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第十一章 不等式与不等式组
11．3　一元一次不等式组
1．理解一元一次不等式组的概念，掌握一元一次不等式组的解法，体会迁移思想，培养类比推理能力．
2．会利用数轴表示一元一次不等式组的解集，进一步渗透数形结合思想，发展几何直观．
重点：一元一次不等式组的解法．
难点：用数轴表示一元一次不等式组的解集
一、导入新课
知识链接
1．二元一次方程组的概念．
（二元一次方程组是由两个含有相同未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程组成的一组方程）
2．在数轴上表示一元一次不等式解集的方法是什么？
（画数轴、定边界点、定方向）
创设情境
一个长方形足球场的宽为70 m，如果它的周长大于350 m，面积小于7 630 m2，求这个足球场的长的取值范围，并判断这个足球场是否可以进行国际足球比赛（注：用于国际足球比赛的足球场的长在100至110 m之间，宽在64至75 m之间）.
二、合作探究
探究点一：一元一次不等式组的概念
填一填：（1）如果设足球场的长为x m，那么它的周长就是2（x＋70）m，面积为70xm2.根据已知条件我们知道x的取值范围要使2（x＋70）＞350和70x<7 630这两个不等式同时成立．
（2）将（1）中得到的两个一元一次不等式用“”联立起来，便组成一元一次不等式组：
（3）参考二元一次方程组的概念给出一元一次不等式组的概念．
要点归纳：把含有相同未知数的几个一元一次不等式联立起来，就组成了一个一元一次不等式组．　
判一判：判断下列不等式组是否为一元一次不等式组：
（1）　　　（2）
（3） （4）
解：（1）不是　（2）是　（3）不是　（4）是
探究点二：解一元一次不等式组
分别解不等式2（x＋70）>350和70x<7 630，并把它们的解集在同一个数轴上面表示出来．
2（x＋70）>350，解得x>105.
70x<7 630，解得x<109.
问题1：上面两个不等式是否有公共部分？怎么表示公共部分的范围呢？（105问题2：什么叫一元一次不等式组的解集？
（一般地，几个不等式的解集的公共部分，叫作由它们所组成的不等式组的解集．解不等式组就是求它的解集）
解不等式组
解：解不等式①，得x≤3.
解不等式②，得x<—3.
把不等式①②的解集在数轴上表示出来，如图．
由图可知，不等式①、②的解集的公共部分就是x<－3，所以这个不等式组的解集是x<－3.
要点归纳：求解方法：先求出每个不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，最后利用数轴确定解集．
取解口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无处找．
　　
练一练
填表：
不等式组
不等式组 的解集 x>－3 －5探究点三：一元一次不等式组的应用
已知不等式组的解集为－1问题1：由①得x<，由②得，x>3＋2b．
问题2：方程组的解集应表示为3＋2b追问：3＋2b解：由不等式组得
因为不等式组的解集为－1所以解得
所以（a＋1）（b－1）＝2×（－3）＝－6.
若关于x的一元一次不等式组无解，则a的取值范围是A
A.a≥1 B．a＜－1
C．a≤1 D．a≤－1
解析：解第②个不等式得x＞a，解第①个不等式得x＜1.因为不等式组无解，所以a≥1，故选A.
