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第八章 实数
8.1 第2课时　算术平方根及其大小比较
1．了解算术平方根的概念和意义．
2．会求一些非负数的算术平方根，能运用算术平方根进行计算求值，解决实际问题．
3．会用计算器和估算的方法求一个非负数的算术平方根，并借此过程感受无限不循环的概念．
4．能用估算的方法确定无理数的大致范围，通过估算的训练，感受其在实际生活中的意义．
重点：了解算术平方根的概念，会求一些非负数的算术平方根．
难点：会求一些非负数的算术平方根．
一、导入新课
知识链接
结合第1课时的知识计算并思考下面的问题：
学校要举行美术作品比赛，小美画了一幅面积为25 dm2的正方形油画，请问这块正方形油画的边长是多少？
问题1：正方形油画的边长是多少？（5 dm）
问题2：你是怎么得出这个结果的呢？
（由正方形的面积公式，通过平方和开方互为逆运算推算，且面积不能为负，所以得出5 dm.）
创设情境——见配套课件
二、合作探究
探究点一：算术平方根的概念和性质
计算下表中各正方形的边长：
正方形的面积/dm2 1 9 16 36
正方形的边长/dm 1 3 4 6
问题1：结合平方根的概念，回答各正方形的边长与面积之间有什么关系？
（正方形的边长是面积值的正平方根）
问题2：以上数据中，面积和边长的大小有什么特点？
（面积越大，边长越大）
要点归纳：概念：正数a有两个平方根，其中正的平方根叫作a的算术平方根．正数a的算术平方根记为.规定：0的算术平方根是0.
性质1：一个正数的算术平方根是正数．
性质2：0的算术平方根是0.
性质3：负数没有算术平方根．
性质4：被开方数越大，对应的算术平方根也越大．　
求下列各数的算术平方根．
（1）121；　（2）0；　（3）；　（4）0.25.
解：（1）11. （2）0. （3）. （4）0.5.
已知3＋a的算术平方根是5，则a的值为22．
探究点二：估算一个数的算术平方根的近似值
拼一拼：能否用两个面积为1 dm2的小正方形拼成一个面积为2 dm2的大正方形？
组织学生裁剪两个面积为1 dm2的小正方形，把两个小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形沿直角边拼在一起，回答下面的问题．
问题：根据正方形面积和边长的关系求大正方形的边长．
（解析过程课件展示）
算一算：估算的大小．
（1）如何比较1，，2之间的大小；
∵12＝1，（）2＝2，22＝4，∴1＜＜2.
（2）确定1.4，，1.5之间的大小；
∵1.42＝1.96，1.52＝2.25，∴1.4＜＜1.5.
（3）确定1.41，，1.42之间的大小．
∵1.412＝1.988 1，1.422＝2.016 4，∴1.41＜＜1.42.
如此反复可确定出更精确的近似值，此种方法叫作“夹逼法”．事实上，＝1.414 213 562 373…，它是一个无限不循环小数．
要点归纳：用“夹逼法”求近似值的步骤：
（1）通过估算，确定在哪两个连续整数之间；
（2）通过试算，确定在哪两个连续的一位小数之间；
（3）通过试算，确定在哪两个连续的两位小数之间；
……
如此反复，可求得更精确的近似值．　
探究点三：用计算器求一个数的算术平方根
探索：用计算器求下列各式的值：
（1）＝1.414（精确到0.001）；　（2）＝56.
活动：阅读教材P44，P45探究题．
（1）用计算器计算探究（1）表格中的算术平方根；
（2）总结被开方数与算术平方根的规律；
（3）计算探究（2）中的值，通过规律估算题中的近似值，并判断能否估算的值．
总结：被开方数的小数点向左或向右移动2n位时，算术平方根的小数点就相应的向左或向右移动n位（n为正整数）.
比较下列各组数的大小．
（1）与2.24；（2）与0.5；（3）与1.
方法指导：（2）（3）可将0.5和1化为以2为分母的分数，然后再比较分子的大小．
解：（1）＜2.24.（2）＞0.5.（3）＜1.
