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6.4.3　等量代换
教学目标 1.理解掌握利用等式性质进行等量代换求图形代表的数值的方法。 2.利用等式性质及几何知识，推导两角相等。 3.通过学习活动渗透多元方程及几何证明中的数学思想。
教学 重难点 1.利用等式性质进行等量代换。 2.利用等式性质进行几何证明。
教学准备 整理的相关信息
目标落实 教师活动 学生活动 二次备课
在教学之前让学生通过回顾旧知掌握好等式的性质，为后面的等量代换及几何证明提供理论依据。 一、情境导入 1.同学们，你们还记得“曹冲称象”的故事吗？ 2.曹冲称象运用了一种非常巧妙的数学方法，你知道是什么吗？ 3.什么是等量代换呢？我们一起来看个视频。（播放课件） 在古代要一次称出大象的体重是有困难的，曹冲想到了用同等重量的石头来代替大象，把称大象转换成称石头，称出石头的重量，也就是大象的重量，这样的方法就是“等量代换”。 一、发现问题 预设1：学生讲述“曹冲称象”的故事。 预设2：等量代换。 预设3：相等的物品进行替换，就是等量代换。
曹冲称象的故事之所以传颂千年，就是因为他能够运用巧妙的数学方法来解决难题。这节课我们继续学习“数学思考”，一起来体会数学方法的无穷魅力。 【板书课题】
渗透“化难为易”的数学思想方法，能运用一定的规律解决较复杂的数学问题，进一步积累解决问题的经验。提高学生归纳推理，探索规律的能力。 二、引导合作 1.出示例题3（1）：△、□、○、☆、◎、各代表一个数。已知△+□=24，△=□+□+□。求△和□的值。 （1）请同学们先读题，看看从题中你能获得哪些数学信息？ （2）独立思考，小组内讨论，尝试解决。 根据这些信息，你能推算出△和□的值吗？ （3）请学生交流汇报。 （4）小结。 刚才通过等量代换我们把含有两个未知数的等式转化成了只含有一个未知数的等式，再通过等式的性质求出了△和□的值。 2.出示第101页例题3（2）。 已知○+☆=160，◎+☆=160。○是否等于◎？ （1）先读题，从题中你发现了什么？ （2）你觉得○和◎相等吗？相信很多同学都感觉出○和◎是相等的，可为什么会相等，你能说清其中的道理吗？ （3）小结。运用等量代换和等式的性质帮助我们解决了数学问题，运用这些方法还能对许多问题做出判断，我们继续来感受一下。 3.出示第101页例4。 （1）同学们，你们知道什么是平角？它是多少度？ （2）平角和直线有什么区别？ （3） 有两条直线相交于点O，如图，形成了4个角，分别是∠1、∠2、∠3和∠4。 ①每相邻的两个角可以组成一个平角，一共能组成几个平角？ ②根据这些信息，你能推理出∠1=∠3吗？ 同学们拿出草稿本想一想，做一做，重点是把推理的过程写清楚。 二、探究问题 1.活动一： 学生读题。 预设：从题中我们知道了有5种图形，每一种图形各代表了一个数，一个△和一个□相加的和是24，一个△等于三个□的和。要求△和□各代表什么数？ 在△+□=24这个等式中，包含了两个未知数，我们无法确定这两个未知数的值。要是能转化成只有一个未知数的等式就好了。 1个△等于3个□的和，我们可以用等量代换的方法，把1个△代换成3个□的和。那就得到了一个新的等式：□+□+□+□=24。 4个□相加等于24，可以简便的写成4×□=24，然后再根据等式的性质，等式两边同时除以4，得到□=6，这样就求出了□的值是6。 一个□等于6，一个△等于3个□相加，所以△=□+□+□的值也就是3个6相加，算出△的值是18。 2.活动二： 学生读题并思考。 预设：我们发现两个等式里都有☆，且两个等式的两边都等于160。 两个等式里都有☆，可以利用等式的性质——等式两边同时减去☆，那可以推出○=160-☆，◎=160-☆。因为☆代表的是同一个数，那这两个160-☆算出的值也必然相等，所以○和◎是相等的。 3.