三、当堂检测
1．下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（A）
A． B．
C. D．
2．不等式组的解集是（D）
A．x＜1 B．x≥3
C．1≤x＜3 D．1＜x≤3
3．在平面直角坐标系中，若点Q（m，－2m＋4）在第一象限，则m的取值范围是04．如果不等式组的解集是x≥1，那么m的取值情况是m＝1．
（其他课堂拓展题，见配套PPT）
四、课堂小结【板书设计】
解一元一次不等式组是建立在解一元一次不等式的基础之上，解不等式组时，先解每一个不等式，再确定各个不等式的解集的公共部分．教学中可以把利用数轴与利用口诀确定不等式组的解集结合起来，互相验证．第十一章 不等式与不等式组
数学活动5：用不等式解决实际问题和猜猜哪个数最大
1．学会应用不等式解决实际生活中的一些问题．
2．从生活到数学，从模型构建到问题解决，体会数学的工具性、应用性．
3．培养学生“用数学”的科学精神，培养模型观念、应用意识等核心素养．
4．猜数游戏与数学建模的关系，构造、迁移、运用，化特殊为一般，体会转化的数学思想．
重点：学会应用不等式解决实际生活中的实际问题，体会模型观念．
难点：从生活到数学，从模型构建到问题解决，体会数学的工具性、应用性．
一、导入新课
知识链接
绿地率和我们息息相关，你知道绿地率是怎么求的吗？我还经常遇到猜数游戏，要怎么猜的又快又好呢？这节课我们通过两个活动，进一步了解和体验不等式的应用．
创设情境——见配套课件
二、合作探究
探究点一：用不等式解决实际问题
情境1：统计资料表明，2019年某地区的城市建成区面积为986.35 km2，城市建成区园林绿地面积为314.32 km2，城市建成区绿地率为31.9%.2024年这个地区的城市建成区面积比2019年城市建成区面积增加了约208 km2，城市建成区绿地率超过了40%.
问题1：你能获得哪些信息？
（1）2019年城市建成区面积为986.35 km2；
（2）2019年城市建成区园林绿地面积为314.32 km2；
（3）城市建成区绿地率为31.9%；
（4）2024年这个地区的城市建成区面积比2019年城市建成区面积增加了约208 km2，城市建成区绿地率超过了40%.
问题2：根据以上资料，试用一元一次不等式解决下面的问题：
（1）这五年（2019～2024年），这个地区增加的城市建成区绿地面积超过了多少平方千米？
（2）分析其中的数量关系，你能列出相应的不等式吗？
解：设这个地区增加的城市建成区绿地面积为x km2，则依题意列出不等式：×100%＞40%，解得x＞163.42.
追问：通过报刊、图书、网络等再收集一些资料，分析其中的数量关系，编成问题，看一看能不能用不等式解决这些问题．
探究点二：猜猜哪个数最大
情境2：在数学游艺会上，小华负责一个游戏项目，她准备了50张同样的卡片，上面分别写有1，2，3，…，49，50.
游戏规则是：将卡片顺序打乱，参与者从中随机抽取五张，并将他们正面向下放置在桌面上，这五张卡片分别记为：A，B，C，D，E.小华依次将相邻两张卡片上的数的和告诉参与者，请参与者猜出哪张卡片上的数最大．
讨论1：下表是小明抽取的五张卡片中相邻两张卡片上的数的和．
卡片编号 A，B B，C C，D D，E E，A
两数的和 54 66 59 71 48
小明经过思考说出答案：“B卡片上的数字最大．”
小华说：“答对了！”
小明又说：“我还知道，如果按照卡片上的数从小到大的顺序来排列这些卡片，那么顺序是A，C，D，E，B.”
小华惊讶的说：“你说对了，你是怎么猜出来的？”
讨论2：试试和同学们一起玩这个游戏，想一想小明是用什么办法找到答案的？验证这个办法的准确性．
问题解答：∵A＋B＋C＋D＋E＝（54＋66＋59＋71＋48）÷2＝149，且A＋B＋C＋D＝54＋59＝113，∴E＝36.∵E＋A＝48，∴A＝12.∵A＋B＝54，∴B＝42.∵B＋C＝66，∴C＝24.∵C＋D＝59，∴D＝35.即A三、当堂检测
1．去年某市空气质量良好（二级以上）的天数与全年天数（365天）之比达到60%，如果明年（365天）这样的比值要超过70%，那么明年空气质量良好的天数要比去年至少增加多少天？
解：设明年空气质量良好的天数比去年增加x天，由题意得＞70%，解不等式得x＞36.5.又∵x为整数，∴x≥37.
