？
新知初探
贰
新知初探
探究一：同底数幂的除法
贰
活动1：计算下列各式，并说明理由(m＞n).
(1) 1012÷109；
(2) 10m÷10n；
(3) (－3 )m÷( －3 )n.
解：
猜想：am÷an = am－n (m＞n).
验证：am÷an =
m 个 a
n 个 a
= a · a · … · a
(m－n) 个 a
= am－n.
总结归纳
(a≠0，m，n 是正整数，且 m＞n).
am÷an = am－n
即：同底数幂相除，底数不变，指数相减.
情境导入
范例应用
例5 计算：
(1) a7÷a4 ； (2) (－x)6÷(－x)3；
(3) (xy)4÷(xy)； (4) b2m+2÷b2.
(1) a7÷a4 = a7－4
= (－x)3
(3) (xy)4÷(xy) = (xy)4－1
(4) b2m+2÷b2
注意：同底数幂相除，底数不变，指数相减.
解：
= a3.
(2) (－x)6÷(－x)3 = (－x)6－3
=－x3.
= (xy)3
= x3y3.
= b2m+2－2
= b2m.
1.已知：am = 8，an = 5. 求：
(1) am－n 的值； (2) a3m－3n 的值.
解：(1) am－n = am÷an = 8÷5 = 1.6.
(2) a3m－3n = a3m÷a3n
= (am)3÷(an)3 = 83÷53
= 512÷125
=
同底数幂的除法可以逆用：am－n = am÷an.
这种思维叫做逆向思维(逆用运算性质).
即时测评
探究二：零次幂与负整数次幂
活动2(1)计算:23÷23，2 ÷ 25,a ÷a3,a ÷a5。
(2)假设m=n或m(3)比较(1)(2)各式的对应结果，你有什么发现 与同伴进行交流。
我们规定：
即任何不等于零的数的零次幂都等于
即用 a-n 表示 an 的倒数.
有了这个规定后，已学过的同底数幂的乘法和除法运算性质中的m、n就从正整数扩大到全体实数了，即
am ×an = am+n ，am÷an = am－n (a≠0，m、n 是整数)
情境导入
范例应用
例6 用小数或分数表示下列各数：
解：
（1）10－3； （2）70×8－2； （3）1.6×10－4.
（1）10－3
（2）70×8－2
注意：a0 =1
（3）1.6×10－4
= 1.6×0.0001
= 0.00016.
探究三：科学计数法
活动7思考回答，生活中我们都会遇到一些较小的数，例如，
(1) 细胞的直径只有1 微米(μm)，即 0.000 001 m；
(2) 某种计算机完成一次基本运算的时间约为 1 纳秒(ns)，即 0.000 000 001 s；
(3) 一个氧原子的质量为0.000 000 000 000 000 000 000 000 026 57 kg.
这些较小的数该如何用科学计数法表示呢？
师生共同解析：
通过上面的探索，你发现了什么？
归纳总结：
利用 10 的负整数次幂，可以把一个绝对值小于 1 的数表示成 a×10-n 的形式，其中 n 是正整数，1≤|a|＜10，n 等于原数第一个非零数字前所有零的个数（特别注意：包括小数点前面那个零）.
2.用科学计数法表示下列各数：
(1) 0.000 03；
(2) 0.000 506；
(3) 0.000 063；
即时测评
3.用小数表示下列各数：
(1) 2×10－7； (2) 3.14×10－5；
(3) 7.08×10－3； (4) 2.17×10－1.
当堂达标
叁
当堂达标
1. 计算：
2. 计算：
1
1
64
3. 下列是用科学记数法表示的数，写出原来的数.
（1）2×10－8； （2）7.001×10－6.
答案：（1）0.000 000 02. （2）0.000 007 001
4. 已知 3m = 2，9n = 10，求 33m－2n 的值.
解：33m－2n = 33m÷32n
= (3m)3÷(32)n
= (3m)3÷9n
= 23÷10
= 8÷10
= 0.8.
课堂小结
肆
课堂小结
1. 同底数幂的除法法则：
同底数幂相除， 底数不变，指数相减.
(a≠0， m、n 为任意整数).
2. 任何不等于零的数的零次幂都等于 1.
3. 负整数指数幂：
(a≠0，n 为正整数).