（教材P45例5，学生自主计算，老师总结）
（解析见配套课件）
三、当堂检测
1．依次按键，显示结果是（ A ）
A．15 B．±15
C．－15 D．25
2．估计的值在（ A ）
A．2到3之间 B．3到4之间
C．4到5之间 D．5到6之间
3．下列整数中，与最接近的是（ B ）
A．4 B．5 C．6 D．7
4．比较大小：4＞（填“＞”或“＜”）.
5．利用计算器计算：2（－1）＋3≈4.46（精确到0.01）.
（其他课堂拓展题，见配套PPT）
四、课堂小结【板书设计】
算术平方根
本课时的教学设计探究性比较强，极大地提高了学生的课堂参与度，能让学生掌握算术平方根的意义、求法以及实际应用，了解算术平方根的非负性，运用算术平方根解决实际问题，并培养独立思考、合作探究的能力，建立初步的数感和符号意识，提升思维能力和实际应用能力．第八章 实数
数学活动2：估算A0纸的长与宽和口算求立方根
1．加深对实数的现实理解，感受实数在生活中的实际应用，能够运用所学知识解决实际问题．
2．了解解决数学问题的巧妙方法，培养学生将复杂问题简单化的能力．
3．培养学生的动手能力、思考能力、计算能力、协作能力、推理能力等相关的综合素养，助力学生的全面发展．
重点：1.A0纸长宽比的探究以及知道面积如何求解长宽的值．
2．口算立方根的探究及计算能力的掌握．
难点：A0纸长宽的求解，口算立方根的探究过程．
一、导入新课
知识链接
如图，同学们应该记得在前面的课时中我们将面积为1的两个小正方形沿对角线裁成四个直角三角形，然后沿直角边拼接成一个面积为2的大正方形的活动．
问题1：小正方形的对角线是多少？（）
问题2：大正方形的对角线和边长分别是多少？
（2，）
问题3：小正方形和大正方形的对角线和边长的比分别是多少？你得出了一个什么结论？
（正方形对角线和边长的比为∶1）
创设情境——见配套课件
二、合作探究
探究点一：估算A0纸的长与宽
按照国际标准，A系列纸为长方形纸，A0纸的面积为1 m2.将A0纸沿长边对折、裁开便成了两张A1纸，将A1纸沿长边对折、裁开便成了两张A2纸……将A4纸沿长边对折、裁开便成了两张A5纸．
活动1：取一张A0纸，将其连续沿长边对折四次并展开，然后展示给学生观察．
问题1：这张A0的纸此时被折成了几个小长方形？
（16个）
问题2：根据前面给出的阅读内容，猜想这些小长方形属于哪一类纸？
（属于A4纸）
问题3：这些小长方形的长宽与A0纸的长宽有什么关系？
（A0纸的长宽分别是A4纸长宽的4倍．）
活动2：让学生准备一张A4纸，按图中所展示的方式折叠，你有什么发现？
（提示：我们标注第一次折叠的折痕为AB，第二次为AE，折叠后发现点B与点C恰好重合．）
问题1：AC与AB有什么大小关系？
（AC＝AB）
问题2：由知识链接可知AB与AF的比值为多少？那么AC与AF的比值呢？
（AB∶AF＝∶1，AC∶AF＝∶1）
问题3：根据问题2可以得到A4纸的长与宽有什么关系？
（长宽之比为∶1）
问题4：根据活动1中的问题3推算A0纸的长宽比为多少？
（因为A0纸的长宽分别是A4纸长宽的4倍，所以A0纸的长宽比也为∶1）
解决问题：我们已经知道A0纸的面积为1 m2，且推导出A0纸的长宽比也为∶1，借助此性质求出A0纸的长与宽分别为多少毫米？（可借助计算器，计算结果取整数）
（解析见同步课件）
探究点二：口算立方根
华罗庚简介：华罗庚（1910年11月12日－1985年6月12日），出生于江苏常州金坛区，祖籍江苏丹阳，数学家，中国科学院院士，美国国家科学院外籍院士，第三世界科学院院士，联邦德国巴伐利亚科学院院士，中国科学院数学研究所研究员、原所长．中国解析数论创始人和开拓者，被誉为中国现代数学之父．
华罗庚趣事：见教材P59，活动2.
