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第一章 整式的乘除
3 乘法公式
第3课时 完全平方公式的认识
※教学目标※
1．经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符号感和推理能力。(重点）
2．会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的计算。（难点）
※教学过程※
一、新课导入
【情境导入】计算：
(1)(x＋1)2； (2)(y－2)2；
解：（1）原式＝(x＋1)(x＋1)＝x2＋x＋x＋1＝x2＋2x＋1。 　　　　
（2）原式＝(y－2)(y－2)＝y2－2y－2y＋4＝y2－4y＋4。
思考：由上述计算，你发现了什么结论？
发现：左边是两数和(或差)的平方，右边是这两数平方和与它们2倍的和(或差)。
二、新知探究
（一）完全平方公式
[合作探究]计算(a＋b)2，(a－b)2，并归纳计算结果。
解：(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)＝a2＋ab＋ab＋b2＝a2＋2ab＋b2。
(a－b)2＝(a－b)(a－b)＝a2－ab－ab＋b2＝a2－2ab＋b2。
[总结归纳]完全平方公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
(a－b)2＝a2－2ab＋b2
两数和(或差)的平方，等于两数的平方和加上(或减去)两数积的2倍。简记为：
“首平方，尾平方，积的2倍放中间”。
思考：你能根据下图中的面积说明完全平方公式吗
和的完全平方(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2。
差的完全平方(a-b)2＝a2-2ab＋b2。
公式特征：1. 积为二次三项式；
2. 积中的两项为两数的平方；
3. 另一项是两数积的 2 倍，且与原式中间的符号相同；
4. 公式中的字母 a，b 可以表示数、单项式和多项式。
[典型例题]例1利用完全平方公式计算：
(1)(5－a)2；(2)(－3m－4n)2；(3)(－3a＋b)2；（4）(a＋b＋c)2。
解：(1)(5－a)2＝25－10a＋a2。
(2)(－3m－4n)2＝9m2＋24mn＋16n2。
(3)(－3a＋b)2＝9a2－6ab＋b2。
（4）原式＝(a＋b)2＋2(a＋b)c＋c2＝a2＋2ab＋b2＋2ac＋2bc＋c2。
注意：当公式中的两个数的系数绝对值不为1时，平方时不要漏掉系数的平方。　　
思考：(a+b)2与(-a-b)2 相等吗
(a-b)2与(b-a)2相等吗
(a-b)2与a2-b2相等吗 为什么
解：(-a-b)2=(-a)2-2·(-a)·b+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2。
(b-a)2=b2-2ba+a2=a2-2ab+b2=(a-b)2。
(a-b)2与a2-b2不一定相等，
只有当b=0或a=b时，(a-b)2=a2-b2。
[针对练习]1. 下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？
(1)(x+y)2=x2 +y2(×) (x+y)2 =x2+2xy+y2
(2)(x -y)2 =x2 -y2(×) (x -y)2 =x2-2xy +y2
(3) (-x +y)2 =x2+2xy +y2(×) (-x +y)2 =x2 -2xy +y2
(4) (2x+y)2 =4x2 +2xy +y2(×) (2x +y)2 =4x2+4xy +y2
2.计算：(1)(2x－3y)2；　(2)(－a＋b)2；　(3)(－ab2－3a2b)2。
解：(1)原式＝4x2－12xy＋9y2。
(2)原式＝(a－b)2＝a2－ab＋b2。
(3)原式＝(ab2＋3a2b)2＝a2b4＋3a3b3＋9a4b2。
[典型例题]例2 如果36x2＋mxy＋25y2是一个完全平方式，求m的值。
解：因为36x2＋mxy＋25y2＝(6x)2＋mxy＋(5y)2，
所以mxy＝±2·6x·5y，
所以m＝±60，
所以m＝60或－60。
[方法总结]完全平方式要分清是哪两数的平方和加上或减去它们积的2倍，已知完全平方式求中间系数中字母值要考虑两种情况。
[针对练习]1.下列各式中，是完全平方式的有(　C　)
①a2－a＋；②x2＋xy＋y2；③m2＋m＋9；④x2－xy＋y2；⑤m2＋4n2＋4mn；⑥a2b2＋ab＋1。
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2.已知16x2－2(m＋1)xy＋49y2是一个完全平方式，则m的值为(　D　)
A．28 B．29 C．－27 D．27或－29
（二）完全平方公式的几何意义
[典型例题]例3 我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．例如图甲可以用来解释(a＋b)2－(a－b)2＝4ab.那么通过图乙面积的计算，验证了一个恒等式，此恒等式是(　C　)
A．a2－b2＝(a＋b)(a－b)
B．(a－b)(a＋2b)＝a2＋ab－2b2
C．(a－b)2＝a2－2ab＋b2
D．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
[方法总结]通过几何图形面积之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释。
三、课堂小结
四、课堂训练
1.若x＋y＝4，则x2＋2xy＋y2的值是(　D　)
A．2　　　　　　B．4　　　　　　C．8　　　　　　D．16
2.如图，从边长为（a+1）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a﹣1）cm的正方形（a＞1），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则该矩形的面积是（ C ）
A．2cm2 B．2acm2 C．4acm2 D．（a2﹣1）cm2
3.若(3x－b)2＝ax2－12x＋4，则a，b的值分别为(　B　)
A．3，2 B．9，2 C．3，－2 D．9，－2
4.若4x2＋mx＋是完全平方式，则m＝__±2__。
5.利用完全平方公式计算：
(1)(-1-2x)2； (2)(-2x+1)2。
解：（1）原式=(-1)2-2×(-1)×(2x)+（2x)2=1+4x+4x2。
（2）原式=(-2x)2+2(-2x)×1+12=4x2-4x+1。
※教学反思※
本节课通过多项式乘法推导出完全平方公式，让学生自己总结出完全平方公式的特征，注意不要出现如下错误：(a＋b)2＝a2＋b2，(a－b)2＝a2－b2。为帮助学生记忆完全平方公式，可采用如下口诀：首平方，尾平方，乘积两倍在中央。教学中，教师可通过判断正误等习题强化学生对完全平方公式的理解记忆。

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