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第一章 整式的乘除
1 幂的乘除
第4课时 同底数幂的除法
※教学目标※
1．了解同底数幂的除法的运算性质，并能解决一些问题。（重点）
2．理解并掌握科学记数法表示小于1的数的方法。（重点）
3．能将用科学记数法表示的数还原为原数。（难点）
※教学过程※
一、新课导入
[情境导入]一种液体每升含有1012个有害细菌，为了试验某种杀菌剂的效果，科学家们进行了实验，发现1滴杀菌剂可以杀死109个此种细菌。要将1升液体中的有害细菌全部杀死，需要这种杀菌剂多少滴？
解：1012÷109==。
二、新知探究
（一）同底数幂的除法法则
[提出问题]探究1：计算下列各式，并说明理由（m>n）。
(1)108÷105; (2)10m÷10n; (3)(-3)m÷(-3)n。
解：(1)108÷105==103=108-5。
(2)10m÷10n===10m-n。
(3)(-3)m÷(-3)n===(-3)m-n。
这个验证问题如何用数学的语言表示？
[合作探究]试证明：am÷an = am - n。
验证：由幂的定义可知am÷an===am-n。
你能从中归纳出同底数幂除法的法则吗？
[归纳总结]am÷an=am-n(a≠0，m,n是正整数，且m>n)同底数幂相除，底数不变，指数相减。
[典型例题]例1 计算：(1)x6÷x2；　(2)(－3)7÷(－3)4； (3)(－ab2)5÷(－ab2)2；　(4)(a－b)4÷(b－a)。
解：(1)原式＝x6－2＝x4。　
(2)原式＝(－3)3＝－27。
(3)原式＝(－ab2)3＝－a3b6。　
(4)原式＝(b－a)4÷(b－a)＝(b－a)3。
[针对练习]计算：
(1)25÷23＝__4__；
(2)a9÷a3÷a＝__a5__；
(3)(－xy)3÷(－xy)2÷(－xy)＝__1__；
(4)(a－b)5÷(b－a)3＝__－(a－b)2__；
(5)(－y2)3÷y6＝__－1__；
(6)am＋1÷am－1·(am)2＝__a2m＋2__。
（二）同底数幂的除法法则的逆用
[典型例题]例2 已知：am = 8，an = 5。求：
(1) am－n 的值； (2) a3m－3n 的值。
解：(1) am－n = am÷an = 8÷5 = 1.6。
（2）a3m－3n = a3m÷a3n= (am)3÷(an)3 = 83÷53
= 512÷125 = 。
（三）零指数幂和负整数指数幂
探究2：
1.做一做：
104=10000， 24=16
10（3）=1000， 2（3）=8
10（2）=100， 2（2）=4
10（1）=10， 2（1）=2
2.猜一猜：下面的括号内该填入什么数？你是怎么想的？与同伴交流：
10（0）=1， 2（0）=1
10（-1）=， 2（-1）=
10（-2）=， 2（-2）=
10（-3）=， 2（-3）=
3.你有什么发现？能用符号表示你的发现吗？
通过计算和观察第一组算式，发现等式左边的幂指数每减少1，等式右边的数值就缩小为原来的。
用符号表示为：a0=1, a -p =。
4.对于同底数幂除法公式am÷an＝am－n(a≠0）中，有一个附加条件m＞n。请问同底数幂的除法性质对于m≤n时仍然成立吗？为什么？
①当m＝n时，你有什么发现？
若m＝n，则am÷an＝am÷am，
所以am÷am＝1或am÷am=am－m＝a0，
所以得到a0＝1(a≠0)。
②当m＜n时，你有什么发现？
若m＜n，设m－n＝－p，则am÷an＝am－n＝a－p或am÷an＝＝，所以a－p＝(a≠0，p为正整数)。
[归纳总结]任何不等于零的数的零次幂都等于1。
a0=1(a≠0)。
任何不等于零的数的-p(p是正整数)次幂，等于这个数的p次幂的倒数。
p= (a≠0,p是正整数)。
[法则解读]任意非0的数的0次幂为1，底数不能为0，负整数指数幂的底数不能为0。
[典型例题]例3 用小数或分数表示下列各数：
（1）10－3； （2）70×8－2； （3）1.6×10－4。
解：（1）10－3=
（2）70×8－2=1×
（3）1.6×10－4=1.6×
议一议
计算下列各式，你有什么发现？与同伴进行交流。
（1）7-3÷7-5； （2）3-1÷36；
（3）； （4）（-8）0÷（-8）-2。
解：（1）7-3÷7-5=÷=×==7-3-（-5）。
（2）3-1÷36=×===3-1-6。
（3）=÷===（）-5-2。
（4）（-8）0÷（-8）-2=÷==-（-2）。
[归纳总结]同底数幂除法的运算性质中的m，n可以扩大到全体整数。
am÷an=am-n(a≠0，m,n是正整数，且m>n)
[典型例题]例4 若a＝(－)－2，b＝(－1)－1，c＝(－)0，则a，b，c的大小关系是__a＞c＞b__。
[针对练习]1.下列算式：①0.0010＝1；②2－4＝；③10－3＝0.001；④(8－2×4)0＝1。其中正确的有(　C　)
A．1个 　B．2个　　　C．3个 　　　D．4个
2.若(x－3)0－2(3x－6)－2有意义，则x的取值范围是(　B　)
A．x＞3 B．x≠3且x≠2
