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第十章 二元一次方程组
数学活动4：二元一次方程的“图象”及轮胎换位问题
1．会把二元一次方程的解在平面直角坐标系中运用点的坐标表示出来．
2．能通过两条直线的交点情况确定二元一次方程组的解的情况．
3．从方程到直线，从点的坐标到方程组的解，体会数形结合思想．
4．培养学生乐于探究的钻研精神，培养几何直观、应用意识等核心素养．
5．了解轮胎换位的实际意义，增强对数学的应用意识.
重点：二元一次方程的图象是一条直线．　
难点：利用图象法求二元一次方程组的解．
一、导入新课
知识链接
我们知道坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的，那么我们能否把二元一次方程的解作为点的坐标在坐标系内找出相应的点，然后借助于图形的直观性来确定二元一次方程（组）的解与两方程对应的图象特征呢？
创设情境——见配套课件
二、合作探究
探究点一：二元一次方程的“图象”
思考：在平面直角坐标系中，你能把二元一次方程x－y＝0的一个解用一个点表示出来吗？
问题1：你能说出二元一次方程x－y＝0的一些解吗？
问题2：你能把二元一次方程x－y＝0的这些解用有序数对表示出来吗？
问题3：标出一些以方程x－y＝0的解为坐标的点，过这些点中的任意两点作直线，你有什么发现？
问题4：在这条直线上任取一点，这个点的坐标是方程x－y＝0的解吗？
问题5：描出的点都在同一条直线上，你发现了什么？
问题6：请你任意画出一个二元一次方程的图象，并观察图象是什么几何图形？
（答案在课件中展示）
探究点二：二元一次方程组的“图象”
活动：请你在同一平面直角坐标系中画出二元一次方程组中的两个二元一次方程的图象．
问题1：任何一个二元一次方程的图象都是一条直线，那么怎样快速地画出它的图象呢？
问题2：点A（2，0），B（0，4），C（0，1），D（－1，0），E（1，2）在哪个图象上？是哪个方程的解？
问题3：通过这两个二元一次方程的图象，你能得出这个二元一次方程组的解吗？
（答案在课件中展示）
要点归纳：（1）以一个二元一次方程的解为坐标的点的全体叫作这个方程的图象．（2）一般地，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线，这条直线上的任意一点的坐标都是这个方程的解．（3）两条直线的交点坐标就是这个二元一次方程组的解；方程组的解就是对应两直线的交点坐标．　
拓展思考：两条直线的交点个数有几种情况？二元一次方程组的解有几种情况？二元一次方程组的解的个数是否与两条直线的交点个数存在对应关系？存在一致性？
（1）两直线相交，方程组有唯一解．
（2）两直线平行，方程组无解；方程组无解，两直线平行．
（3）两直线重合，方程组有无数个解．
探究点三：用二元一次方程组解决轮胎换位问题
问题情境：资料显示：汽车前轮轮胎一般应在汽车行驶达到60 000 km时报废，而后轮轮胎应在汽车行驶达到80 000 km时报废，如果在轮胎的使用寿命内只交换一次前、后轮胎，那么应在汽车行驶里程达到多少时，交换前、后轮胎，能使汽车的两对轮胎同时报废？并求出轮胎报废时汽车的行驶里程．
问题分析：若设汽车新轮胎开至报废时的磨损程度为1，前轮胎每行驶1 km磨损，后轮胎每行驶1 km磨损，设更换前行驶x km，更换后行驶y km，你能列出关于x和y满足的方程组吗？
解得
问题解决：你能求出轮胎报废时汽车的行驶里程是多少？（x＋y＝ km）
结论：当汽车行驶里程约为 km时更换前后轮胎，能使汽车的两对轮胎同时报废，汽车报废时行驶里程约为 km.
方法探究：你能否用其他方法来解决问题呢？
解：设汽车行驶了x km后更换轮胎，你能列出关于x的方程吗？
（60 000－x）·＝（80 000－x）·，解得x＝.
