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第一章 整式的乘除
2 整式的乘法
第2课时 多项式的乘法
※教学目标※
1.能根据乘法分配律和单项式与单项式相乘的法则探究单项式与多项式相乘的法则。
2.掌握单项式与多项式相乘的法则并会运用。(重点，难点)
3.经历探索多项式乘法法则的过程，理解多项式乘法的法则，并会进行多项式乘法的运算。(重点，难点)
4.进一步体会乘法分配律的作用和转化的思想，发展有条理地思考和语言表达能力。
　　　
※教学过程※
一、新课导入
[情境导入]宁宁作了一幅画，所用纸的大小如图所示，她在纸的左、右两边各留了x m的空白，这幅画的画面面积是多少？
法一：先表示出画面的长和宽，由此得到画面的面积为x(nx-x)㎡；
法二：先求出纸的面积，再减去两块空白处的面积，由此得到画面的面积为(nx2-x2)㎡.
思考：上面问题的两种方法得到的答案不一样，由此你可以得到什么？
x(nx-x)= nx2-x2
二、新知探究
（一）单项式与多项式相乘
[合作探究](1)ab·(abc+2x)及c2(m+n-p)等于什么 你是怎样计算的
ab·(abc+2x)
=ab·abc+ab·2x 根据（乘法分配律)
=(a·a)(b·b)c+ 2abx=a2b2c+ 2abx 根据（同底数幂的乘法性质)
c2(m+n-p)=c2·m+cn-c2·p=c2m+c2n-c2p
(2)如何进行单项式与多项式相乘的运算
[归纳总结]单项式与多项式的乘法法则：
单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
注意：（1）依据是乘法分配律；
（2）结果的项数与原多项式的项数相同。
[典型例题]例1 计算：(1)(ab2－2ab)·ab；　(2)－2x·(x2y＋3y－1)。
解：(1)原式＝ab2·ab－2ab·ab＝a2b3－a2b2。
(2)原式＝－2x·x2y＋(－2x)·3y＋(－2x)·(－1)＝－x3y－6xy＋2x。
[方法总结]单项式乘多项式，单项式要乘多项式的每一项；注意符号变化和运算顺序。
[针对练习]1.计算：（1）(－2ab)2·(3a＋2b－1)；
（2）2x(x2－3x＋3)－x2(2x－1)；
（3）(3x2＋y－y2)·(－xy)3。
解：（1）原式＝12a3b2＋8a2b3－4a2b2.
（2）原式＝－5x2＋6x.
（3）原式＝－x5y3－x3y4＋x3y5.
[典型例题]例2 一条防洪堤坝，其横断面是梯形，上底宽a米，下底宽(a＋2b)米，坝高a米。
(1)求防洪堤坝的横断面面积；
(2)如果防洪堤坝长100米，那么这段防洪堤坝的体积是多少立方米？
解：(1)防洪堤坝的横断面面积S＝[a＋(a＋2b)]×a＝a(2a＋2b)＝(a2＋ab)(平方米)。故防洪堤坝的横断面面积为(a2＋ab)平方米。
(2)堤坝的体积V＝Sl＝(a2＋ab)×100＝50a2＋50ab(立方米)。故这段防洪堤坝的体积是(50a2＋50ab)立方米。
[针对练习]1.一个长方体的长、宽、高分别是3x－4，2x和x，则它的表面积是__22x2－24x__。
2.已知一个直角三角形的两条直角边长分别为2ab和(a＋b)，则这个三角形的面积是__a2b＋ab2__。
3.先化简，再求值：5a(2a2－5a＋3)－2a2(5a＋5)＋7a2，其中a＝2。
解：原式＝10a3－25a2＋15a－10a3－10a2＋7a2
＝－28a2＋15a，
当a＝2时，原式＝－82。
（二）多项式与多项式相乘
[提出问题]某地区在退耕还林期间，将一块长为m 、宽为a 的长方形林区的长、宽分别增加n 和b ，用两种方法表示这块林区现在的面积。
解：由图可知林区面积可表示为(a＋b)(m＋n)，也可以表示成ma＋mb＋na ＋nb，由此可得(m＋n)(a＋b)＝ma＋mb＋na＋nb。
这就是我们将学习的多项式乘多项式。
[合作探究]如何计算(m＋a)(n＋b)，你能找到一种方法吗：
解：设m＋a＝A，则(m＋a)(n＋b)
＝A(n＋b)
＝An＋Ab
＝(m＋a)n＋(m＋a)b
＝mn＋an＋mb＋ab。
[归纳总结]
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
特别解读：