答：明年空气质量良好的天数要比去年至少增加37天．
（其他课堂拓展题，见配套PPT）
四、课堂小结【板书设计】
1．应用不等式解决实际问题：准确确定数量关系→建立不等式→解不等式→确定符合实际问题的解．
2．猜数活动：培养学生的代数推理能力，在活动中学会推导和演算．
本节课通过实践不等式的应用活动，让学生对不等式的解法、不等式解决实际生活中的问题有了更深的理解，在教学过程中，教师引导学生对不等式问题进行探索、研究，提高了学生的思维能力和解决实际问题的能力．第十一章 不等式与不等式组
11.1.2　不等式的性质
1．通过活动探究和实例操作，经历观察、分析，理解并掌握不等式的性质，培养自主学习的习惯和观察推理能力．
2．会用不等式的基本性质解简单的不等式，培养学生的应用意识；在解题的过程中发展数感和运算能力，渗透数形结合思想．
3．理解“≤”“≥”的含义，并掌握它们与“<”“>”的区别．
4．掌握不等式的解集如何在数轴上表示以及能利用不等式解决简单的实际问题．
重点：不等式的性质，不等式性质的应用
难点：不等式的性质的应用
一、导入新课
知识链接
1．什么是不等式？
（一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫作不等式）
2．等式有哪些性质？
[等式两边加或减同一个数（或式子），乘或除以同一个数（除数不为0），结果仍相等……]
创设情境
小明和小丽在学习不等式之后对不等式提出了一些问题：（1）若a＞b，则有b＜a.
（2）若a＞b，b＞c，则有a＞b＞c.
请同学举例说明他们的说法是否正确？
因为5＞3，3＜5都成立，所以（1）正确；因为6＞4，4＞2，且6＞4＞2，所以（2）正确
要点归纳：交换不等式两边，不等号的方向改变：如果a＞b，那么b＜a.
不等关系可以传递：如果a＞b，b＞c，那么a＞b＞c.　
二、合作探究
探究点一：不等式的性质
活动1：用不等号填空：
（1）5>－3　　5＋2>－3＋2　　5－2>－3－2
（2）2<4 2＋1<4＋1 2－1<4－1
（3）水果店的小王从水果批发市场购进100 kg梨和84 kg苹果，在卖出a kg梨和a kg苹果后，又分别各购进了b kg的梨和苹果，请用“<”或“>”填空：
100－a>84－a　　100－a＋b>84－a＋b
问题1：观察上面的式子，你发现了什么规律？
[不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变]
活动2：用不等号填空：
（1）6>4　　　6×2＞4×2　　　6÷2>4÷2
（2）－4<－2 －4×2<－2×2 －4÷2<－2÷2
（3）已知苹果的价格是a元/kg，梨的价格是b元/kg，且a>b.小李各买了3 kg苹果和梨，则买哪种水果花钱较多？用不等号填空：3a>3b
（4）在某次知识抢答赛中，甲乙两队的总得分分别为a，b，其中a问题2：你发现了什么规律？
[不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变]
活动3：用不等号填空：
（1）6>4　　6×（－2）<4×（－2）
6÷（－2）<4÷（－2）
（2）－4<－2　　－4×（－2）>－2×（－2）
－4÷（－2）＞－2÷（－2）
问题3：类比问题2你能得出什么结论？
[不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变]
要点归纳：性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．即如果a>b，那么a±c>b±c.
性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．即如果a>b，c>0那么ac>bc或>.
性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．即如果a>b，c<0，那么ac探究点二：不等式的性质应用
活动1：一辆轿车在一条规定车速不低于60 km/h，且不高于100 km/h的高速公路上行驶，假设轿车的行驶速度为x km/h.
问题1：不低于，不高于是什么意思？用什么符号表示？
（“不低于”表示车速要保持在60 km/h或以上；“不高于”表示在100 km/h或以下．用“≥”“≤”表示）
问题2：用不等号表示情境中的不等关系．
（x≥60.x≤100）
追问：问题2中的“≥”“≤”与“>”“<”有什么区别？
（问题2中的“≥”“≤”表示不等式的范围包含边界值.）
活动2：（1）x－1＜－2；（2）x≤－1；（3）－2x≤6.