追问：还可以运用其他方法解决问题吗？
三、当堂检测
（见配套PPT）
教学过程中，要注重引导学生进行探究活动，让他们在实践中掌握用图象法解二元一次方程组的方法．在总结归纳环节，要充分发挥学生的主体作用，让他们自己总结出解题的方法和注意事项，提高他们的归纳总结能力．第十章 二元一次方程组
10.3　实际问题与二元一次方程组
第3课时　行程问题与其他问题
1．进一步经历用方程组解决实际问题的过程，体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型．
2．利用路程、速度、时间之间的关系解决实际问题，感知数学在实际生活中的应用．
重点：认识行程问题中的数量关系，列方程解决问题．
难点：用方程组刻画和解决实际问题．
一、导入新课
创设情境
小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路．假设他始终保持平路每分钟走60 m，下坡路每分钟走80 m，上坡路每分钟走40 m，则他从家里到学校需11 min，从学校到家里需14 min.问小华家离学校多远？
二、合作探究
探究点一：行程问题
填一填：设未知数x，y并填写下表：
上坡路程 平路路程 下坡路程 总用时
家里到学校 0 x y 11 min
学校到家里 y x 0 14 min
问题1：路程、时间、速度三者之间有什么关系？
（路程＝速度×时间）
问题2：怎么表示上坡所用时间，平路所用时间，下坡所用时间？它们和总用时有什么关系？
（所用时间用对应的路程除以对应的速度；上坡、平路、下坡所用时间加起来就是总用时．）
追问：你能列出二元一次方程组并解决问题吗？
解得x＋y＝720.
所以小华家离学校720 m．
甲、乙两人相距4 km，以各自的速度同时出发．如果同向而行，甲2 h追上乙；如果相向而行，两人0.5 h后相遇．试问两人的速度各是多少？
解：设甲的速度是每小时x km，乙的速度是每小时y km，由题意得
解得
答：甲的速度是每小时5 km，乙的速度是每小时3 km.
要点归纳：路程＝速度×时间．追及问题：快车路程－慢车路程＝被追路程．相遇问题：两者路程之和＝两者开始的距离．　
两地相距280 km，一艘轮船在其间航行，顺流用14 h，逆流用20 h．求这艘轮船在静水中的速度和水流速度．
解：设这艘船在静水中的速度为x km/h，水流速度为y km/h，依题意得
解得
答：这艘船在静水中的速度为17 km/h，水流速度为3 km/h.
要点归纳：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水（风）速；
逆水（风）速度＝静水（风）速度－水（风）速．　
探究点二：其他问题
某车间有22名工人，每人每天可以生产1 200个螺钉或2 000个螺母.1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？
问题1：螺钉和螺母的数量存在什么关系？
（螺钉和螺母的数量之比为1∶2）
问题2：根据数量关系列出二元一次方程组并求解．
解：设安排x人生产螺钉，y人生产螺母，依题意得解得
答：安排10人生产螺钉，12人生产螺母．
我国古代数学著作《九章算术》中有这样一题，有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛（斛是古代的一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛，1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？
解：设1个大桶可以盛酒x斛，1个小桶可以盛酒y斛，则解得
答：1个大桶可以盛酒斛，1个小桶可以盛酒斛．
三、当堂检测
1．甲、乙两地相距880千米，小轿车从甲地出发，2小时后，大客车从乙地出发相向而行，又经过4小时两车相遇．已知小轿车比大客车每小时多行驶20千米，设大客车每小时行驶x千米，小轿车每小时行驶y千米，则可列方程组为（D）
A． B．
C. D．
2．A，B两码头之间的距离为120 km，一艘船在两个码头之间航行，顺水航行需要4 h，逆水航行需要5 h，则水流速度是3 km/h.