课堂小结
0.00…01 (n 为正整数).
n 个 0
利用 10 的负整数次幂，我们可以用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示成 a×10-n 的形式，其中 n 是正整数，1≤|a|＜10. 这里用科学记数法表示时，关键是掌握其中的规律：
课后作业
基础题：1.习题1.1 第 7、8、9题。
提高题：2.请学有余力的同学完成习题1.1第12、17、18、19、20题
谢
谢(共20张PPT)
数学 七年级下册BSD
第4课时　同底数幂的除法
预习导学
课堂互动
中档题
素养题
基础题
预习导学
1.同底数幂的除法法则
(1)文字描述:同底数幂相除,底数　 　,指数　 　;
(2)符号表示:am÷an=　 (a≠0,m,n都是正整数,且m>n)。
2.同底数幂的除法法则的逆用:am-n=　 　(a≠0,m,n都是正整数,且m>n)。
3.零指数幂:a0=　 　(a≠0),即任何一个不等于0的数的0次幂都等于　 　。
不变
相减
am-n　
am÷an
1
1
4.负整数指数幂:a-p=　 　(a≠0,p是正整数),即任何一个不等于0的数的-p次幂都等于这个数的p次幂的　 　。
5.科学记数法:一般地,一个小于1的正数可以表示成a×10n的形式,其中a的取值范围是　 　,n是　 　;大于-1的负数也可以用类似的方法表示。
倒数
1≤a<10
负整数
课堂互动
知识点1:同底数幂的除法法则
例1　计算:
(1)(-x)6÷(-x)2;　(2)(xy)4÷(xy)。
解:(1)(-x)6÷(-x)2=(-x)6-2=(-x)4=x4。
(2)(xy)4÷(xy)=(xy)4-1=(xy)3=x3y3。
[易错提醒] 要注意区分同底数幂的乘法与除法法则:同底数幂的乘法是指数相加,同底数幂的除法是指数相减,不要混淆。
知识点2:同底数幂的除法法则的逆用
例2　已知2m=3,2n=5,求24m-2n的值。
知识点3:零指数幂与负整数指数幂
例3　下列计算正确的是( )
C
知识点4:用科学记数法表示绝对值小于1的数
例4　用科学记数法表示下列各数:
(1)0.000 000 83;　(2)-0.000 075 3。
解:(1)0.000 000 83=8.3×10-7;
(2)-0.000 075 3=-7.53×10-5。
[方法点拨] (1)用科学记数法表示小于1的正数,一般形式为a×10-n,其中1≤a<10,n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定。
(2)对于大于-1的负数,也可以用科学记数法表示,其方法是先用科学记数法表示出它的相反数,再在结果前加“-”。
知识点5:科学记数法的应用
例5　神舟十三号飞船搭载实验项目中,四川省农科院生物技术研究所共有a粒水稻种子,每粒种子的质量大约是0.000 032 5 kg;甘肃省天水市元帅系苹果的b粒干燥种粒,每粒种子的质量大约是
0.002 275 kg,参与航天搭载诱变选育。
(1)用科学记数法表示上述两个数;
解:(1)0.000 032 5=3.25×10-5,
0.002 275=2.275×10-3。
(2)若a=4 000,b=400,求这两种种子的质量总和。
解:(2)3.25×10-5×4 000+2.275×10-3×400=1.04(kg)。
答:这两种种子的质量总和为1.04 kg。
基础题
1.计算(-2)-3的结果是( )
C
2.计算20-1的结果是( )
A.-1 B.1 C.19 D.0
3.(2024云南)下列计算正确的是( )
A.x3+5x3=6x4 B.x6÷x3=x5
C.(a2)3=a7 D.(ab)3=a3b3
D
D
4.已知2m=3,2n=4,则23m-2n的值为( )
B
5.石墨烯是目前世界上最薄却最坚硬的纳米材料,同时还是导电性最好的材料,其理论厚度仅0.000 000 000 34 m,将这个数用科学记数法表示为　 　。
3.4×10-10
6.计算:(1)(3.14-π)0=　 　;
1
49
7.计算:(1)10-3;
(2)(-x)10÷(-x)7;
(3)(-m5)÷(-m9)。
(2)(-x)10÷(-x)7=(-x)10-7=(-x)3=-x3。
中档题
8.(2024连云港)下列运算结果等于a6的是( )
A.a3+a3 B.a·a6
C.a8÷a2 D.(-a2)3
9.若(x-3)0+2(3x-6)-2有意义,则x的取值范围是( )
A.x>3 B.x<2
C.x≠2且x≠3 D.以上都不对
C
C
11.若3m=6,3n=2,求32m-3n+1的值。
12.水珠不断地滴在一块石头上,经过 40年,石头上形成一个深为4×10-2 m的小洞,问每年小洞的深度增加多少米(用科学记数法
表示)
解:4×10-2÷40=0.1×10-2=1×10-3(m)。
答:每年小洞的深度增加1×10-3 m。
素养题
13.(运算能力)若x满足(x-2)x+1=1,求整数x的值。
解:由题意,得①当x+1=0时,解得x=-1。
此时x-2=-1-2=-3≠0,所以(-3)0=1。
②当x-2=1时,解得x=3。
此时x+1=3+1=4,所以14=1。
③当x-2=-1时,解得x=1,
此时x+1=1+1=2,所以(-1)2=1。
所以整数x的值为-1或3或1。中小学教育资源及组卷应用平台
第4课时 同底数幂的除法 学案
班级 姓名 组别 总分
【学习目标】
1．经历探索的过程，得出同底数幂除法的法则，并会用它进行简单的计算．
2.根据同底数幂的除法法则，得出零指数和负指数幂的计算方法，会进行混合运算。
3．通过表示生活中的一些小数，会用科学计数法表示小于1的正数，发展数感．
【学习过程】
任务一：同底数幂的除法法则
活动1:一种液体每升含有 1012 个有害细菌，为了试验某种杀菌剂的效果，科学家们进行了实验，发现 1 滴杀菌剂可以杀死 109 个此种细菌.要将 1 升液体中的有害细菌全部杀死，需要这种杀菌剂多少滴？
活动2 计算下列各式，并说明理由(m＞n).