（1）根据不等式性质1，不等式两边都加上1，不等号的方向不变，得x＜－1．
这个不等式的解集在数轴上的表示，如图：
（2）根据不等式的性质2，不等式两边都乘以（或除以），不等号的方向不变，得x≤－．用数轴表示为：
（3）根据不等式的性质3，不等式两边同时乘以－（或除以－2，不等号的方向改变，得x≥－3．这个不等式的解集在数轴上的表示，如图：
要点归纳：①在数轴上，若边界点表示的数是不等式的解，则用实心圆点；若边界点表示的数不是不等式的解，则用空心圆．
②利用不等式的性质解不等式首先利用性质1移项并合并同类项，再利用性质2、3将未知数系数化为1即可求解．　
已知实数a，b满足a＋1>b＋1，则下列选项错误的是（D）
A．a>b B．a＋2>b＋2
C．a－3>b－3 D．2a>3b
已知m解：∵m－2n.∴－2m－1>－2n－1.
当x取何值时，代数式－x＋2的值大于或等于0. （B）
A．x＜6 B．x≤6 C．x＞6 D．x≥6
三、当堂检测
1．已知x＞y，则下列不等式成立的是（D）
A．x＋5＜y＋5 B．x－5＜y－5
C．＜ D．－5x＜－5y
2．如果a＜b，c＜0，那么下列不等式中不成立的是（B）
A．a＋c＜b＋c B．ac2＞bc2
C．ac＞bc D．ac＋1＞bc＋1
3．若x＞－2，则下列各式中错误的是（D）
A．3x＞－6 B．x＋9＞7
C．>－ D．－7x＞14
4．已知－x＜－y，用“＜”或“＞”填空：
（1）－2x＜－2y；
（2）2x＞2y；
（3）x＋1＞y＋1.
（其他课堂拓展题，见配套PPT）
四、课堂小结【板书设计】
不等式的性质
在学习不等式的性质时，可与等式的性质进行类比学习．在课堂中，让学生大胆质疑，同时通过易错例题加深学生对不等式的性质3的理解和认识．通过学习，还需要学生能独立把不等式的三条性质用数学符号表示出来．利用数轴表示不等式的解集，教学时要特别注意不同解集在数轴上表示的区别，这也是本节课中学生容易出错的地方．第十一章 不等式与不等式组
11.1.1　不等式及其解集
1．了解不等式及其解集的概念，能用不等式表示一些不等关系；理解不等式的解集，感受生活中存在大量的不等关系，提升符号感和数学建模能力．
2．通过独立思考，小组交流，探究用数轴表示不等式解集的方法和不等式在实际生活中的应用，体会数形结合的思想．
3．激情投入，善于发现问题和提出问题，感受学习数学的乐趣．
重点：不等式及不等式的解集．
难点：将自然语言转化为符号语言．
一、导入新课
知识链接
1．等式、方程的定义是什么？
（等式是指用“＝”表示相等关系的式子；方程是指含有未知数的等式，是表示两个数学式（如两个数、函数、量、运算）之间相等关系的一种等式）
2．数轴的定义是什么？数轴与实数有什么样的关系？
（数轴是指规定了原点、正方向和单位长度的直线；一一对应）
创设情境
小宏一家有四兄妹小宏、姐姐小新、哥哥小卡和弟弟小宋．爸爸给四兄妹派发零花钱，小宏得到5元，小新得到x元，比小宏多；小卡得到7元，和小新得到的零花钱不一样；小宋得到10元，小新比小宋少，你能用式子表示他们零花钱之间的大小关系吗？这节课我们来学习这些不等的数量关系的表示方法．
二、合作探究
探究点一：不等式的概念
问题1：怎么用式子表示上面的数量关系？
（“x>5”，“x≠7”，“x<10”）
问题2：像“x>5”，“x≠7”，“x<10”这样子的式子是等式吗？
（不是等式）
问题3：什么是不等式？不等式中是否必须有未知数？
（用不等符号表示不等关系的式子叫作不等式；不一定有未知数，如2＜3.）
要点归纳：像这样用符号“＜”或“＞”表示不等关系的式子，叫作不等式．像x≠7这样用符号“≠”表示不等关系的式子也是不等式．　
判断下列式子是不是不等式：
（1）－3<0；是　（2）4x＋3y<0；是
（3）x＝3；不是 （4）x2＋xy＋y2；不是
（5）x≠5；是　　（6）x＋2>y＋5.是
用不等式表示下列数量关系：
（1）x的5倍大于－7；5x>－7
（2）a与b的和的一半小于－1；<－1
（3）长、宽分别为x cm，y cm的长方形的面积小于边长为a cm的正方形的面积．xy探究点二：不等式的解与解集