3．甲、乙两人匀速骑车从相距60千米的A，B两地同时出发，若两人相向而行，则两人在出发2小时后相遇；若两人同向而行，则甲在出发后6小时追上乙．则甲的速度为20千米/时．
（其他课堂拓展题，见配套PPT）
四、课堂小结【板书设计】
板书设计
通过问题的解决使学生进一步认识数学与现实世界的密切联系，乐于接触生活环境中的数学信息，愿意参与数学话题的研讨，从中懂得数学的价值，逐步形成运用数学的意识．并且通过对问题的解决，增强他们节约和有效合理利用资源的意识．第十章 二元一次方程组
10.3　实际问题与二元一次方程组
第1课时　和差倍分和销售问题
1．使学生会借助二元一次方程组解决简单的实际问题，让学生再次体会二元一次方程组与现实生活的联系和作用．
2．通过应用题教学，学生进一步使用代数中的方程去反映现实世界中的等量关系，体会代数方法的优越性．
重点：能根据题意找出等量关系，并能根据题意列二元一次方程组．
难点：正确找出问题中的两个等量关系．
一、导入新课
创设情境
随着养牛场规模逐渐扩大，李大叔需聘请饲养员协助管理现有的42头大牛和20头小牛，已知甲种饲养员每人可负责8头大牛和4头小牛，乙种饲养员每人可负责5头大牛和2头小牛，请问李大叔应聘请甲、乙两种饲养员各多少人？
二、合作探究
探究点一：和差倍分问题
问题1：题中有哪些未知量，你如何设未知数？
（甲种饲养员和乙种饲养员的人数未知；设李大叔应聘请甲种饲养员x人，乙种饲养员y人）
问题2：题中有哪些等量关系？
（甲负责的大牛数＋乙负责的大牛数＝总大牛数；
甲负责的小牛数＋乙负责的小牛数＝总小牛数）
追问：你能根据上面的等量关系列出方程或者方程组解决问题吗？
解得
答：李大叔应聘请甲种饲养员4人，乙种饲养员2人．
某市举办中学生足球比赛，规定胜一场得3分，平一场得1分．市第二中学足球队比赛11场，没有输过一场，共得27分，试问该队胜几场？平几场？
分析：胜场＋平场＝总场次；胜分＋平分＝总分数．
解：设该队胜了x场，平了y场．根据题意得解得
答：该队胜了8场，平了3场．
要点归纳：1.基本数量关系：各部分之和＝全部数量；
2．方法：明显关系词，如多、少、倍、共、几分之几等．　
探究点二：销售问题
炎炎夏日，随着气温的升高，某空调专卖店销售的A，B两种空调销量迅速增长．已知A空调的进价为0.2万元/台，售价为0.5万元/台；B空调的进价为0.4万元/台，售价为0.7万元/台．今年六月这两种空调的销售总额为206万元，总利润为102万元．问这两种空调售出的台数分别是多少？
问题1：售价、进价、利润三者之间有什么关系？
（利润＝售价－进价）
问题2：设A空调售出x台，B空调售出y台．分别用x，y表示两种空调的总售价和总利润．
（A空调总售价0.5x万元，总利润是0.3x万元；B空调总售价0.7y万元，总利润是0.3y万元）
问题3：你能根据上面的等量关系列出方程组解决问题吗？
解得
所以A空调售出160台，B空调售出180台．
小林在某商店购买商品A，B共二次，购买商品A，B的数量和费用如下表：
购买商品A的数量/个 购买商品B数量/个 购买总费用/元
第一次购物 6 5 1 140
第二次购物 3 7 1 110
求商品A，B的标价．
解：设商品A的标价为x元，商品B的标价为y元.根据题意，得解得
答：商品A的标价为90元，商品B的标价为120元．
要点归纳：标价＝进价＋进价×利润率＝（1＋利润率）×进价．
售价＝标价×（打n折销售时）.
利润＝售价－进价．
利润率＝×100%＝×100%.　
