资源简介

第一章 整式的乘除
3 乘法公式
第4课时 完全平方公式的运用
※教学目标※
1．综合运用平方差公式和完全平方公式进行乘法运算。（重点）
2．准确分辨并利用乘法公式进行运算。（难点）
※教学过程※
一、新课导入
【情境导入】有一位老人非常喜欢孩子，每当有孩子到他家做客时，老人都要拿出糖果招待他们。来一个孩子，老人就给这个孩子一块糖，来两个孩子，老人就给每个孩子两块糖，来三个，就给每人三块糖，……
第一天，有 a 个男孩一起去了老人家，老人一共给了这些孩子__a2__块糖；
第二天，有 b 个女孩一起去了老人家，老人一共给了这些孩子__b2 __块糖；
第三天，这(a+b)个孩子一起去看老人，老人一共给了这些孩子__(a＋b)2__块糖。
问：这些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果总数哪个多？多多少？为什么？
孩子们前两天得到的糖果总和为：a2＋b2
第三天得到的糖果数为：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
所以(a＋b)2－（a2＋b2）＝a2＋2ab＋b2－a2－b2＝2ab
二、新知探究
（一）完全平方公式的运用
[提出问题]怎样计算992，4012更简单呢？
(1)992； (2)4012。
解：（1）992＝(100－1)2 ＝1002－2×100×1＋1＝9 801。
（2）4012＝(400＋1)2＝4002＋2×400×1＋1＝160 801。
[典型例题]例1 运用完全平方公式计算：
(1)1022； （2）1972。
解：（1）1022＝（100+2）2
=10 000+400+4
=10 404。
（2）1972＝（200-3）2
=40 000-1 200+9
=38 809。
[针对练习]1.计算：
(1)0.982＝(1－__0.02__)2＝__0.960 4__；
(2)(－99)2＝(____－__100__)2＝__9 900.25__。
2.计算：1 9992－1 992×2 008。
解：原式＝(2 000－1)2－(2 000－8)(2 000＋8)＝2 0002－2×2 000×1＋1－(2 0002－82)＝－4 000＋1＋64＝－3 935。
（二）公式法的综合运用
[典型例题]例2 计算：(1)(3x－2y)2＋(3x－2y)(－2y－3x)；
解：原式＝9x2－12xy＋4y2＋4y2－9x2＝8y2－12xy。
(2)(x－1＋y)(x＋1＋y)；
解：原式＝[(x＋y)－1][(x＋y)＋1]＝(x＋y)2－1＝x2＋2xy＋y2－1。
(3)4(a＋2)2－7(a＋3)(a－3)＋3(a－1)2。
解：原式＝4(a2＋4a＋4)－7(a2－9)＋3(a2－2a＋1)＝4a2＋16a＋16－7a2＋63＋3a2－6a＋3＝10a＋82。
[方法总结] 运用平方差公式计算（2）(x－1＋y)(x＋1＋y)要注意分组方法，将括号内不变号的项作第一项，变号项作为第二项，然后利用平方差公式计算。运用完全平方公式时要注意乘积的2倍项的符号。　　
[针对练习] 用乘法公式计算：
(1)(a－b＋3)(a＋b－3)；
解：原式＝[a－(b－3)][a＋(b－3)]
＝a2－(b－3)2
＝a2－b2＋6b－9。
(2)(a＋b＋c)2；
解：原式＝(a＋b)2＋2(a＋b)c＋c2＝a2＋2ab＋b2＋2ac＋2bc＋c2。
(3)[(a－b)2－(a＋b)2]2。
解：原式＝{[(a－b)＋(a＋b)][(a－b)－(a＋b)]}2＝[2a·(－2b)]2＝16a2b2。
[方法总结]计算 (a＋b＋c)2要把其中两项看成一个整体，再按照完全平方公式进行计算。
[典型例题]例3 已知：x＋y＝－3，x－y＝7。
求：(1)xy的值；(2)x2＋y2的值。
解：(1)因为x＋y＝－3，x－y＝7，所以(x＋y)2＝9，(x－y)2＝49，所以xy＝[(x＋y)2－(x－y)2]＝(9－49)＝×(－40)＝－10。
(2)x2＋y2＝(x＋y)2－2xy＝9－2×(－10)＝9＋20＝29。
[方法总结]
1.本题要熟练掌握完全平方公式的变式：x2＋y2＝(x－y)2＋2xy＝(x+y)2－2xy,(x－y)2＝(x+y)2－4xy。
2.所求的展开式中都含有xy或x＋y时，我们可以把它们看作一个整体代入到需要求值的代数式中，整体求解。
[针对练习]已知a－b＝3，ab＝1，求a2＋b2及(a＋b)2的值。
解：a2＋b2＝(a－b)2＋2ab＝9＋2＝11。(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab＝11＋2＝13。
三、课堂小结
1. 利用完全平方公式进行简便运算；
2. 完全平方公式和平方差公式一起的综合应用；
3. 把一个式子看成一个整体的思考方式。
四、课堂训练
1.利用整式乘法公式计算：
（1）89.82； (2)472-94×27+272； （3）（a-b-3）(a-b+3)。
解：(1)原式=（90-0.2）2=902-2×0.2×90+0.22=8064.04。
(2)原式=472-2×47×27+272=（47-27）2=202=400。
(3)原式=（a-b）2-32=a2-2ab+b2-9。
2.运用乘法公式计算：(1)(3x－2y)2＋(3x－2y)(－2y－3x)； (2)(x－1＋y)(x＋1＋y)；
(3)4(a＋2)2－7(a＋3)(a－3)＋3(a－1)2。
解：（1）原式＝9x2－12xy＋4y2＋4y2－9x2＝8y2－12xy。
（2）原式＝[(x＋y)－1][(x＋y)＋1]＝(x＋y)2－1＝x2＋2xy＋y2－1。
（3）原式＝4a2＋16a＋16－7a2＋63＋3a2－6a＋3＝10a＋82。
3.一个底面是正方形的长方体，高为6cm，底面正方形边长为5cm，如果它的高不变，底面正方形边长增加了 a cm，那么它的体积增加了多少？
原体积：V原=52×6=150（cm3 ）。
变化之后：V变=（a+5）2×6=（6a2+60a+150）cm3。
增加的体积：V增=V原-V变=（6a2+60a）cm3。
4.计算：（a+b）3。
（a+b）3=（a+b）2（a+b）=（a2+2ab+b2）（a+b）=a3+3a2b+3ab2+b3。
5.已知x-y＝6，xy=-8。
求: (1) x2+y2的值； (2)(x+y)2的值。
解：(1)因为x-y＝6，xy=-8，
(x-y)2＝x2+y2-2xy，
所以x2+y2＝(x-y)2+2xy
＝36-16＝20。
(2)因为x2+y2＝20，xy=-8，
所以(x+y)2＝x2+y2+2xy
＝20-16＝4。
※教学反思※
本节课定位为探究式教学活动，通过对教材进行适当的整合，主要采用引导探索法教学，倡导学生自主学习、尝试学习、探究学习、合作交流学习，鼓励学生用所学的知识解决问题，注重教学效果的有效性。学生在动手操作中，可以活跃课堂气氛，消除心理压力，在愉快的环境中学习知识， 有效地拓展学生思维，成功地培养学生的观察能力、思维能力、合作探究能力、交流能力和数学化能力。有针对性的让学生进行课堂练习，体现学以致用的观念，消除学生学无所用的思想顾虑，使学生对公式的理解获得升华。

展开更多......

收起↑