(1) 1012÷109； (2) 10m÷10n； (3) (－3 )m÷( －3 )n.
【方法归纳】am÷an = am－n (a≠0，m，n 是正整数，且 m＞n).
活动3例题解析
例5 计算：
(1) a7÷a4 ； (2) (－x)6÷(－x)3； (3) (xy)4÷(xy)； (4) b2m+2÷b2.
【即时测评】
1.同底数幂的除法可以逆用：am-n = am÷an.
已知：am = 8，an = 5. 求：(1) am－n 的值； (2) a3m－3n 的值.
评价任务一
得分：
任务二：零次幂与负整数次幂
活动4(1)计算:23÷23，2 ÷ 25,a ÷a3,a ÷a5。
(2)假设m=n或m(3)比较(1)(2)各式的对应结果，你有什么发现 与同伴进行交流。
【方法归纳】
活动5 例题解析
例6用小数或分数表示下列各数
评价任务二
得分：
任务三：科学计数法
活动6思考回答，生活中我们都会遇到一些较小的数，例如，
(1) 细胞的直径只有1 微米(μm)，即 0.000 001 m；
(2) 某种计算机完成一次基本运算的时间约为 1 纳秒(ns)，即 0.000 000 001 s；
(3) 一个氧原子的质量为0.000 000 000 000 000 000000000 026 57 kg.
这些较小的数该如何用科学计数法表示呢？
【方法归纳】利用 10 的负整数次幂，可以把一个绝对值小于 1 的数表示成 的形式，其中 n 是正整数， ≤|a|＜ ，n 等于原数第一个非零数字前所有零的个数（特别注意：包括小数点前面那个零）.
【即时测评】
自我反思：
一节课的学习中，你收获了什么？
当堂训练：（要求：限时5分钟，独立完成后组内订正，成绩计入小组量化.）
计算：
计算：
（2） （3） （4）
参考答案
即时测评：
1.（1）1.6. （2）
2.（1） 3×105 （2）5.06×10-4 （3）6.3×10-5
3.（1） 0.0000002 （2）0.0000314 （3）0.00708 （4）0.217
当堂训练
1.（1） 38 （2）- （3）-x6y3 （4）am+1
2.（1） 1 （2） 1 （3） 64 （4）
(1)0.000 000 02 (2)0.000 007 001
0.8
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第4课时　同底数幂的除法
课标摘录 1.会用文字和符号语言表述积的同底数幂的除法法则。 2.能根据同底数幂除法法则进行运算。 3.会用科学记数法表示绝对值小于1的数。
教学目标 1.经历同底数幂的除法法则的探索过程,理解同底数幂的除法法则。 2.理解零次幂和负整数指数幂的意义,并能进行负整数指数幂的运算。 3.会用同底数幂的除法法则进行计算。 4.理解并掌握用科学记数法表示绝对值小于1的数的方法。
教学重难点 重点:1.理解零次幂和负整数指数幂的意义,并能进行负整数指数幂的运算。 2.会用同底数幂除法法则进行计算,掌握用科学记数法表示绝对值小于1的数的方法。 难点:理解零次幂和负整数指数幂的意义,并能进行负整数指数幂的运算。
教学策略 从实际问题引入同底数幂的除法运算,学生在解决这个问题的过程中,将自然地体会同底数幂的除法运算的必要性,了解数学与现实世界的联系。在课堂中用实际问题的解决展开教学,必将极大地激发学生学习的积极性与主动性。
情境导入　一种液体每升含有1012个有害细菌,为了试验某种灭菌剂的效果,科学家们进行了实验,发现1滴灭菌剂可以杀死109个此种细菌,要将1 L液体中的有害细菌全部杀死,需要这种灭菌剂多少滴 问题:怎样列式 师生活动:问题提出后,教师可以鼓励学生根据幂的意义和除法的意义,独立得出1012÷109的结果。 追问:观察这个算式,它有何特点 预设:我们观察可以发现,1012和109这两个幂的底数相同,是同底数的幂的形式。所以我们把1012÷109这种运算叫作同底数幂的除法。