三、当堂检测
1．“六一”儿童节前夕，某超市用3 360元购进A，B两种童装共120套，其中A种童装每套24元，B种童装每套36元．若设购A种童装x套，B种童装y套，根据题意列方程组正确的是B
A. B．
C． D．
2．有大小两种货车，2辆大货车与3辆小货车一次共可运货15.5吨，5辆大货车与6辆小货车一次共可运货35吨，则每辆小货车一次可运货B
A．2吨 B．2.5吨
C．3吨 D．3.5吨
3．甲种电影票每张20元，乙种电影票每张15元．若购买甲、乙两种电影票共40张，恰好用去700元，则甲种电影票买了20张．
（其他课堂拓展题，见配套PPT）
四、课堂小结【板书设计】
板书设计
本节课的重点是让学生经历和体验用方程组解决实际问题的过程，抓住实际问题的等量关系建立方程组模型．教学难点是利用相等关系将实际问题转化为数学问题．教学中，采取了让学生通过独立思考、自主探索、合作交流等方式，在思考、交流等数学活动中，养成严谨的思维方式和良好的学习习惯．第十章 二元一次方程组
10.2.2加减消元法解二元一次方程组
1．掌握用加减法解二元一次方程组．
2．使学生理解加减消元法所体现的“化未知为已知”的化归思想方法．
重点：如何用加减法解二元一次方程组．
难点：如何运用加减法进行消元．
一、导入新课
创设情境
请观察下面的方程组：
（1）　　　（2）
除了代入消元法，你还有别的办法消去x吗？
（思考）
二、合作探究
探究点一：同一未知数的系数相同或者互为相反数
问题1：方程组（1）的两个方程中，y的系数有什么关系？（y的系数相同）
问题2：方程组（2）的两个方程中，x的系数有什么关系？（x的系数互为相反数）
问题3：（2x＋y）－（x＋y）＝7－（－4）这个等式成立吗？
（根据等式的性质，在等式的两边同时加上或减去一个相等的式子，等式仍成立．）
问题4：化简问题3中的等式，你得到了一个什么方程？
（x＝11，为一元一次方程）
追问：结合上述例子，总结加减消元法的概念．
要点归纳：加减消元法：当二元一次方程组的两个方程中某个未知数的系数互为相反数或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，进而求得二元一次方程组的解．这种解二元一次方程组的方法叫作加减消元法，简称加减法．　
解二元一次方程组：
解：①－②，得－8y＝8，y＝－1.把y＝－1代入②得，得2x＋3×（－1）＝－1，x＝1.所以这个方程组的解是
教材P96例5，课件出示，学生独立思考，老师总结．
要点归纳：在方程组的两个方程中，若某个未知数的系数互为相反数，则可直接把这两个方程的两边分别相加，消去这个未知数；若某个未知数的系数相等，则可直接把这两个方程的两边分别相减，消去这个未知数．　
探究点二：同一未知数的系数绝对值不相同
请观察方程组：
问题1：直接加减是否可以消去一个未知数？为什么？
（同一未知数的系数绝对值不相同无法通过直接加减消去未知数）
问题2：能否对方程变形，使得两个方程中某个未知数的系数相反或相同？
（根据等式的性质，在等式的两边同时乘以一个相同的数，等式仍成立）
追问：如何用加减法消去y？（①×2＋②）
教材P97例7，课件出示，学生独立思考，老师总结
要点归纳：　
探究点三：根据方程组的特点选择合适的方法
（1）　（2）
（3） （4）
观察方程组：
讨论1：观察方程组中各未知数系数的特点，能直接用加减法消去一个未知数吗？
讨论2：分别用代入法和加减法解上面的方程组，讨论什么样的方程适合用代入法，什么样方程组适合用加减法．
（师生讨论，作出总结）
三、当堂检测
1．方程组由②－①，得正确的方程是（B）
A．3x＝10 B．x＝5
C．3x＝－5 D．x＝－5
2．已知关于x，y的方程组则y是（A）
A．5 B．2a－5 C．a－5 D．2a
3．已知a，b满足方程组则3a＋b的值为（A）
A．8 B．4
C．－4 D．－8
（其他课堂拓展题，见配套PPT）
四、课堂小结【板书设计】
用加减法解二元一次方程组的步骤：
①变形，使某个未知数的系数绝对值相等；
②加减消元；
③解一元一次方程；
④求另一个未知数的值，得方程组的解．
进一步理解二元一次方程组的“消元”思想，初步体会数学研究中“化未知为已知”的化归思想．选择恰当的方法解二元一次方程组，培养学生的观察、分析问题的能力．第十章 二元一次方程组
10.2.1 代入消元法解二元一次方程组
1．通过解决实际问题，结合一元一次方程的解法，掌握代入消元法的意义，发展抽象思维能力和转化迁移思想．
2．会用代入法解二元一次方程组，提高解题能力；在解题过程中渗透代入消元法的化归思想．
重点：用代入消元法解二元一次方程组．
难点：探索如何用代入法将“二元”转化为“一元”的消元过程．
一、导入新课
创设情境
一个苹果和一个梨的质量合计300 g，这个苹果的质量加上一个100 g的砝码恰好与这个梨的质量相等，问苹果和梨的质量各是多少？
设苹果的质量是x g，梨的质量是y g，依题意得
怎么解这个方程组呢？（思考）
二、合作探究
探究点一：用一个未知数表示另外一个未知数
问题1：你能把方程①改写成用含x的式子表示y的形式吗？（y＝300－x）
问题2：你能把方程②改写成用含y的式子表示x的形式吗？（x＝y－100）
练习1.将以下方程用含x的式子表示y或用含y的式子表示x.