思考：你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？带着这个思考，让我们一起探索出华罗庚的口算秘诀．
探索1：确定结果的位数．
比较：求59 319与103，1003的大小．
（103＜593 19＜1003）
问题：请问59 319的立方根是几位数？为什么？
（两位数，因为10＜＜100）
探索2：确定个位的数字．
问题1：计算自然数1－10对应的立方数．
自然数 1 2 3 4 5
立方数 1 8 27 64 125
自然数 6 7 8 9 10
立方数 216 343 512 729 1 000
问题2：观察所求立方数的个位数有什么特点？
（个位数字都不相同）
问题3：你能否确定所求立方根的个位数？
（9）
探索3：确定十位的数字．
提示：（以立方根为两位数举例）对十位数字进行范围估算，先去掉原数的后三位，再通过比较剩下的数字与一些已知的相邻整数立方的大小关系，确定立方根的十位数字．
问题1：划去59 319后面的三位数得到的数是多少？
（59）
问题2：59在哪两个整数的立方之间？
（3和4）
问题3：由此你能确定的十位上的数是几吗？为什么不是另一个数字？
（十位数字是3，如果取4，整体值会大于59 319）
要点归纳：1.比较原数与13，103，1003等节点的大小确定立方根的位数．
2．观察原数个位数字，确定立方根个位数字．
3．去掉原数的后三位，再通过比较剩下的数字与一些已知的相邻整数的立方之间的大小关系，确定立方根的十位数字．　
已知19 683，110 592都是整数的立方，按照上述方法，你能确定它们的立方根吗？
（＝27，＝48）
三、当堂检测
1．一个面积为10的直角三角形，其长直角边与短直角边的比为∶1，请问此直角三角形的长直角边与短直角边分别为多少？（可借助计算器，计算结果保留一位小数）
（长直角边5.9，短直角边3.4）
2．已知4 096，39 304，140 608都是完全立方数，请分别求出他们的立方根．
（＝16，＝34，＝52）
（其他课堂拓展题，见配套PPT）
本课时的探索活动把问题拆解为一个个小的板块，将复杂的问题简单化，引导学生逐一解决，培养他们克服困难的信心，活动把章节知识点和新颖的探索方式相结合，加深了学生对知识的理解记忆，也丰富了学生的认知和解决问题的本领．第八章 实数
8．2　立方根
1．通过类比推理，了解立方根的概念，区分平方根与立方根的不同，会用根号表示立方根，会用立方运算求千以内的完全立方数的立方根．
2．能用有理数估计一个无理数的大致范围，形成估算的意识，培养估算能力．
3．经历运用计算器探求数学规律的过程，发展合情推理能力．
4．体会数学与实际生活的紧密联系，培养善于发现问题和提出问题的习惯．
重点：会用根号表示立方根，求千以内的完全立方数的立方根．
难点：求千以内的完全立方数的立方根．
一、导入新课
情境导入
请问图片中展示的物品是什么？若这个魔方的体积为216 cm2，思考如何求此魔方的棱长．
（1）它的形状有什么特点？
（魔方是个正方体，各棱长相等）
（2）在这个问题中，涉及到什么计算问题？
（根据体积求棱长）
（3）你能找出一个数，使它的立方等于216吗？（6）
二、合作探究
探究点一：立方根的定义和性质
算一算：
23＝8；　 　 （－2）3＝－8；
0.53＝0.125; （－0.5）3＝－0.125；
（）3＝； （－）3＝－；
03＝0．
思考1：通过计算，你能发现正数、0、负数的立方与平方有什么不同之处吗？
思考2：你能类比平方根的定义说出立方根的定义吗？
思考3：你能类比开平方的定义说说什么是开立方吗？
思考4：开立方与立方是什么关系？
要点归纳：定义：一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3＝a，那么这个数x叫作a的立方根或三次方根．
开立方：求一个数的立方根的运算，叫作开立方．
开立方与立方互为逆运算．　
填一填：根据开立方与立方互为逆运算填空．
（1）∵23＝8，∴8的立方根是2；
（2）∵（0.4）3＝0.064，∴0.064的立方根是0.4；
（3）∵（0）3＝0，∴0的立方根是0；
（4）∵（－2）3＝－8，∴－8的立方根是－2；
（5）∵（－）3＝－，∴－的立方根是－．
根据上述填空，你能发现正数、0、负数的立方根各有什么特点？
要点归纳：性质1：正数的立方根是正数；
性质2：负数的立方根是负数；
性质3：0的立方根是0.　