问题情境：一辆匀速行驶的汽车在11：20距离A地50千米，要在12：00以前驶过A地，车速应该满足什么条件？
问题1：假设车速是x km/h，你可以列出不等式吗？（x>50）
问题2：判断下列数中哪些是不等式x>50的解．
x 60 73 74.9 75.1 76 79 80 90
是否为
x>50
的解 不是 不是 不是 是 是 是 是 是
问题3：你还能找出这个不等式的其他解吗？这个不等式有多少个解？
（能，例如x＝88，这个不等式有无数个解）
追问1：根据方程的解的概念给不等式的解下定义．
（不等式的解是指在含有未知数的不等式中，能够使不等式成立的未知数的值）
追问2：满足条件的x的值有何特点？解和解集有什么联系？
（满足条件的x的值都在x>75这个范围之内，解集是全体解的集合）
要点归纳：1.一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集．
2．求不等式的解集的过程叫作解不等式．　
下列不是不等式5x－3<6的一个解是B
A．1　　　　B．2　　　　C．－1　　　　D．－2
探究三：在数轴上表示不等式的解集
问题：如何在数轴上表示大于某数？x>2如何表示？
（用数轴表示不等式的解集的步骤：第一步：画数轴；第二步：定界点；第三步：定方向）
追问：“2”上的空心圆圈表示什么？
（此不等式的解集不包含临界点2）
在数轴上表示下列不等式
要点归纳：用数轴表示不等式的解集，应记住下面的规律：
1．大于向右画，小于向左画；
2．＞，＜画空心圆圈．　
三、当堂检测
1．下列各式：①－3＜0；②4x＋3y＞0；③x＝3；④x2＋xy＋y2；⑤x≠5；⑥x＋2＞y＋3.其中是不等式的有（B）
A．5个 B．4个 C．3个 D．1个
2．用数轴表示不等式x<2的解集正确的是（A）
3．下列说法中，错误的是（C）
A．不等式x＜2的正整数解只有一个
B．－2是不等式2x－1＜0的一个解
C．不等式－3x＞9的解集是x＞－3
D．不等式x＜10的整数解有无数个
4．用适当的不等式表示下列数量关系：
（1）x减去3大于10；
（2）x的3倍与5的差是负数；
（3）x的2倍与1的和是非负数；
（4）y的3倍与9的差不大于－1.
（1）由题意可得x－3＞10.
（2）由题意可得3x－5＜0.
（3）由题意可得2x＋1≥0.
（4）由题意可得3y－9≤－1.
（其他课堂拓展题，见配套PPT）
四、课堂小结【板书设计】
不等式及其解集
本节课在教学过程中应充分领会教材，注重知识的衔接，在教学中充分体现数形结合思想．在教学中充分体现学生的积极参与和合作交流，通过教师的引导让学生认识不等号，体会采用类比方程的解得到不等式解的定义，理解不等式解和解集的意义．在学生自主练习和交流质疑的过程中能及时发现学生的不同见解及思维误区，并及时进行纠正指导．第十一章 不等式与不等式组
综合与实践1：低碳生活
1．使学生理解低碳生活的概念，掌握基本的碳排放计算方法，能够运用数学知识解决实际问题．
2．培养学生收集数据、处理信息和解决问题的能力．
3．增强学生的环保意识，鼓励他们从日常生活做起，采取低碳行动，为减缓气候变化贡献自己的力量．
重点：低碳生活概念的理解与碳排放计算方法的掌握．
难点：如何将抽象的碳排放概念转化为具体的计算和应用．
一、导入新课
知识链接
我们知道全球气候变化、极端天气事件比如洪水、干旱，以及这些变化对人类生活造成了很大的影响．这些现象背后可能的原因是什么？作为个体，我们能做些什么来减缓气候变化？
创设情境——见配套课件
二、合作探究
探究点一：与二氧化碳有关的问题探究
问题情境：在我们生活的大气层中，二氧化碳虽然只约占大气体积的0.03%，但其对气温有较大的影响．
根据此信息，与大家讨论下列问题：
问题1：为什么二氧化碳这么少，却能影响气温呢？
（师生讨论，课件呈现答案）
问题2：二氧化碳是怎么让气温变高的？
（师生讨论，课件呈现答案）
问题3：除了二氧化碳，还有哪些东西也能影响气温？
（学生查阅资料，共同讨论回答问题）
问题4：我们日常生活中有哪些活动会增加大气中的二氧化碳？
