资源简介

第一章 整式的乘除
3 乘法公式
第2课时 平方差公式的运用
※教学目标※
1．了解平方差公式的几何背景，发展几何直观，培养数形结合思想。(重点）
2．会运用平方差公式进行数的简便运算和整式的混合运算。(难点）　　　
※教学过程※
一、新课导入
某同学在计算97×103时将其变成(100-3)(100+3)并很快得出结果，你知道他运用了什么知识吗？这节
课我们一起来探讨上述计算的规律。
运用了平方差公式
二、新知探究
（一）平方差公式的几何意义
[合作探究]如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形。
(1) 请表示图1中阴影部分的面积。
a2-b2
(2) 小颖将阴影部分拼成了一个长方形 (如图2)，这个长方形的长和宽分别是多少 你能表示出它的面积吗
(a+b)(a-b)
(3) 比较 (1) (2) 的结果，你能验证平方差公式吗
由于(1)(2)表示的面积相同，所以可以验证平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2。
[归纳总结]通过几何图形面积之间的数量关系可对平方差公式做出几何解释。还有其他的几何方法解释吗？
（二）平方差公式的运用
[典型例题]例1 利用平方差公式计算：
(1)20×19； (2)13.2×12.8。
解：(1)20×19＝(20＋)×(20－)＝202－()2＝400－＝399。
(2)13.2×12.8＝(13＋0.2)×(13－0.2)＝132－0.22＝169－0.04＝168.96。
注意：不能直接应用公式的，要经过变形才可以应用。
[归纳总结]通过合理变形，利用平方差公式，可以简化运算。
[针对练习]1.用简便方法计算：
(1)7×8； (2)99×101×10 001。
解：(1)原式＝(8－)(8＋)＝82－()2＝63。
(2)原式＝(100－1)×(100＋1)×10 001＝(1002－1)×10 001＝(10 000－1)×(10 000＋1)＝10 0002－1
＝99 999 999。
2.计算2 0252－2 024×2 026的结果是(　D　)
A．－2　　　　　　B．－1　　　　　　C．0　　　　　　D．1
[典型例题]例2 先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2。
解：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)
＝4x2－y2－(4y2－x2)
＝4x2－y2－4y2＋x2
＝5x2－5y2。
当x＝1，y＝2时，
原式＝5×12－5×22＝－15。
[针对练习]先化简，再求值：(1＋a)(1－a)＋a(a－2)，其中a＝。
解：原式＝1－a2＋a2－2a＝1－2a，当a＝时，原式＝1－2×＝1－1＝0。
[典型例题]例3 王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居李大妈。今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少4米，另外一边增加4米，继续原价租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了。你认为李大妈吃亏了吗？为什么？
解：李大妈吃亏了。理由如下：
原正方形的面积为a2，改变边长后面积为(a＋4)(a－4)＝a2－16。因为a2＞a2－16，所以李大妈吃亏了。
三、课堂小结
四、课堂训练
1.如图，在边长为a的正方形中裁掉一个边长为b的小正方形(如图1)，将剩余部分沿虚线剪开后拼接(如图2)，通过计算，用拼接前后两个图形中阴影部分的面积可以验证等式(A )
A.a2-b2=(a+b)(a-b)
B.(a+b)2=a2+2ab+b2
C.(a+2b)(a-b)=a2+ab-2b2
D.(a-b)2=a2-2ab+b2
2.计算a2-(a+1)(a-1)的结果是( A )
A.1 B.-1 C.2a2+1 D.2a2-1
3.简便计算：（1）403×397；
解：原式=（400+3）（400-3）=4002-32=159991。
（2）(a+1)(a-1)(a2+1)(a4+1)(a8+1)。
解：原式=(a2-1)(a2+1)(a4+1)(a8+1)
=(a4-1)(a4+1)(a8+1)
=(a8-1)(a8+1)
=a16-1。
※教学反思※
本节课经过对两个图形的面积的计算，使学生明白可以通过几何图形对平方差公式进行验证。同时利用平方差公式进行简便运算。通过练习的情况来看，学生对简单的题目，能够用平方差公式进行简便运算，但需要变形之后再利用公式进行计算，学生掌握的不够好，所以还需要加强练习。

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