类比推理：类似于平方根，一个数a的立方根记为“”，读作“三次根号a”，其中a是被开方数，3是根指数．
求下列各数的立方根．
（1）－27；（2）3；（3）0.216；（4）－5.
解：（1）－3.（2）.（3）0.6.（4）.
计算：＋－＝6．
探究点二：互为相反数的两个数的立方根的关系
计算：
（1）∵＝－2，＝2，
∴＝－.
（2）∵＝－3，＝3，
∴＝－.
（3）∵＝－4，＝4，
∴＝－.
思考：（1）各题中被开方数有什么关系？
（互为相反数）
（2）这些数的立方根有什么关系？
（互为相反数）
（3）根据计算结果，可以得到什么初步结论？
（互为相反数的两个数的立方根互为相反数）
讨论：（1）表示a的立方根，那么（）3等于什么？等于什么？（a，a）
（2）与－有什么关系？（相等）
要点归纳：结论1：“先开立方，再立方”与“先立方，再开立方”结果相等，都等于原数，即（）3＝＝a.结论2：互为相反数的两个数的立方根互为相反数，即＝－.　
若与的值互为相反数，则的值为．
探究点三：利用计算器求立方根
用计算器计算：
（1）＝11，＝7，
＝0.8．
（2）＝0.06，＝0.6，
＝6，＝60．
观察题（2）中的式子，你能发现什么规律？
总结：被开方数的小数点向左（或向右）移动3n位，其立方根的小数点就相应地向左（或向右）移动n位，反之，也成立．（n为正整数）
若≈0.6694，则≈6.694．
变式：已知≈1.26，≈12.6，用含n的式子表示m，则m＝1 000n．
三、当堂检测
1．27的立方根为（B）
A．±3 B．3 C．－3 D．9
2．下列说法正确的是（D）
A．正数有2个立方根 B.－8的立方根是±2
C．负数没有立方根 D．－1的立方根是－1
3．将一块体积为64 cm3的正方体木块锯成8块同样大小的小正方体木块，则每个小正方体木块的棱长为（A）
A．2 cm B．3 cm
C．4 cm D．5 cm
（其他课堂拓展题，见配套PPT）
四、课堂小结【板书设计】
立方根
由魔方引入立方根，这样的课程设置能提升学生的探究欲望，激发学习兴趣．授课形式为学生自主探究和教师引导相结合，通过与平方根的类比推理让学生掌握立方根的概念及性质．立方根的概念在数学领域是个相对抽象的概念，本课时的学习能让学生全身心地参与探究、讨论和总结，加深对概念的理解，掌握课程要求的知识，为以后的学习奠定基础．第八章 实数
8.3 第2课时　实数的性质及运算
1．了解实数范围内相反数、绝对值、倒数的意义，会求一个数的相反数、绝对值．
2．清楚有理数的运算法则和运算律在实数范围仍适用，能利用化简对实数进行简单的四则运算．
3．会按要求用近似有限小数代替无理数，再进行计算．
4．增强独立思考、合作探究的能力，进一步利用类比的方法探究实数的性质．
重点：实数范围内相反数、绝对值、倒数的意义，利用实数的运算法则、运算律进行正确运算．
难点：利用实数的运算法则、运算律进行正确运算．
一、导入新课
知识回顾
回顾有理数中的几个重要概念：
①相反数：只有符号不同的两个数互为相反数；②绝对值：数轴上表示数a的点到原点的距离叫作数a的绝对值，用|a|表示．
③倒数：如果两个数的积是1，那么这两个数互为倒数．
二、合作探究
探究点一：实数的性质
填一填：（1）的相反数是－，－π的相反数是π，0的相反数是0；
（2）||＝，|－π|＝π，|0|＝0．
（3）－5的倒数为－．
根据填空的内容，你能得出什么结论？
要点归纳：1.若a是一个实数，则实数a的相反数为－a.