（1）x－3y＝6；（2）x＋y＝－2；（3）3x＋2y＝1.
解：（1）x＝3y＋6；y＝.
（2）x＝－y－2；y＝－x－2.
（3）x＝；y＝.
探究点二：用代入法解二元一次方程组
问题1：在情境问题里①②两个方程中的x和y所表示的意义一样吗？（一样）
问题2：能否把探究点一问题1中所得的式子代入另一个方程中？代入后得到的方程是什么方程？
（把y＝300－x代入②得，x＋100＝300－x.一元一次方程）
问题3：以上做法达到怎样的目的？
（消去未知数y，把二元一次方程组转化成一元一次方程）
追问1：解方程x＋100＝300－x的结果是什么？能否由x的值得出y的值？
（x＝100，把x＝100代入①或者②，解方程得出y＝200）
追问2：结合上述例子，总结代入消元法的概念．
要点归纳：代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解．这种解二元一次方程组的方法叫作代入消元法，简称代入法．
教材P92例1，课件出示，学生独立思考，老师总结．
第一次买3个篮球和1个排球共花费380元，第二次买2个篮球和3个排球共花费440元，求篮球和排球的价格分别是多少元．
解：设一个篮球的单价是x元，一个排球的单价是y元．根据题意得由①得y＝380－3x③.把③代入②，得2x＋3（380－3x）＝440.解得x＝100.把x＝100代入③，得y＝80.所以这个方程组的解是答：一个篮球的单价是100元，一个排球的单价是80元．
一种商品分装在大、小两种包装盒内，三大盒和四小盒共装108瓶，两大盒和三小盒共装76瓶，大、小包装盒各装多少瓶？
（答案在课件中展示）
要点归纳：代入消元法的步骤：
1．从方程组中选取一个系数比较简单的方程，把其中的某一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来；
2．把第1步中所得的方程代入另一个方程，消去一个未知数；
3．解所得的一元一次方程，求得另一个未知数的值．　
三、当堂检测
1．用代入法解方程组下列说法正确的是B
A．直接把①代入②，消去y
B．直接把①代入②，消去x
C．直接把②代入①，消去y
D．直接把②代入①，消去x
2．代入法解方程组时，代入正确的是C
A．x－2－x＝7 B．x－2－2x＝7
C．x－2＋2x＝7 D．x－2＋x＝7
3．由方程组可得x与y的关系是A
A．2x＋y＝4 B．2x＋y＝－4
C．2x－y＝4 D．2x－y＝－4
4．方程组的解是．
（其他课堂拓展题，见配套PPT）
四、课堂小结【板书设计】
回顾一元一次方程的解法，借此探索二元一次方程组的解法，使得学生的探究有很好的认知基础，探究显得十分自然流畅．引导学生充分思考和体验转化与化归思想，增强学生的观察归纳能力，提高学生的学习能力．第十章 二元一次方程组
10.1　二元一次方程组的概念
1．通过提炼实际问题中的数量关系，了解二元一次方程（组）及其解的定义，形成良好的数学思维习惯，锻炼抽象能力．
2．能够检验一组数是不是某个二元一次方程组的解，提高综合应用能力，培养严谨的解题习惯．
3．能根据简单的实际问题列出二元一次方程组，加强用数学语言描述现实世界的能力，初步培养模型意识的观念．
重点：二元一次方程（组）及其解的相关概念．
难点：根据简单的实际问题列出二元一次方程组．
一、导入新课
知识链接
1．一元一次方程的概念是什么？
（一元一次方程指只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式）
2．什么叫方程的解？
（使方程左右两边相等的未知数的值叫作方程的解）
创设情境：观看篮球赛视频，见配套课件，提出问题如下：
篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分．某队在10场比赛中得到16分，那么这个队胜负分别是多少？
二、合作探究
探究点一：二元一次方程（组）的概念
问题1：对于上面的情境问题尝试设一个未知数，列出一元一次方程．
（设这个队胜场为x场，依题意2x＋10－x＝16）
问题2：对于上面的情境问题尝试设两个未知数，再根据题意列出方程．你能列出几个方程？
解：设这个队胜了x场，负了y场．
依题意得x＋y＝10①，2x＋y＝16②.
