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/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科
7_1_2 两条直线垂直
【2025春人教新版七下数学精彩课堂（素材+教案）】
创设学习场景　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
实际情境置疑探究归纳探究复习探究类比探究悬念激趣
复习探究　如图7-1-22,观察图形并填空:
图7-1-22
(1)如图①所示,直线AB与直线CD相交于点O,其中对顶角有　2　对,分别为　∠AOD和∠BOC,∠AOC和∠BOD　;邻补角有　4　对,分别为　∠AOD和∠AOC,∠AOC和∠BOC,∠BOC和∠BOD,∠AOD和∠BOD　.
(2)图①中,当直线AB绕点O逆时针旋转到∠AOC=90°时(如图②),你能求出其他角的度数吗 此图形有什么特点 此时这两条直线有什么位置关系
[教学提示] 这节课所学习的两条直线垂直是在上节学习两条直线相交知识的基础上进行的,垂直是相交的一种特殊情形.通过对两条直线相交的复习引出本课内容,体现由一般到特殊的认识过程.通过学生画图、旋转相交线模型等方式形象直观地展现两条直线相交的特殊情况,通过对特殊情况的分析,归纳出垂线的概念及特征.
质量评价角度　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　【评价角度1】 利用三角尺画已知直线(线段、射线)的垂线
　　例　如图7-1-23,∠ABC为钝角.
(1)过点C画AB的垂线;
(2)过点B画AC的垂线;
(3)过点A画BC的垂线段.
图7-1-23
图7-1-24
解:(1)(2)(3)如图7-1-24所示.
　　【评价角度2】 考查垂线的唯一性
例　下列说法正确的有 (B)
①在同一平面内,过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线;
②在同一平面内,过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线;
③在同一平面内,过一点可以任意画一条直线垂直于已知直线;
④在同一平面内,有且只有一条直线垂直于已知直线.
A.1个　　　　　　　　B.2个　　　　　　　　C.3个　　　　　　　　D.4个
　　[解析] 根据垂线的确定性和唯一性可知①②是正确的.故选B.
【评价角度3】 点到直线的距离的应用
例　如图7-1-25,要把水渠中的水引到水池C中,在渠岸的什么地方开沟,水沟的长度才能最短 请把图画出来,并说明理由.
图7-1-25
图7-1-26
解:如图7-1-26,过点C画水渠的垂线段CD,D为垂足,即在渠岸的D处开沟,水沟的长度才能最短.理由:垂线段最短.
【评价角度4】 利用垂线的定义求角的度数
方法指引:已知两条直线垂直,根据垂直的定义可得一个或几个角是90°,再根据对顶角相等、邻补角互补、角平分线的定义及余角、补角的性质等,可求出其他相关的角的度数.
例1　如图7-1-27,点O在直线AB上,OC⊥OD.若∠AOC=120°,则∠BOD的度数为 (A)
A.30° B.40° C.50° D.60°
例2　如图7-1-28,直线AB,CD相交于点O,OE⊥CD,垂足为O.若∠BOE=40°,则∠AOC的度数为 (B)
A.40° B.50° C.60° D.140°
　图7-1-27
图7-1-28
图7-1-29
例3　已知:如图7-1-29所示,直线AB,CD,EF相交于点O,OG平分∠BOF,且CD⊥EF,∠AOE=70°,求∠DOG的度数.
[答案:∠DOG=55°]
例4　如图7-1-30,直线BC与MN相交于点O,AO⊥BC,OE平分∠BON.若∠EON=21°,求∠AOM的度数.
[答案:∠AOM=48°]
图7-1-30
图7-1-31
例5　如图7-1-31,直线AB,CD,EF相交于点O,EF⊥AB,OG,OH分别为∠COF,∠DOG的平分线.若∠AOC∶∠COG=4∶7,求∠DOF,∠DOH的度数.