2．一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
即设a表示一个实数，则|a|＝
3．若a是一个非零实数，则a的倒数为.　
分别求下列各数的相反数和绝对值：
（1）；　（2）；　（3）；
（4）－；　（5）π－3.14.
解：（1）4，4.（2）－15，15.（3）－，.
（4），.（5）3.14－π，π－3.14.
已知|a|＝，则a的值为±．
探究点二：实数的运算
1．思考：根据实数的性质试着完成下列各题，并猜想有理数中学过的运算法则及运算律对实数是否适用？
设a，b，c是任意实数，则
（1）a＋b＝b＋a；（加法交换律）
（2）（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）；（加法结合律）
（3）ab＝ba；（乘法交换律）
（4）（ab）c＝a（bc）；（乘法结合律）
（5）a（b＋c）＝ab＋ac．（乘法对于加法的分配律）
要点归纳：实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用．
实数的运算顺序：
（1）先算乘方、开方；
（2）再算乘除，最后算加减；
（3）如果遇到括号，先进行括号里的运算．　
2．计算：将下列无理数计算化成近似有限小数计算再求值（结果保留小数点后两位）：
（1）＋π≈2.236＋3.142≈5.38；
（2）·≈1.414×1.732≈2.45．
总结：在实数运算中，如果遇到无理数，并且需要求出结果的近似值时，可按要求的精确度用相应的近似有限小数代替无理数，再进行计算．
（提示：在某些近似计算中，也可使用“去尾法”，详见教材P56）
计算下列各式：
（1）2＋3－5－3＝－3；
（2）|1－|＋|－|＝－1；
（3）－（＋）＋＝5．
如图，小明将一个小正方形ABCD和一个大正方形CEFG拼在了一起，其中小正方形的面积为2 dm2，大正方形的面积为3 dm2，请问这两个正方形的边长之和BG的长是多少？（结果保留两位小数）
解：∵小正方形的面积为2 dm2，∴小正方形的边长BC为 dm.∵大正方形的面积为3 dm2，∴大正方形的边长CG为 dm.∴BG＝BC＋CG＝＋≈1.414＋1.732≈3.15 dm.
三、当堂检测
1．－的相反数为（A）
A． B． C．3 D．－3
2．实数－的绝对值是（B）
A．5 B． C．－ D．
3.的倒数是（C）
A．2 B．－2 C． D．－
4．如图，数轴上的点A，B分别表示实数a，b，下列结论正确的是（C）
A.a＞b
B．|a|＞|b|
C．－a＜b
D．a＋b＜0
（其他课堂拓展题，见配套PPT）
四、课堂小结【板书设计】
实数
本课时通过回顾有理数中相反数、绝对值、倒数的概念及意义作为导入，让学生运用类比推理的思维方式，理解这些概念和性质在实数中的应用．以同样的方式展开对实数范围相关运算律、运算法则的探究，再通过例题的训练熟练运算法则，增强计算能力，这也是学好数学的关键．第八章 实数
8.1 第1课时　平方根
1．了解平方根的概念，会用根号表示数的平方根．
2．体会平方运算到求平方根的演变过程，理解二者的互逆关系，培养勤思考、勤动笔的习惯．
3．会利用平方和开方的互逆关系求某些非负数的平方根，对一些特殊的数及其平方根形成记忆．
重点：平方根的概念及平方根的求法．
难点：求非负数的平方根．
一、导入新课
“西兰卡普”是土家族织锦的叫法，是土家族浓郁的民族特色和传统文化的代表，亦是国家级非物质文化遗产．如图，这张正方形的“西兰卡普”面积为4 m2，请问它的边长是多少？
问题1：你算出的边长是多少？（2 m）
问题2：你是怎样算出这个边长的？
（通过正方形的面积公式反推出来）
问题3：因为正方形边长的平方等于面积，所以我们很容易就能得到此处的边长为2 m，那么如果已知一个数的平方，应该怎么求这个数呢？这个数是唯一的吗？请大家带着问题进行探究．
二、合作探究
探究点一：平方根的概念
问题1：如果一个数的平方等于9，那么这个数是多少？（3或－3）
问题2：根据问题1填写下表．
x2 1 16 0.36 49
x ±1 ±4 ±0.6 ±7 ±
思考1：上述表格得到的x值有什么特点？
（互为相反数）
思考2：一个数与自身相乘的乘积叫作平方，那么知道一个数的平方，求这个数的运算叫什么？
（开平方）
要点归纳：定义1：一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x叫作a的平方根或二次方根．
定义2：求一个数的平方根的运算，叫作开平方．
根据所学内容回答“导入新课”问题3.
