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第三章 概率初步
2 频率的稳定性
第2课时 用频率估计概率
※教学目标※
1.进一步了解在试验次数很大时，随机事件发生的频率具有稳定性。（重点）
2.理解并掌握概率的概念，初步学会用频率估计概率。（难点）
※教学过程※
一、新课导入
[情境导入] 掷一枚质地均匀的硬币，硬币落下后，会出现两种情况：
正面朝上 正面朝下
你认为正面朝上和正面朝下的可能性相同吗
二、新知探究
（一）概率的认识
例1. 某天气预报软件显示“某市明天的降水概率为85%”，对这条信息的下列说法中，正确的是（　C　）
A．某市明天将有85%的时间下雨
B．某市明天将有85%的地区下雨
C．某市明天下雨的可能性较大
D．某市明天下雨的可能性较小
[归纳总结]
我们把刻画事件 A 发生的可能性大小的数值，称为事件 A 发生的概率，记为 P(A)。
（二）用频率估计概率
[操作思考]
(1)同桌两人做 20 次掷硬币的游戏，并将数据记录在下表中：
试验总次数
正面朝上的次数
正面朝上的频率
正面朝下的次数
正面朝下的频率
(2)累计全班同学的试验结果，并将数据汇总填入下表：
试验总次数 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400
正面朝上的次数
正面朝上的频率
正面朝下的次数
正面朝下的频率
(3)根据表格，完成下面的折线统计图：
(4)观察上面的折线统计图，你发现了什么规律？
当试验次数很多时，正面朝上的频率折线差不多稳定在“0.5水平线”上。
(5) 下表列出了历史上一些数学家所做的掷硬币试验的数据：
试验者 试验总次数n 正面朝上的次数m 正面朝上的频率
布丰 4 040 2 048 0.506 9
德 摩根 4 092 2 048 0.500 5
费勒 10 000 4 979 0.497 9
皮尔逊 12 000 6 019 0.501 6
皮尔逊 24 000 12 012 0.500 5
维尼 30 000 14 994 0.499 8
罗曼诺夫斯基 80 640 39 699 0.492 3
分析试验结果及下面数学家大量重复试验数据，大家有何发现？
试验次数越多，频率越接近 0. 5。
[归纳总结]
一般地，在大量重复的试验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，这个性质称为频率的稳定性。频率反映了该事件发生的频繁程度，频率越大，该事件发生越频繁，这就意味着该事件发生的可能性也越大，因而，我们就用这个常数来表示该事件发生的可能性的大小。
一般地，在大量重复的试验中，我们可以用事件 A 发生的频率来估计事件 A 发生的概率。
思考交流
1.事件A发生的概率可以通过什么来估算？
事件A发生的概率可以用随机事件A发生的频率来估算。
2.随机事件A发生的频率的计算公式是 ，你能得出什么发现？
由 m 和 n 的含义，可知 0≤m≤n，所以 0≤ ≤1， 即0≤P (A)≤1。
特别地，当A为必然事件时，P(A) = 1；当A为不可能事件时，P(A) = 0。
[归纳总结]
必然事件发生的概率为1，不可能事件发生的概率为0，随机事件A发生的概率P（A）是0与1之间的一个常数。
[典型例题]
例2. 王老师将 1 个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让若干学生进行摸球试验，每次摸出一个球(有放回)，下表是活动进行中的一组统计数据(结果保留两位小数)：
(1) 补全上表中的有关数据，根据上表数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是多少；
解：（1）0.25。
(2) 估算袋中白球的个数。
解：（2）设袋中白球的个数为，
由题意，得，解得=3。
答：袋中白球的个数约为3个。
[针对练习]
1. 小凡做了5次掷均匀硬币的试验，其中有3次正面朝上，2次正面朝下，他认为正面朝上的概率大约为，朝下的概率为，你同意他的观点吗？你认为他再多做一些试验结果还是这样吗？
解：不同意。概率是针对大量重复试验而言的，大量重复试验反映的规律并非在每一次试验中都发生。
2. 小明掷一枚均匀的硬币，正面朝上的概率为，那么，抛掷100次硬币，你能保证恰好50次正面朝上吗？
解：不能，这是因为频数和频率的随机性，以及一定的规律性，或者说概率是针对大量重复试验而言的，大量重复试验反映的规律并非在每一次试验中都发生。
三、课堂小结
1.频率具有稳定性。
2.一般地，在大量重复的试验中，我们可以用不确定事件A发生的频率来估计事件A发生的概率，记为 P(A)。
3.必然事件发生的概率是 1；
不可能事件发生的概率是 0；
随机事件A发生的概率 P(A) 是 0 与 1 之间的一个常数。
四、课堂训练
1.已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为，下列说法错误的是（　A ）
A．连续抛一枚均匀硬币2次必有1次正面朝上
B．连续抛一枚均匀硬币10次都可能正面朝上
C．大量反复抛一枚均匀硬币，平均每100次出现正面朝上50次
D．通过抛一枚均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的
2.下列事件发生的概率为 0 的是( D )
A. 掷两枚骰子，同时出现数字“ 6 ”朝上
B. 小明从家里到学校用了10分钟，从学校回到家里却用了15分钟
C. 今天是星期天，昨天必定是星期六
D. 小明步行的速度是每小时40千米
3. 口袋中有9个球，其中4个红球，3个蓝球，2个白球，在下列事件中，发生的概率为1的是 ( C )
A. 从口袋中拿一个球恰为红球
B. 从口袋中拿出2个球都是白球
C. 拿出6个球中至少有一个球是红球
D. 从口袋中拿出的5个球中恰为3红2白
4.某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是（　B　）
A．0.90 B．0.82 C．0.85 D．0.84
5.一只不透明袋子中装有1个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下：
（1）该学习小组发现，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是 0.33 （精确到0.01），由此估计红球有　 2 个。
（2）现从该袋中一次摸出2个球，请列出所有等可能的结果，并求恰好摸到1个白球、1个红球的概率。
解：设红球为A1，A2，白球为B。可能的结果有A1，A2；A1，B；A2，B。
P（恰好摸到1个白球、1个红球）= 。
※教学反思※
抛硬币试验的结果只有两个，再结合生活常识学生很容易想到抛硬币得到正反两面的结果都是0.5，这为后面学习等可能概型打下基础。需要说明的是，虽然多次试验的频率渐趋稳定于其理论概率，但也不排斥无论做多少次试验，试验概率仍然是理论概率的一个近似值，两者存在着一定的偏差，而且偏差的存在是正常的、经常的。

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