[答案:∠DOF=110°,∠DOH=72.5°]
【评价角度5】 利用垂直的定义判定两条直线垂直
方法指引:如果两条直线相交所成的四个角中有一个角等于90°,那么这两条直线互相垂直.依据是垂直的定义.因此,要判定两条直线垂直,常用方法是:设法推理或求出其中一个夹角是90°.
图7-1-32
例　如图7-1-32,直线AB,CD相交于点O,OA平分∠EOC.
(1)若∠EOC=72°,求∠BOD的度数;
(2)若∠DOE=2∠AOC,判断射线OE与OD的位置关系,并说明理由.
[答案:(1)∠BOD=36°　(2)OE⊥OD　理由略]
7.1.2　两条直线垂直
教学过程设计　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
课题 7.1.2　两条直线垂直 授课人
学习 目标 1.认识生活中的垂直现象,理解垂直的定义,并能用符号表示. 2.掌握垂线的基本事实,会过一点画已知直线的垂线. 3.掌握垂线段最短与点到直线的距离.
学习 重点 　　垂直的定义;垂线的画法;垂线的基本事实:在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;垂线的性质:垂线段最短.
学习 难点 　　垂线的画法;对点到直线的距离的概念的理解.
教学活动
教学 步骤 师生活动 设计意图
活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 　　问题1:如图7-1-33. (1)∠AOC的对顶角是　∠BOD　,这两个角的数量关系是　相等　. (2)∠AOC的邻补角有　两　个,分别是　∠BOC和∠AOD　. 图7-1-33 　图7-1-34 问题2:如图7-1-34所示,当∠AOC=90°时,∠BOD=　90°　,∠AOD=　90°　,∠BOC=　90°　. 　　通过复习两条直线相交所成的角,为理解垂直的定义做认知准备.
活动 二: 探究 与 应用 【探究1】 垂直的定义 1.垂直的定义. 图7-1-35 (1)如图7-1-35,取两根木条a,b,将它们钉在一起,固定木条a,转动木条b,当木条b转到什么位置时,这两根木条互相垂直 (2)转动木条b时,它和不动的木条a互相垂直的位置有几个 (3)当a,b相交所成的四个角中,有一个角是直角时,其他三个角的度数分别是多少 通过模型展示及学生交流,使学生明白:当b的位置变化时,∠α从锐角变为钝角,其中∠α是直角是特殊情况.其特殊之处还在于:当∠α是直角时,它的邻补角、对顶角都是直角,即直线a,b相交所成的四个角都是直角,都相等. 引导学生概括垂直的定义:当两条直线a,b相交所成的四个角中,有一个角是直角时,我们说a与b互相垂直,记作“a⊥b”.两条直线互相垂直,其中的一条直线叫作另一条直线的垂线,它们的交点叫作垂足.
(续表)
活动 二: 探究 与 应用 辨析:“互相垂直”与“垂线”的异同:“互相垂直”是指两条直线的位置关系;“垂线”是指在“互相垂直”的前提下,其中一条直线相对于另一条直线的名称.二者都是针对两条直线而言的,单独一条直线不能称为“垂直”或“垂线”. 2.垂直的概念. 利用相交线模型引入两条直线互相垂直的概念. 如图7-1-36②所示,若AB和CD相交,且∠1=90°,则直线AB和CD互相垂直,记作“AB⊥CD”,读作“AB垂直于CD”.若垂足是O,则记作“AB⊥CD,垂足为O”.一般地,垂直在图中用“┐”表示,在推理计算的过程中用“⊥”表示. 图7-1-36 根据两条直线互相垂直的定义可知:若两条直线互相垂直,则相交所成的四个角为直角;反之,若两条直线相交所成的四个角中有一个角等于90°,则这两条直线互相垂直. 如图7-1-36②所示,这个推理过程可以写成: 因为∠AOC=90°(已知),所以AB⊥CD(垂直的定义); 反之,因为AB⊥CD(已知), 所以∠AOC=∠COB=∠BOD=∠AOD=90°(垂直的定义). 【应用举例】 图7-1-37 例1　如图7-1-37,CO⊥AB于点O,∠AOE=∠COF,则射线OE与OF有什么位置关系 请说明理由. 解:射线OE与OF互相垂直.理由如下: 因为CO⊥AB, 所以∠AOC=90°(垂直的定义), 所以∠AOE+∠COE=90°. 又因为∠AOE=∠COF, 所以∠COF+∠COE=90°, 即∠EOF=90°, 所以OE与OF互相垂直(垂直的定义). 例2　如图7-1-38,点O在直线BD上,OC⊥OA,则∠1和∠2的数量关系是　互余(或∠1+∠2=90°)　. 图7-1-38 图7-1-39 变式　如图7-1-39,直线AB,CD相交于点O,EO⊥AB,∠1=20°,则∠2的度数是 (C) A.40°　　　　B.60°　　　　C.70°　　　　D.80° 　　通过探究,让学生独立思考,动手操作,经历探索过程,发现结论.培养学生归纳探究的能力及逻辑推理能力. 　　