C．x≠3或x≠2 D．x＜2
3.填空：
(1)(－)3÷(－)5·(－)5÷(－2)－3＝__1__；
(2)[－2－3－8－1×(－1)4]×()－2×80＝__－1__。
（四）用科学记数法表示绝对值不大于1的数
科学记数法除了可以表示一些绝对值很大的数外，也可以很方便地表示一些绝对值较小的数。
一个小于1的正数可以表示为a×10n，其中1≤a＜10，n是负整数。
[典型例题]例5 0.000 1＝____＝__1×10－4__；
0.000 000 001＝____＝__1×10－9__；
0．000 000 000 000 000 342 0＝__3.42×__＝__3.42×10－16__；
0．000 000 000 1＝1×10－10；
0.000 000 000 002 9＝2.9×10－12；
0．000 000 001 295＝1.295×10－9。
[方法总结]用科学记数法表示数时应注意：
(1)1后面0的个数与10的n次方对应．如＝10n；
(2)绝对值小于1的数1前0的个数与10的负n次方对应．如＝10－n。
[针对练习]1.下列科学记数法表示正确的是(　C　)
A．0.008＝8×10－2　　　　　　　　B．0.005 6＝5.6×10－2
C．0.003 6＝3.6×10－3 D．15 000＝1.5×103　　
2.实验表明，人体内某细胞的形状可以近似地看成球状，并且它的直径为0. 000 001 56 m，则这个数可用科学记数法表示为(　C　)
A．0.15×10－5 m　　　　　　　　B．0.156×105 m
C．1.56×10－6 m D．1.56×106 m
3.一块900 mm2的芯片上能集10亿个元件，每一个这样的元件约占多少平方毫米？约占多少平方米？(用科学记数法表示)
解：9×10－7mm2; 9×10－13m2。　
[典型例题]例6 用小数表示下列各数：
(1)2×10－7; (2)3.14×10－5；
(3)7.08×10－3; (4)2.17×10－1。
解：(1)2×10－7＝0. 000 000 2。
(2)3.14×10－5＝0.000 031 4。
(3)7.08×10－3＝0. 007 08。
(4)2.17×10－1＝0.217。
[针对练习]1.用科学记数法表示为(　D　)
A．5×10－5 B．5×10－6
C．2×10－5 D．2×10－6
2.长度单位1 nm＝10－9 m，目前发现一种新型病毒的直径为25 100 nm，用科学记数法表示该病毒直径是____m (　D　)
A．251×10－6 B．0.251×10－4
C．2.51×105 D．2.51×10－5
三、课堂小结
1．同底数幂的除法法则：
同底数幂相除，底数不变，指数相减。am÷an=am-n(a≠0，m,n是正整数，且m>n)
2．零次幂：
任何一个不等于零的数的零次幂都等于1，即a0＝1(a≠0)。
3．负整数次幂：
任何一个不等于零的数的－p(p是正整数)次幂，等于这个数p次幂的倒数，即a－p＝(a≠0，p是正整数)。
课堂训练
1. 一种花瓣的花粉颗粒直径约为0.000 006 5米，0.000 006 5用科学记数法表示为( B )
A.6.5×10-5 B.6.5×10-6
C.6.5×10-7 D.65×10-6
2.一种细菌半径是1.21×10-5米，用小数表示为____0.000 012 1_______.
3.下面的计算是否正确？如有错误，请改正：
（1）a6÷ a1 =a； 错误，应等于a6-1 = a5
（2）b6÷b3 = b2； 错误，应等于b6-3 = b3
（3）a10÷a9 =a； 正确
（4）(-bc )4÷(-bc )2 =-b2c2； 错误，应等于(-bc)4-2= (-bc)2 =b2c2
4.（1）(a-b)7÷(b-a)3= -(a-b)4
（2）m19÷m14×m3÷m=m7
（3）(b2)3×(-b3)4÷(b5)3=b3
（4）98×272÷(-3)18=81
5.计算：
(1)()－1＝___4____；
(2)()－2＝________；
(3)22＋2－2－()-2＝_______。
6.计算：－22＋(－)－2＋(2025－π)0－|2－|.
解：－22＋(－)－2＋(2025－π)0－|2－|
＝－4＋4＋1－2＋
＝－1。
※教学反思※
1.从计算具体问题中的同底数幂的除法，逐步归纳出同底数幂除法的一般性质。教学时要多举几个例子，让学生从中总结出规律，体验自主探究的乐趣和数学学习的魅力，为以后的学习奠定基础。
2.课前先布置了预习作业让学生在自己熟悉的生活场景中查找绝对值较小的数据，在记录的时候学生会充分感受到这些数据书写的复杂性，从而自己产生寻求简便表示方法的强烈愿望，这时课上再引入科学记数法就顺理成章了。这样的设计巧妙地提高了他们的学习兴趣，使学生了解了数学的价值，体会了数学与生活之间的密切联系。（在引入环节中，如果能让学生将课前收集的资料，用图片或课件的形式在课上展示，给学生更强烈的视觉冲击，会更好的激发学生的探究兴趣）

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