1. 多项式乘多项式法则的实质是将多项式与多项式相乘转化为几个单项式相乘的和的形式。
2. 多项式与多项式相乘的结果仍为多项式，在合并同类项之前，积的项数应该是两个多项式的项数之积。
3. 计算结果一定要注意合并同类项。
[典型例题]例3 计算：(1)(3x＋2)(x＋2)； (2)(4y－1)(5－y)。
解：(1)原式＝3x2＋6x＋2x＋4＝3x2＋8x＋4。
(2)原式＝20y－4y2－5＋y＝－4y2＋21y－5。
[方法总结]多项式乘以多项式，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积。
[典型例题]例4 先化简，再求值：(a－2b)(a2＋2ab＋4b2)－a(a－5b)(a＋3b)，其中a＝－1，b＝1。
解：(a－2b)(a2＋2ab＋4b2)－a(a－5b)(a＋3b)
＝a3－8b3－(a2－5ab)(a＋3b)
＝a3－8b3－a3－3a2b＋5a2b＋15ab2
＝－8b3＋2a2b＋15ab2。
当a＝－1，b＝1时，原式＝－8＋2－15＝－21。
[方法总结]化简求值是整式运算中常见的题型，一定要注意先化简，再求值，不能先代值，再计算。
[典型例题]例5 千年古镇杨家滩的某小区的内部有一块长为(3a＋b)米，宽为(2a＋b)米的长方形空地，物业部门计划将空地进行绿化(如图阴影部分)，中间部分将修建一仿古小景点(如图中间的正方形)，则绿化的面积是多少平方米？并求出当a＝3，b＝2时的绿化面积。
解：由题意，得(3a＋b)(2a＋b)－(a＋b)2
＝6a2＋5ab＋b2－a2－2ab－b2
＝（5a2＋3ab）(平方米)。
当a＝3，b＝2时，
5a2＋3ab＝5×32＋3×3×2＝63(平方米)。
故绿化的面积是63平方米。
三、课堂小结
1.单项式与多项式的乘法法则：单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
2.多项式与多项式的乘法法则：多项式和多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
四、课堂训练
1.下列说法不正确的是（ D ）
A.两个单项式的积仍是单项式
B.两个单项式的积的次数等于它们的次数之和
C.单项式乘以多项式，积的项数与多项式项数相同
D.多项式乘以多项式，合并同类项前，积的项数等于两个多项式的项数之和
2.下列多项式相乘的结果是a2-a-6的是（ B ）
A.（a-2）（a+3） B.（a+2）（a-3） C.（a-6）（a+1） D.（a+6）（a-1）
3.计算：(1)(3x＋4)(2x－1)；　
解：（1）原式＝6x2＋5x－4。　
(2x－3y)(x＋5y)；
解：原式＝2x2＋7xy－15y2。
(3)(x＋7)(x－6)－(x－2)(x＋1)。
解：原式＝x2－6x＋7x－42－(x2＋x－2x－2)
＝2x－40。
4.先化简，再求值：3a(2a2 - 4a + 3) - 2a2(3a + 4)，其中a = -2。
解：3a(2a2 - 4a + 3) - 2a2(3a + 4)
= 6a3 - 12a2 + 9a - 6a3 - 8a2
= -20a2 + 9a。
当 a = -2 时，原式= -20×(－2)2 + 9×(－2) = -98。
5.如图，在长为10，宽为6的长方形铁皮四角截去四个边长为x的正方形、再将四边沿虚线折起，制成一个无盖的长方体盒子，求盒子的体积。
解：(10－2x)(6－2x)x＝4x3－32x2＋60x。
※教学反思※
本节课在已学过的单项式与单项式相乘的基础上，继续学习单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘的法则。这一板块的知识前后衔接紧密、环环相扣,因此采用了先回顾，再呈现问题情境的引入方法实现“温故知新”。但是在教学过程中，我们不应仅仅让学生感受知识需要“温故知新”，更应该让他们体会到解决这些“新”都是用了同样的数学思想方法——转化。整式的乘法中这三个法则的探索在难度上是逐渐深入的，在方法和思路上却又是统一的，通过学习让学生体会：当他们遇到新问题时，可以效仿之前用到的数学思想方法来解决，从而真正掌握数学学习方法，提高数学学习能力。

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