(续表)
活动 二: 探究 与 应用 【探究2】 垂线的画法及基本事实 利用三角尺或量角器可以过一点画已知直线的垂线.下面我们来学习垂线的画法. 问题: 1.用三角尺或量角器画已知直线l的垂线,这样的垂线能画出几条 2.经过直线l上一点A画l的垂线,这样的垂线能画出几条 3.经过直线l外一点B画l的垂线,这样的垂线能画出几条 画法点拨:过一点画已知直线的垂线,可以用三角尺来画,具体步骤如下: (1)落:让三角尺的一条直角边落在已知直线上; (2)移:沿直线移动三角尺,使三角尺的另一条直角边经过已知点; (3)画:沿三角尺过已知点的那条直角边画直线,则这条直线就是经过这个点的已知直线的垂线. 如图7-1-40所示,图①是点在直线l上,图②是点在直线l外. 图7-1-40 总结:可以发现,经过一点(在已知直线上或直线外),能画出已知直线的一条垂线,并且只能画出一条垂线.由此得到关于垂线的基本事实: 在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 【应用举例】 例3　如图7-1-41,过点P画出射线AB或线段AB的垂线. 图7-1-41 解:如图7-1-42所示. 图7-1-42 变式　如图7-1-43,点O在直线a上,若OA⊥a于点O,OB⊥a于点O,则直线OA,OB是同一条直线,根据是　在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直　. 图7-1-43 引导学生总结过一点画已知直线的垂线的一般方法. 通过例题,让学生学会画线段的垂线.
(续表)
活动 二: 探究 与 应用 【探究3】 垂线的性质 思考:如图7-1-44,在灌溉时,要把河中的水引到农田P处,如何挖掘能使渠道最短 图7-1-44 将这个实际问题转化成数学问题: 如图7-1-45,P是直线l外一点,PO⊥l,垂足为O,我们称PO为点P到直线l的垂线段.A是直线l上除点O外一点,连接PA.测量并比较线段PO与PA的长度,你能得到什么结论 改变点A的位置呢 　图7-1-45 你也可以利用信息技术工具,在直线l上拖动点A,改变点A的位置,探究PO与PA的长度关系. 可以发现:连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短. 简单说成:垂线段最短. 直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫作点到直线的距离. 注意:垂线是直线;垂线段是一条线段;点到直线的距离是指垂线段的长度,它是一个数量. 对于图7-1-44,现在你知道如何挖渠能使渠道最短了吗 【应用举例】 例4　如图7-1-46所示,在三角形ABC中,AB⊥BC,其中AC=2.5,AB=1,P是边BC上的任意一点,那么线段AP的长度可能为 (C) 图7-1-46 A.0.5　　　　B.0.7　　　　C.1.5　　　　D.4 [解析] 因为点P在边BC上运动,且AB⊥BC,根据“垂线段最短”可知线段BC上所有点中,与点A的最近距离为线段AB的长,即1,最远距离为线段AC的长,即2.5,故1≤AP≤2.5,所以满足条件的选项为C.故选C. 　　培养学生的画图能力、说理能力以及思考问题的严谨性.