新知初探 探究一　同底数幂的除法法则 活动1:计算下列各式,并说明理由(m,n都是正整数,且m>n)。 (1)1012÷109;　(2)10m÷10n;　(3)(-3)m÷(-3)n。 师生活动:学生独立思考,教师引导学生通过同底数幂法则的逆应用计算出结果,并引出同底数幂相除的计算方法。 追问:观察计算结果,你能发现规律并提出猜想吗 猜想:同底数幂相除,底数不变,指数相减。 活动2:验证:对于任意数字,探究上述结果是否仍成立 师生活动:教师提问并追问学生这个验证问题如何用数学的语言表示 教师指导学生用数学的语言表达此问题: 试证明:am÷an=am-n(a≠0,m,n都是正整数,并且m>n)。
学生独立思考,学生代表发言,教师予以评价与引导,并整理成板书: 验证:am÷an===am-n。 活动3:归纳总结 运算法则:am÷an=am-n(a≠0,m,n都是正整数,且m>n)。 文字说明:同底数幂相除,底数不变,指数相减。 活动4:例题解析 例1 计算: (1)a7÷a4;　(2)(-x)6÷(-x)3;　(3)(xy)4÷(xy);　(4)÷b2。 师生活动:学生独立完成计算,选可能出错的学生板书,教师纠正错误。 同底数幂的除法可以逆用:am-n=am÷an。 已知:am=8,an=5.求: (1)am-n的值;(2)的值。 师生活动:让学生尝试解答,并互相交流、总结,归纳解题步骤,教师结合学生的具体活动,加以指导。 解:(1)am-n=am÷an=8÷5=1.6。 (2)=÷=(am)3÷(an)3=83÷53=512÷125=。 意图说明 学生开始练习同底数幂的除法运算时,不要鼓励他们直接套用公式,而应让学生说明每一步的理由,进一步体会乘方的意义和幂的意义。然后根据学生对同底数幂的除法性质的掌握情况,推广同底数幂的除法的逆向运用的解题方法。 探究二　零次幂与负整数指数幂 活动5:(1)计算:23÷23,22÷25,a3÷a5。 (2)假设m=n或m探究三　科学记数法 活动7:思考回答,生活中我们都会遇到一些较小的数,例如: (1)有的细胞的直径只有1微米(μm),即0.000 001 m; (2)某种计算机完成一次基本运算的时间约为1纳秒(ns),即0.000 000 001 s; (3)一个氧原子的质量为0.000 000 000 000 000 000 000 000 026 57 kg。 这些较小的数该如何用科学记数法表示呢 师生活动:让学生自主探究,举手回答问题。 (学生积极踊跃发言,回答提出的问题) 0.000 001=　　=　1×10-6　。 0.000 000 001=　　=　1×10-9　。 0.000 000 000 000 000 000 000 000 026 57=　2.675×　=　2.675×10-26　。 通过上面的探索,你发现了什么 归纳总结:一般地,一个小于1的正数可以表示为a×10n的形式,其中1≤a<10,n是负整数。 活动8:用科学记数法表示下列各数: (1)0.000 000 000 1;(2)0.000 000 000 002 9;(3)0.000 000 001 295。 师生活动:本环节采用学生先独立思考,然后小组讨论,最后小组展学的形式进行。 意图说明 从学生已熟知的知识出发,由简单到复杂,由特殊到一般地探究规律,加深学生对用科学记数法表示较小的数的理解。
当堂达标 具体内容见同步课件
课堂小结 具体内容见同步课件
板书设计 同底数幂的除法 1.am÷an=am-n(a≠0,m,n都是正整数且m>n) 同底数幂相除,底数不变,指数相减。 2.a0=1;a-p=(a≠0,p是正整数) 3.用科学记数法表示绝对值小于1的数 ==1×10-n
教学反思
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