问题3：请仿照一元一次方程的概念给出二元一次方程的概念，并举例说明．
（含有两个未知数，且含有未知数的式子都是整式，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫作二元一次方程）
追问1：二元一次方程中的“二元”是指什么？“一次”是指什么？
（二元指的是含有两个未知数，一次指的是未知数的次数都是一次）
追问2：什么叫二元一次方程组？并举例说明．
（方程组中有两个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，一共有两个方程，像这样的方程组叫作二元一次方程组）
已知|m－1|x|m|＋y2n－1＝3是二元一次方程，则m＋n＝0．
分析：由题意得|m－1|≠0，|m|＝1，2n－1＝1，解得m＝－1，n＝1，所以m＋n＝0.
要点归纳：由方程是二元一次方程可知：（1）未知数的系数不为0；（2）未知数的次数都是1.　
练习：下列是二元一次方程的是：①⑤．（填序号）
①x＋y＝11；②m＋1＝2；③x2＋y＝5；④3x－π＝11；⑤－5x＝4y＋2；⑥7＋a＝2b＋11c；⑦7x＋＝13；⑧4xy＋5＝0.
探究点二：二元一次方程（组）的解
填一填：根据方程x＋y＝10①；2x＋y＝16②填写下表．满足方程①，且符合问题的实际意义的x，y的值有哪些？把它们填入表中．
x
y
问题1：什么是二元一次方程的解？
（一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值叫作二元一次方程的解）
问题2：上表中哪组x，y的值还满足方程②？
（x＝6，y＝4）
追问：由此归纳总结出二元一次方程组的解的定义．
（二元一次方程组的两个方程的公共解，叫作二元一次方程组的解．）
若是方程x－ky＝1的解，则k的值为－1．
加工某种产品须经两道工序，第一道工序每人每天可完成900件，第二道工序每人每天可完成1 200件．现有7位工人参加这两道工序，应怎样安排人力，才能使每天第一、二道工序所完成的件数相等？请列出符合题意的二元一次方程组．
解：设第一道工序需要x人，第二道工序需要y人，根据题意列方程组得
三、当堂检测
1．下列方程组中，是二元一次方程组的是（A）
A. B．
C． D．
2．下列四组数值是二元一次方程2x＋y＝10的解是（B）
A． B． C． D．
3．若3xm＋3＋yn－2＝8是关于x，y的二元一次方程，则m＝－2，n＝3．
4．写出二元一次方程2x－y＝5的一组整数解：（答案不唯一）.
（其他课堂拓展题，见配套PPT）
四、课堂小结【板书设计】
二元一次方程组
通过自主探究和合作交流，建立二元一次方程的数学模型，学会逐步掌握基本的数学知识和方法，形成良好的数学思维习惯和应用意识，提高解决问题的能力，感受数学创造的乐趣，增进学好数学的信心，增加对数学较全面的体验和理解．第十章 二元一次方程组
*10.4　三元一次方程组的解法
1．通过提炼实际问题中的数量关系，结合二元一次方程组的概念，锻炼抽象能力，培养类比推理能力.