我们日常生活中很多活动都会增加大气中的二氧化碳，比如开车、使用煤炭或天然气取暖、烧汽油等．这些活动都会排放出二氧化碳气体，从而增加大气中的二氧化碳含量．
问题5：减少大气中的二氧化碳，我们可以做些什么？
要减少大气中的二氧化碳，我们可以采取很多措施．比如，我们可以多走路或骑自行车代替开车，这样可以减少汽车尾气中的二氧化碳排放等等．
探究点二：计算生活中的“碳足迹”
每个人的日常消费都会产生二氧化碳（温室气体都可转化为二氧化碳当量计算）排放，积极倡导并实践“低碳”生活是我们每一个人的社会责任．
任务1：计算“碳足迹”．查阅、收集相关资料，计算你的家庭某月的“碳足迹”．
姓名 家庭人数
家庭某月“碳足迹”计算
序号 种类 某月消耗量 某月耗碳量/kg
1 家庭用电 kW·h
2 水 t
3 天然气 m3
4 液化气 kg
5 汽油、柴油 L
6 煤 kg
7 猪肉 kg
8 牛肉 kg
9 A4纸 张
10 塑料袋 个
11 中途飞机
（200～
1 000 km） 次
12 长途飞机
（1 000 km
以上） 次
… … … …
任务2：根据完成的任务1，你有哪些思考？请在组内分享交流．如果要通过植树中和你的家庭一年的碳排放量，请查阅相关资料并设计一种植树方案．
（师生讨论发言）.
探究点三：认识、分析我国“碳达峰”“碳中和”目标
问题情境：2020年我国碳排放强度（单位国内生产总值二氧化碳排放）比2005年下降48.4%，2020年，我国宣布自主贡献新目标举措：中国二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值，单位国内生产总值二氧化碳排放将比2005年下降65%以上，努力争取2060年前实现“碳中和”．
问题1：碳排放强度下降了多少？（48.4%）
问题2：2005年我国的碳排放强度是某个值，到2020年下降了48.4%.如果我们把2005年的碳排放强度看作是100%，那么2020年的碳排放强度是多少百分比？（51.6%）
问题3：何时达到碳排放峰值？（师生讨论）
问题4：GDP增长与碳排放的关系？（师生讨论）
三、当堂检测
1．针对目前碳排放问题，在生活中我们可以采取哪些措施来减少碳排放，与大家讨论并尝试指定方案.
（其他课堂拓展题，见配套PPT）
本节课通过情境导入、讲授新课和实践活动，引导学生理解了低碳生活的概念，掌握了碳排放计算方法，并通过小组合作设计低碳生活行动方案，培养了学生的环保意识和解决问题的能力，为学生的环保生活奠定了坚实的基础．第十一章 不等式与不等式组
11.2　第1课时　一元一次不等式的解法　
1．通过解决实际问题，理解一元一次不等式的概念，培养抽象概括能力，发展数学模型思想．
2．通过类比一元一次方程的解法，掌握一元一次不等式的解法，培养知识迁移能力，发展类比推理能力．
3．会利用数轴解一元一次不等式，并在数轴表示一元一次不等式解集，继续渗透数形结合思想，发展几何直观．
重点：解一元一次不等式的步骤，把解集表示在数轴上．
难点：正确运用不等式的性质3解一元一次不等式．
一、导入新课
知识链接
什么叫作一元一次方程？结合一元一次方程和不等式的定义思考并探究什么叫一元一次不等式．
（一元一次方程指只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式）
二、合作探究
探究点一：一元一次不等式的概念
某次知识竞赛中共有10道题，对于每一道题，答对了得10分，答错了或者不答扣5分，已知某同学答对了x道题，得了70分．
问题1：请写出情境中x所满足的关系式．
10x－5（10－x）＝70
问题2：这个关系式我们称之为什么？什么是一元一次方程？
（一元一次方程；只含有一个未知数，未知数的次数为1且两边都为整式的等式叫作一元一次方程）
追问：如果把某同学得了70分改成至少得70分，其他条件不变．你又能得出什么关系式？这个关系式叫什么？
10x－5（10－x）≥70.一元一次不等式
活动：请同学们观察下列不等式：①x－2<3；②＞1；③1－3（x＋1）>5；④x＋1≤2x.