活动三： 预设1：当角的两边张开的夹角是180°的时候，这个角就是平角。 预设2：直线是一条直直的线，平角是一个角，它是由一点引出的两条射线组成的图形，它的两条边的位置在同一条直线上，但并不是说平角就是一条直线。 预设3：平角的两边是在一条直线上的，而∠1和∠2合起来的角两条边正好在一条直线上，说明∠1和∠2组成了一个平角。同样的道理∠2和∠3，∠3和∠4，∠4和∠1也能分别组成平角，一共能组成4个平角。 　因为∠1和∠2，∠2和∠3都能组成平角，那我们可以得到∠1+∠2=180°，∠2+∠3=180°。两个等式中都有∠2，根据等式的性质，两个等式的两边都减去∠2，可以得到∠1=180°-∠2；∠3=180°-∠2。因为180°-∠2=180°-∠2，所以∠1=∠3。
通过相应练习，培养学生归纳、推理、探索规律的能力。 三、辅导练习 1.基础练习 （1）△=□+□+□，□=○+○+○+○，△=（　　）个○； （2）△+□=240，△=□+□+□，□=（　　），△=（　　）。 三、解决问题 1.基础练习 （1）1个△=12个○，我们可以用等量代换的方法，1个□是4个○相加，把前面这个等式里的□替换成○，3个□就是3个4相加等于12个○，所以1个△=12个○。 （2）□=60，△=180。同样是用等量代换的方法，把前面这个等式里的△代换成3个□，加上原有的一个□，一共4个□=240，两边同时除以4，240÷4=60，所以□=60，△等于三个□的和，也就是3个60的和等于180。
逐步形成知识网络，掌握一定的数学方法、数学思想，进一步发展学生的推理意识。 2.变式练习 课本103页第8题。 ○、□、△各代表一个数，根据下面的已知条件，求○、□、△的值。 （1）○+□=91 △+□=63 △+○=46 （2）□-○=8 □+○=12 △=□+□+○ 2.变式练习 （1）把三个等式的两边分别相加 ○+□+△+□+△+○=91+63+46 2×○+2×□+2×△=200 运用乘法分配率写成， 2（○+□+△）=200 两边再同时除以2， 得○+□+△=100。 因为○+□=91，所以△=100-91=9；因为△+□=63，所以○=100-63=37； 算出了△和○，直接用100-9-37=54就是□的值。 （2）从前面的两个等式中发现两个等式中都有□和○，如果能求出□和○的值，那就能求出△的值了。同样我们把前两个等式的左右两边分别相加□-○+□+○=8+12，得出2×□=20；等式两边同时除以2，得到1个□=10。把□的值代入第二个等式，因为□+○=12，得到○=2。把这两个值分别代入第三个等式，得到△=□+□+○=10+10+2=22。
3.提升练习 如图，把三角形ABC的边BC延长到点D。 （1）∠3和∠4拼成的是什么角？ （2）你能说明∠1+∠2=∠4吗？ 3.提升练习 （1）∠3和∠4拼成的角，角的两边在一条直线上，所以能判断出拼成的角是平角。 （2）因为∠3和∠4拼成的是平角，所以可以得到∠3+∠4=180°；从图中可以知道∠1、∠2、∠3是三角形ABC的内角，根据三角形的内角和是180°，可以得到∠1+∠2+∠3=180°，由于∠3+∠4=180°和∠1+∠2+∠3=180°，这两个等式中都有∠3，可以运用等式的性质，在两个等式的两边同时减去∠3，可以得到∠4=180°-∠3，∠1+∠2=180°-∠3。因为180°-∠3=180°-∠3，所以∠1+∠2=∠4。
对本节课的相关知识和方法进行归纳汇总和巩固。 四、引导反思 同学们，通过今天的学习让我们进一步体会到了数学思想方法在解决问题中的作用和价值。通过这节课的学习，你收获了什么？ 四、提升问题 预设：学会了运用等式的性质进行等量代换和几何证明
板书设计 等量代换 △+□=24，△=□+□+□ □+□+□+□=24 □=6，△=18
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