2．能解简单的三元一次方程组，通过探索三元一次方程组的解法，进一步感受“消元法”化繁为简的化归思想，培养举一反三的迁移意识．
重点：会解简单的三元一次方程组．
难点：根据方程组的特点，选择最合适的解法．
一、导入新课
知识链接
什么叫二元一次方程组？解二元一次方程组的方法有哪些？
（方程组中有两个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫作二元一次方程组．解二元一次方程组的方法有代入法和加减法）
创设情境
二、合作探究
探究点一：三元一次方程（组）的概念
问题1：题中有哪些未知量？你能找出哪些等量关系？可以列出几个方程？
三个人年龄未知，设小明年龄是x岁，小天年龄是y岁，小红年龄是z岁，则
问题2：你能类比二元一次方程（组）给上面的方程（组）取名字吗？
在这个方程组中，x＋y＋z＝26，2x＋y＝z＋18这两个方程都含有三个未知数，并且含有未知数的式子都是整式，所含未知数的项的次数都是1，这样的方程叫作三元一次方程．
像这样共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程叫作三元一次方程组．
追问：你能根据二元一次方程组的解说出什么是三元一次方程组的解吗？
（三元一次方程组中各个方程的公共解叫作这个三元一次方程组的解）
练一练：下列方程组不是三元一次方程组的是D
A． B．
C． D．
探究点二：三元一次方程组的解
解方程组：
问题1：你能把上面的方程组化成只含有两个未知数的方程组吗？
（参考解二元一次方程组的方法，利用代入消元或加减消元消去一个未知数）
问题2：如何求方程组中第三个未知数的值？
（消元成二元一次方程组后，解二元一次方程组，再把得到的解代入原方程组中求第三个未知数）
解：把②代入①，得z＋1＋y＋z＝26④.
把②代入③，得2（z＋1）＋y＝z＋18⑤.
④和⑤组成二元一次方程组解得
把y＝7，z＝9代入①，得x＝10.
因此原方程组解为
问题3：类比二元一次方程组的解法总结解三元一次方程组的方法．
教材P109例2，课件出示，学生独立思考，老师总结．
若|a－b－1|＋（b－2a＋c）2＋|2c－b|＝0，求a，b，c的值．
解：因为三个非负式的和等于0，
所以每个非负式都为0.可得方程组解得
幼儿营养标准中要求每一个幼儿每天所需的营养量中应包含35单位的铁、70单位的钙和35单位的维生素．现有一批营养师根据上面的标准给幼儿园小朋友们配餐，其中包含A，B，C三种食物，下表给出的是每份（50 g）食物A，B，C分别所含的铁、钙和维生素的量（单位）：
食物 铁 钙 维生素
A 5 20 5
B 5 10 15
C 10 10 5
解：设食谱中A，B，C三种食物各x，y，z份，由题意得解得
答：该食谱中包含A种食物2份，B种食物1份，C种食物2份．
三、当堂检测
1．下列方程：①＋＋＝5；②＋＋＝6；③2x＋3a＋b＝7；④x＋3y－4z＝1.其中能与方程x＋y＋z＝3和2x－y＝3组成三元一次方程组的是①④（填序号）.
2．解方程组根据方程组的特点，可采取先将①分别代入③②式得x＝3，x－4y＝－5，从而求出y＝2，z＝5．
3．若a，b，c为三角形的三边长，此三角形周长为18，且a＋b＝2c，b＝2a，则a＝4，b＝8，c＝6．
（其他课堂拓展题，见配套PPT）
四、课堂小结【板书设计】
三元一次方程组
本节课主要内容是类比二元一次方程组的概念和解法去学习三元一次方程组的概念和解法．通过对二元一次方程组的类比学习，让学生感受把新知转化为已知，把不会的问题转化为学过的问题，把难度大的问题转化为难度较小的问题这一化归思想．感受数学知识之间的密切联系，增强学生的数学应用意识，初步培养学生建立数学模型解决问题的良好思维习惯．第十章 二元一次方程组
10.3　实际问题与二元一次方程组
第2课时　图表问题和工程问题
1．学会利用二元一次方程组解决图表、工程问题，提高综合素养能力，加强用数学语言描述现实世界的能力，培养模型意识和观念．
2．自主学习，小组合作交流，通过构建等量关系解决实际问题．
重点：能根据具体的数量关系，列出二元一次方程组解决实际问题．
难点：学会利用二元一次方程组解决图表、工程问题．
一、导入新课
创设情境
情境导入：已知长方形ABCD，AB＝CD＝200 m，AD＝BC＝100 m，将长方形ABCD分割为两个小长方形，长方形1号和长方形2号分别种甲、乙作物，甲、乙单位面积产量的比是1∶2.怎样划分这块长方形ABCD，使甲、乙两种作物的总产量的比是3∶4？你能设计出什么样的方案？
二、合作探究
探究点一：图表问题
问题：将长方形ABCD分割为两个小长方形，你有几种分割方法？
（水平分割，竖直分割）
追问：画出图形，并展示你的设计方案．
①竖画：
解：如上图所示分割，设AE＝x m，BE＝y m．则有解得
②横画：
解：如上图所示分割，设DE＝x m，AE＝y m．则有解得
在长为20 m、宽为16 m的长方形空地上，沿平行于长方形各边的方向割出三个完全相同的小长方形花圃，其示意图如图所示，求每个小长方形花圃的面积．
解：设小长方形的长为x m，宽为y m．依题意得解得
4×8＝32（m2）.