(续表)
活动 二: 探究 与 应用 【拓展提升】 例5　如图7-1-47,平原上有A,B,C,D四个村庄,为解决当地缺水问题,政府准备投资修建一个蓄水池. (1)不考虑其他因素,请你画图确定蓄水池H的位置,使它到四个村庄的距离之和最小; (2)计划把河水引入蓄水池H中,怎样开渠最短 请说明根据. 图7-1-47 图7-1-48 解:(1)如图7-1-48,连接AD,BC,交于点H,则点H即为蓄水池的位置. (2)如图7-1-48,过点H作HG⊥EF,垂足为G,则沿HG开渠最短. 根据:垂线段最短. 　　让学生运用垂线段最短的性质解决生活中的实际问题,让他们感受到数学来源于生活,从而增加他们学习数学的兴趣.
活动 三: 课堂 总结 反思 【小结】 垂线 　　框架图式总结,更容易形成知识网络.
【当堂训练】 1.有下列四种说法: (1)两条直线相交所成的四个角都相等时,这两条直线互相垂直; (2)在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直; (3)直线的垂线和该直线上的任一线段垂直; (4)直线外一点到这条直线的垂线段,叫作点到直线的距离. 其中说法正确的有 (C) A.1个　　　　B.2个　　　　C.3个　　　　D.4个 2.如图7-1-49所示,已知点O在直线AB上,CO⊥DO于点O,若∠1=145°,则∠2的度数为 (C) A.35° B.45° C.55° D.65° 图7-1-49 图7-1-50 3.如图7-1-50,已知O为直线AB上一点,OP⊥CD于点P,则线段OP的长是点　O　到直线　CD　的距离.
(续表)
活动 三: 课堂 总结 反思 4.如图7-1-51,分别过点P画直线AB,CD的垂线,并量出点P到直线AB的距离. 图7-1-51 5.如图7-1-52,在三角形ABC中,∠C=90°. (1)分别指出点A到直线CB,点B到直线AC的距离是哪些线段的长度; (2)三条边AB,AC,CB中哪条边最长 为什么 图7-1-52 解:(1)点A到直线CB的距离是线段AC的长;点B到直线AC的距离是线段BC的长. (2)边AB最长.理由:因为A是线段BC外一点,根据垂线段最短可知AB>AC.同理,可知AB>BC,所以边AB最长. 　　通过练习,进一步巩固所学垂线的概念及性质,且能使教师及时掌握本课教学效果,为后续教学的安排提供依据.
【教学反思】 ①[授课流程反思] 复习导入,温故知新,图形简单,问题直接,新旧联系较紧密,过渡自然,也能使学生的注意力时刻集中在要学习的知识上,不分散. ②[讲授效果反思] 本节采用“引导发现”法鼓励学生自己去发现、分析、解决问题,使学生在自己动手的基础上,发现垂线的性质,又借助于教具、实物、图形,从直观的感性认识发现抽象的概念,使他们成为探求知识的主体,同时还利用边讲边练的教法让学生对新知加以巩固理解.通过变式训练习题、开放性习题,帮助学生逐步树立转化的思想和发展性思维.在授课过程中努力遵循由学生置疑——感知——概括——应用的过程,通过学生积极参与、积极思维,使学生从被动的学习转化到主动探索和发现的学习,使学生感受到学习与探索的乐趣. ③[师生互动反思] ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 　　 　　　　　 错题题号　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 　　　　　 　　回顾反思,找出差距与不足,形成知识及教学体系,更进一步提升教师教学能力.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

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