（根据开平方求这个数，这个数并不唯一）
分别求下列各数的平方根：
（1）；　（2）1.44；　（3）121.
解：（1）±.（2）±1.2.（3）±11.
判断对错：
（1）8是64的平方根；（√）
（2）－8是64的平方根；（√）
（3）±8是64的平方根；（√）
（4）一个数的平方等于81，则这个数是9.（×）
（提示：当前阶段，要求一个非负数的平方根，根据平方与开平方的互逆关系进行求解．）
探究点二：平方根的性质
观察并思考：
思考1：观察以上内容你有什么发现？
（学生自主谈论，围绕平方和平方根的相关知识表达，言之有理即可）
思考2：1，4，9，的平方根分别是什么？
（±1，±2，±3，±）
思考3：0的平方根是多少？（0）
思考4：－1，－4，－9，－有平方根吗？（没有）
（观察、讨论、归纳平方根的性质．）
要点归纳：性质1：正数有两个平方根，它们互为相反数．
性质2：0的平方根是0.
性质3：负数没有平方根．　
追问：前面我们学了一个数的平方的书写方式，那一个数的平方根又该如何表达呢？
（学生思考，老师给出答案）
要点归纳：正数a的正的平方根记为“”，读作“根号a”，a叫作被开方数；正数a的负的平方根记为“－”，读作“负根号a”，则a的平方根可记为“±”，读作“正、负根号a”.0的平方根记为.　　　　　　　　　　　　　　　　
m－1与3－2m是某正数的两个不同的平方根，则m的值是（B）
A．4 B．2 C．－2 D．－
求下列式子中x的值．
（1）x2＝49；　　　（2）4x2＝9.
解：（1）x＝±7；（2）x＝±.
三、当堂检测　
1．16的平方根是（ C ）
A．4 B．－4 C．±4 D．±8
2．下列各数中没有平方根的是（ B ）
A．0 B．－82 C．（－）2 D．－（－3）
3．下列说法正确的是（ D ）
A．任何非负数都有两个平方根
B．一个正数的平方根仍然是正数
C．只有正数才有平方根
D．负数没有平方根
（其他课堂拓展题，见配套PPT）
四、课堂小结【板书设计】
平方根
本课时由国家非物质文化遗产作为导入，激发学生兴趣，让他们了解平方根的概念，在探究过程中，融入了百以内的数的平方根的求值，引导学生学会用平方运算求解平方根．由一个正数有两个互为相反数的平方根，让学生运用分类讨论的思想方法解决问题．第八章 实数
8.3 第1课时　实数的概念及分类
1．经历无理数的探究过程，了解无理数和实数的概念，会把实数进行分类．
2．了解实数与数轴上的点一一对应，能用数轴上的点表示实数，能比较实数的大小．
3．通过实数的分类感受数学的严谨性以及数学结论的确定性．
重点：对实数按照一定的标准进行分类，用数轴上的点表示实数，并比较实数的大小．
难点：用数轴上的点表示实数，并比较实数的大小．
一、导入新课
知识回顾
（1）什么是有理数？有理数包括哪些类别？
（可以写成分数形式的数是有理数，包括整数和分数）
（2）什么是无限不循环小数？我们接触的最常见的无限不循环小数有哪些？
（无限不循环小数是指小数点后有无限个数位，但没有周期性的重复，如，π）
二、合作探究
探究点一：无理数和实数的概念及实数分类
计算：把下列有理数写成小数的形式：
＝2.5，－＝－0.6，＝6.75，＝1. ，＝0. ．
思考1：观察运算结果，请问你有什么发现？请同学们自主讨论并得出自己的结论．
（任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式．）
思考2：像这样的无限不循环小数属于有理数吗？为什么？
（有理数都可以化成有限小数或无限循环小数的形式．反过来，不能化成有限小数或无限循环小数的数不是有理数．）