答：每个小长方形花圃的面积32 m2.
列二元一次方程组解决下面问题：为落实教育部门安排的学生社会实践活动，八年级（9）班开展了一次蔬菜售卖体验．其中第一小组花128元从蔬菜批发市场批发了豆角和土豆共55 kg到蔬菜市场去卖，豆角和土豆当天的批发价与零售价如表所示：
品名 豆角 土豆
批发价（元/kg） 2.4 2.2
零售价（元/kg） 3.8 3.3
求该小组当天卖完这些豆角和土豆可赚多少元．
解：设该小组当天购买了x kg豆角，y kg土豆，
根据题意得解得
（3.8－2.4）x＋（3.3－2.2）y＝（3.8－2.4）×35＋（3.3－2.2）×20＝71.
答：该小组当天卖完这些豆角和土豆可赚71元．
探究点二：工程问题
有一批零件共420个，如果甲先做2天后乙加入合作，那么再做2天完成；如果乙先做2天后甲加入合作，那么再做3天完成．则甲，乙两人每天分别做多少个零件？
问题1：你能列出工作总量、工作效率、工作时间之间的关系式吗？
（工作效率×工作时间＝工作总量）
问题2：设甲每天做x个零件，乙每天做y个零件，那么甲乙合作一天可以做多少个零件？
（甲乙合作的工作效率是x＋y）
追问：列方程组求解．
　解得
答：甲每天做90个零件，乙每天做30个零件．
在某外环公路建设过程中，准备让甲、乙两个工程队接力完成．已知甲工程队独立完成这项工程需要20天，每天要支付甲工程队2 000元；乙工程队独立完成这项工程需要15天，每天要支付乙工程队3 000元；最后一共支付甲乙工程队42 000元．请问甲、乙分别工作了多少天？
解：设甲工程队工作了x天，乙工程队工作了y天．依题意得解得
答：甲工程队工作了12天，乙工程队工作了6天．
要点归纳：1.解决工程问题，有时我们需要把工作总量看做单位“1”．
2．工作总量、工作效率和工作时间之间的关系式为
工作总量＝工作效率×工作时间
工作效率＝工作总量÷工作时间
工作时间＝工作总量÷工作效率　
三、当堂检测
1．如图，直线a∥b，∠1的度数比∠2的度数大50°，若设∠1＝x°，∠2＝y°，则可得到的方程组为 （B）
A． B．
C． D．
第1题图 第2题图
2.教材 P103 练习 12 变式 在“幻方拓展课程”探索中，小明在如图的3×3方格填入了一些表示数的代数式．若图中各行、各列及对角线上的三个数之和都相等，则y－x＝（C）
A．2 B．4 C．－6 D．6
3．根据图中所给的信息，每件T恤和每瓶矿泉水的价格分别是20元和2元．
（其他课堂拓展题，见配套PPT）
四、课堂小结【板书设计】
板书设计
本课探究的问题信息量大、数量关系复杂、未知数不容易设定，对学生来说是一种挑战，因此安排学生合作学习．学生先独立思考、自主探索，然后在小组讨论中合理设定未知数建立方程组解决问题．在教学过程中通过创设情境，使教学内容更加生活化，采用引发指导、多样评价、鼓励肯定等多种教学方法，增强学生的学习兴趣，让学生体验成功，从而培养学生分析问题、解决问题的能力．

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