问题1：上述不等式中各含有几个未知数？未知数的次数都是几次？不等号两边的式子有什么特点？
（含有一个未知数，且未知数次数是1的不等式，不等号两边的式子都是整式）
问题2：你能依据一元一次方程的概念说出什么叫一元一次不等式吗？
要点归纳：只含有一个未知数，且含未知数的式子都是整式，未知数的次数是1的不等式，叫作一元一次不等式．　
已知－x2a－1＋5>0是关于x的一元一次不等式，则a的值是1．
分析：根据一元一次不等式的概念有2a－1＝1，得a＝1.
下列不等式中，哪些是一元一次不等式？
（1）3x＋2＞x－1；√　　（2）5x＋3＜5；√
（3）＋3＜5x－1；× （4）x（x－1）＜2x.×
探究点二：解一元一次不等式
活动：你能否仿照解方程的步骤去解不等式？
解方程：
4x－1＝5x＋15.　　
解：移项，得
4x－5x＝15＋1.
合并同类项，得
－x＝16.
系数化为1，得
x＝－16.
问题1：解不等式移项是根据什么性质？不等号变不变？（性质1.不变）
问题2：解不等式系数化为1是根据什么性质？不等号变不变？
（不等式的性质2、3.是否变号视情况而定）
追问：你觉得解不等式在哪些地方容易出错？和同学讨论归纳一下．（符号问题、变号问题等）
思考：解方程和解不等式有何异同点？
（学生讨论，师生共同总结）
当y为何值时，式子的值不大于式子－的值？并求出满足条件的y的最大整数．
（答案见配套课件）
三、当堂检测　
1．下列不等式中，是一元一次不等式的是（D）
A.x0
C．>1 D．x－<0
2．不等式x＋1＞3的解集是（C）
A．x＞1 B．x＞－2
C．x＞2 D．x＜2
3．不等式2x＋1≤5的解集，在数轴上表示正确的是（C）
（其他课堂拓展题，见配套PPT）
四、课堂小结【板书设计】
在本课时对一元一次不等式的概念和解法的探究过程类比一元一次方程的概念和解法，归纳一元一次不等式和一元一次方程的异同点，培养迁移归纳的思想，加深对不等式解法的理解，特别是不等式性质3的应用，同时本节课对一元一次不等式解法上，着重讲解结合数轴观察不等式的解集，培养学生的数形结合思想，感受“形”在解题上的直觉．第十一章 不等式与不等式组
11.2　第2课时　一元一次不等式的应用
1．会在实际问题中寻找数量关系，并列出相应的一元一次不等式，加强抽象能力．养成用数学眼光观察的习惯，进一步渗透模型思想．
2．在利用一元一次不等式解决实际问题的过程中，体会解不等式过程中的化归思想与类比思想，学会分类讨论，培养发散性思维．
重点：一元一次不等式在实际问题中的应用．
难点：在实际问题中建立一元一次不等式的数量关系．
一、导入新课
创设情境
某学校期末需要表彰优秀学生，计划购买一些笔记本和证书，笔记本的单价为6元，证书的单价为0.4元．某文具用品商店给出两种优惠方案：
甲：买一个笔记本，赠送一张证书；
乙：购买200张证书以上，超过200张的证书按原价打八折，笔记本不打折．
学校准备购买80本笔记本，证书若干张（超过200张），请你判断哪种方案更合算，并说明理由．
探究点一：方案问题
问题1：题中还有什么未知量？怎么设未知数？
[设购买证书m（m>200）张]
问题2：怎么用含未知数的代数式表示甲、乙两个方案的费用？
选择方案甲所需费用为80×6＋0.4×（m－80）＝（0.4m＋448）（元）；
选择方案乙所需费用为80×6＋0.4×200＋0.4×0.8×（m－200）＝（0.32m＋496）（元）.
