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第一章 整式的乘除
3 乘法公式
第1课时 平方差公式的认识
※教学目标※
1．经历探索平方差公式的过程，进一步发展学生的符号感和推论能力。
2．会运用公式进行简单的乘法运算。(重点）
※教学过程※
一、新课导入
1．计算下列各题，观察结果有什么特征：
(x＋1)(x－1) (n＋2)(n－2)
＝x2－x＋x－1 ＝n2－2n＋2n－4
＝x2－1。 ＝n2－4。
(x－2y)(x＋2y) (x＋5y)(x－5y)
＝x2＋2xy－2xy－4y2 ＝x2－5xy＋5xy－25y2
＝x2－4y2。 ＝x2－25y2。
答：结果都为两数的平方差。
二、新知探究
（一）平方差公式
[提出问题]计算下列各题：
(1)(x＋5)(x－5); (2)(2y＋z)(2y－z)。
解：(1)原式＝x2－5x＋5x－25＝x2－25。 　　　　　
(2)原式＝(2y)2－2yz＋2yz－z2＝4y2－z2。
观察以上算式及运算结果，你发现了什么？
答：以上各算式可看成两个数的和与两个数的差相乘，结果均为对应两数的平方差的形式。
[归纳总结]平方差公式：(a+b)(a-b)＝a2-b2。
两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。
填一填：
算式 符号相同项 符号相反项 结果
(a-b)(a+b) a b a2 - b2
（1+x）（1-x） 1 x 12-x2
（-3+a）（-3-a） -3 a （-3）2-a2
（1+a）（-1+a） a 1 a2-12
（0.3x-1）（1+0.3x） 0.3x 1 （0.3x）2-12
练一练：回答下列各题：
(1)(-a+b)(a+b)=__b2 - a2_______。
(2)(a-b)(b+a)= ___a2 - b2_______。
(3)(-a-b)(-a+b)= _a2 - b2_______。
(4)(a-b)(-a-b)= ___b2 - a2______。
[典型例题]例1 利用平方差公式计算：
(1)(3x－5)(3x＋5)；
(2)(－2a－b)(b－2a)；
(3)(－7m＋8n)(－8n－7m)；
(4)(x－2)(x＋2)(x2＋4)。
解：(1)原式＝(3x)2－52＝9x2－25。
(2)原式＝4a2－b2。
(3)原式＝(－7m)2－(8n)2＝49m2－64n2。
(4)原式＝(x2－4)(x2＋4)＝x4－16。
[方法总结]应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
(1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
(2)右边是相同项的平方减去相反项的平方；
(3)公式中的a和b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式。
[针对练习]1.在计算下列各式时，可以用平方差公式的是(　D　)
A．(x＋y)(x＋y)　　　　　　　　B．(x－y)(y－x)
C．(x－y)(－y＋x) D．(x－y)(－x－y)
2.计算：
(1)x(2x＋5)(2x－5)＝__4x3－25x__；
(2)(2x＋y)(－y＋2x)＝__4x2－y2__；
(3)(－a－b)(__－a＋b__)＝a2－b2。
三、课堂小结
四、课堂训练
1.下列式中能用平方差公式计算的有(D)
①(x-y)(x+y),②(3a-bc)(-bc-3a),③(3-x+y)(3+x+y),④(100+1)(100-1)
A.1个B.2个C.3个D.4个
2.乘法等式中的字母a，b表示(D)
A.只能是数 B.只能是单项式
C.只能是多项式 D.单项式、多项式都可以
3.计算：（1）（2a-3b）（2a+3b）；
（2）（-p2+q）（-p2-q）；
（3）(m-n)(-m-n)。
解：（1）原式=（2a）2-（3b）2=4a2-9b2。
（2）原式=（-p2）2-q2=p4-q2。
（3）原式=(-n)2-(m)2=n2-m2。
4.计算：（x+y-z）（x-y+z）-（x+y+z）（x-y-z）。
解：原式=［x+（y-z）］［x-（y-z）］-［x+（y+z）］［x-（y+z）］
=x2-（y-z）2-［x2-（y+z）2］
=x2-（y-z）2-x2+（y+z）2
=（y+z）2-（y-z）2
=（y+z+y-z）［y+z-（y-z）］
=2y·2z
=4yz。
※教学反思※
本课让学生经历自主探索平方差公式的推导过程，采用自学为主的教学设计，在教学方法上采用以问题的形式，引导学生独立思考、探索，再通过讨论、交流、发现平方差公式的特点，接着，教师适当的引导，使学生理解掌握平方差公式的推导过程，通过练习巩固，力求突出重点、突破难点，使学生运用平方差公式解决问题的能力得到进一步提高。在整个教学过程中，分层次地培养学生数学思想和方法，养成良好的思维习惯。

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