思考3：如果无限不循环小数不属于有理数，通过阅读教材P52说说它属于哪一类数？
（无理数）
要点归纳：类比有理数，我们将无限不循环小数叫作无理数．无理数的3种常见的表现形式有：构造型的无限不循环小数（如0.301 001 000 1…）、具有特定意义的数（如π）、含有根号且被开方数不能被开尽的数（如）.我们将有理数和无理数统称为实数．　
思考4：类比有理数的分类，你能给实数分类吗？
（学生自主讨论，老师总结）
要点归纳：
（1）按定义分
（2）按符号分
　
将下列各数分别填入下列相应的括号内：
，，，π，－，－，－，，0，，0.525 225 222 5….
无理数：{，，π，－，0.525 225 222 5…}
有理数：{，－，－，，0，}
正实数：{，，，π，，，0.525 225 222 5…}
负实数：{－，－，－}
探究点二：实数与数轴的对应关系及实数的大小比较
演示一：阅读教材P53思考题，老师将演示动画以课件的形式展示π在数轴上的位置．
思考1：O′对应的数是多少？（π）
思考2：O′对应的数在数轴上的位置说明什么问题？（无理数π可以在数轴上表示）
演示二：
回顾：把两个边长为1的小正方形通过剪、拼，得到一个大正方形，由大正方形的面积为2可知其边长为，从而说明边长为1的小正方形的对角线长为．
（课件展示教材P54图8.3－2，和－在数轴上的位置．）
结合两个演示思考下面的问题：
（1）回顾有理数在数轴上的表示，π，与－在数轴上的对应位置说明什么问题？
（无理数也可以在数轴上表示出来）
结论：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一点都表示一个实数．
（2）通过上述探究，比较π，－，，0，1，2，3的大小，并说明如何比较实数的大小．
（－＜0＜1＜＜2＜3＜π，可以根据实数在数轴上的对应位置关系比较大小）
要点归纳：要点1：实数与数轴上的点是一一对应的．
要点2：与有理数规定的大小一样，数轴上右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大．
要点3：（1）正数大于零，负数小于零，正数大于负数；
（2）两个正数，绝对值大的数较大；
（3）两个负数，绝对值大的数反而小．　
在数轴上表示下列各点，比较它们的大小，并用“<”连接它们．
1，，－，π，－
解：各点在数轴的位置如图所示，由数轴可知：－＜－＜1＜＜π.
如图，数轴上A，B两点表示的数分别为－1和，点B关于点A的对称点为C，求点C所表示的实数．
解：∵数轴上A，B两点表示的数分别为－1和，∴点B到点A的距离为1＋，则点C到点A的距离为1＋.设点C表示的实数为x，则点A到点C的距离为－1－x，∴－1－x＝1＋.∴x＝－2－.
三、当堂检测
1．下列实数中，为无理数的是（C）
A．0.2 B． C． D．－5
2．下列各数：3.141 59，π，，0.131 131 113…，－，－，无理数有（B）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（其他课堂拓展题，见配套PPT）
四、课堂小结【板书设计】
实数
本课时通过回顾有理数及其分类，引入无理数的概念，通过将分数转化为小数，结合学生对这一典型无理数的认识，层层设问，让学生逐步了解无理数和实数的概念．通过演示课件形象地展示实数与数轴的一一对应关系，并通过这种对应关系比较实数的大小，使抽象问题具体化，这种方式对学习概念性质的知识点特别实用．

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