问题3：怎么比较两个方案费用的大小？
（师生共同讨论）
为了保护环境，某企业决定购买10台污水处理设备，现有A，B两种型号的设备，其中每台的价格，月处理污水量如下表，经预算，该企业购买设备的资金不高于105万元．
A型 B型
价格（万元/台） 12 10
处理污水量（吨/月） 240 200
（1）该企业有多少种购买方案？
（2）若该企业每月产生的污水量为2 040吨，为了节省资金，应该选择哪种购买方案？
（答案在课件中展示）
探究点二：销售问题
某商品的进价是120元，标价为180元，但销量较小，为了促销，商场决定打折销售，为了保证利润率不低于20%，那么最多可以打几折出售此商品？
分析：本题涉及的数量关系是什么？
（标价－进价≥进价×利润率）
解：设可以打x折出售此商品，由题意得
180×－120≥120×20%，解得x≥8.
答：最多可以打8折出售此商品．
探究点三：其他问题
某次知识竞赛中共有25道题，对于每一道题，答对了得4分，答错了或者不答扣2分，小明同学得分要超过80分，他至少要答对几道题？
解：设小明答对x道题，则他答错或不答的题数为（25－x）道．由题意得4x－2（25－x）＞80，
解得x＞21.
问题：x可以取21吗？为什么？x应该是多少？
（因为x应为整数而且不能超过25，所以小明至少要答对22道题）
有10名菜农，每人可种甲种蔬菜3亩或乙种蔬菜2亩，已知甲种蔬菜每亩可收入0.5万元，乙种蔬菜每亩可收入0.8万元，若要总收入不低于15.6万元，则最多只能安排多少人种甲种蔬菜？
解：设安排x人种甲种蔬菜，则种乙种蔬菜的为（10－x）人．
根据题意得0.5×3x＋0.8×2（10－x）≥15.6，
解得x≤4.
答：最多只能安排4人种甲种蔬菜．
要点归纳：与一元一次不等式相关的应用主要包括：分配问题、积分问题、比较问题、行程问题、车费问题、浓度问题、增减问题、销售问题等．不论解决哪一类型的问题都需要我们合理的设定未知数，找准问题中的不等关系，正确的列出不等式并求解．　
三、当堂检测
1．如图①，一个最大容量为500 cm3的杯子中装有200 cm3的水，将四颗相同的玻璃球放入这个杯中，结果水没有满，如图②.设每颗玻璃球的体积为x cm3，根据题意可列不等式为（A）
A.200＋4x＜500
B．200＋4x≤500
C．200＋4x＞500
D．200＋4x≥500
2．为了举行班级晚会，小明准备去商店购买20个乒乓球做道具，并买一些乒乓球拍做奖品．已知乒乓球每个1.5元，球拍每个22元．如果购买金额不超过200元，购买的球拍为x个，那么x的最大值是 （A）
A．7 B．8 C．9 D．10
3．小乐借到一本72页的图书，要在10天之内读完，开始2天每天只读5页，那么以后几天里每天至少要读多少页？设以后几天里每天要读x页，列出的不等式为2×5＋（10－2）x≥72．
4．小宏准备用100元钱买甲、乙两种饮料共18瓶，已知甲饮料每瓶7元，乙饮料每瓶4元，则小宏最多能买9瓶甲饮料．
（其他课堂拓展题，见配套PPT）
四、课堂小结【板书设计】
本节课通过实例引入，激发学生的学习兴趣，让学生积极参与，讲练结合，引导学生找不等关系列不等式．在教学过程中，可通过类比列一元一次方程解决实际问题的应用题来学习，让学生认识到列方程与列不等式的区别与联系．

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