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第四章　三角形
1 认识三角形
第3课时 三角形的高、中线与角平分线
※教学目标※
1．掌握三角形的高、中线、角平分线的定义。(重点)
2．能够准确地画出三角形的高线、中线、角平分线，并能够对其进行简单的应用。(难点)
一、新课导入
[情境导入]如图，在△ABC中有一条线段，一端点在顶点A处，另一端点从点B沿着BC边移动到点C，观察移动过程中形成的无数条线段（AD，AE，AF，AG…），有没有特殊位置的线段？你认为有哪些特殊位置？
［生甲］我观察到，有一条线段的端点是BC的中点。
［生乙］在这些线段中，有一条线段平分∠BAC，即是∠BAC的平分线。
［生丙］还有一条线段垂直边BC。
［师］很好，同学们通过观察，找到了具有特殊位置的线段，这三条线段是三角形的重要线段，它们分别是三角形的中线、角平分线和高线。我们先来认识三角形的高线。
二、新知探究
（一）三角形的高线
[定义]从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高。
作△ABC的边AB上的高，下列作法中，正确的是(　D　)
做一做：准备一个锐角三角形纸片。
（1）你能画出这个三角形的高吗？能用折纸的方法得到它吗？
（2）这三条高之间有怎样的位置关系呢？
锐角三角形的三条高在三角形的内部且交于一点。
议一议：画出一个直角三角形和一个钝角三角形。画出它们的三条高，并观察其有怎样的位置关系？
三角形的三条高所在的直线交于一点。
直角三角形的三条高交于直角顶点处.钝角三角形的三条高所在直线交于一点，此点在三角形的外部。
[典型例题]例1如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于点D，且AD＝4，若点P在边AC上移动，则BP的最小值为________。
（二）三角形的中线
[定义]三角形中，连接一个顶点与它对边的中点的线段，叫作这个三角形的中线。
如图，点E是BC的中点，线段AE是△ABC的中线，则BE=EC=BC。
思考:在一个三角形中，有几条中线呢？它们的位置关系又如何呢？同学们来画一画，议一议。
（1）在纸上画一个锐角三角形，并画出它的所有中线，它们有怎样的位置关系？
（2）钝角三角形和直角三角形的中线有几条，它们也有同样的位置关系吗？折一折，画一画，并与同伴交流。
[归纳总结]三角形的三条中线交于一点。这个点称为三角形的重心。
[典型例题]例2 在△ABC中，AC＝5cm，AD是△ABC的中线，若△ABD的周长比△ADC的周长大2cm，则BA＝____7cm____。
例3 如图，在△ABC中，E是BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF和△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF和S△BEF，且S△ABC＝12，则S△ADF－S△BEF＝____2____。
方法总结：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分；高相等时，面积的比等于底边的比；底相等时，面积的比等于高的比。
（三）三角形的角平分线
[归纳总结]在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线。
如图，如果AD是∠BAC的平分线，那么有∠BAD=∠DAC=∠BAC。
做一做：大家拿出准备好的锐角三角形、钝角三角形和直角三角形纸片各一个，来动手做一做。
（1）你能分别画出锐角三角形、钝角三角形和直角三角形这三个三角形的三条角平分线吗？
（2）你能用折纸的办法得到它们吗
（3）在每个三角形中，这三条角平分线之间有怎样的位置关系？
[归纳总结]三角形的三条角平分线交于一点。
[典型例题]例4 如图，在△ABC中，∠B＝67°，∠C＝33°，AD是△ABC的角平分线，则∠CAD的度数为(　A　)
A．40°　 B．45° 　C．50° 　D．55°
[针对练习]如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1＝30°，∠2＝20°，则∠B＝__50°__。
三、课堂小结
1．三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高。三角形的三条高所在的直线交于一点。
2．三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段叫作三角形的中线。三角形的三条中线交于一点。
3．三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线。三角形的三条角平分线交于一点。
四、课堂训练
1．如图，AE⊥BC交BC的延长线于点E，BF⊥AC交AC的延长线于点F，CD⊥AB于点D，则在△ABC中，AC边上的高是（　D　）
A．AE B．CD C．AF D．BF
2．下列说法正确的是（　B　）
A．三角形的角平分线是射线
B．锐角三角形的三条高交于一点
C．过三角形的顶点，且过对边中点的直线是三角形的一条中线
D．三角形的高、中线、角平分线一定在三角形的内部
3．如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线，则下列说法中错误的是（　C　）
A．BF＝CF B．∠C+∠CAD＝90°
C．∠BAF＝∠CAF D．S△ABC＝2S△ABF
※教学反思※
课堂上通过同学们在折纸、画图等实践活动，充分调动学生自主学习的潜能，丰富学生对此内容的体验和理解，同时发展他们的空间观念，从而发展他们的创新能力，以更好地激发学生积极思考，得到更大的收获。其次通过对三角形的三种情况的分析，即锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，培养学生分类讨论思想。同时，可以在学生头脑中对这三种线段留下清晰的形象，然后结合这些具体形象叙述它们的定义以及表示方法，最后通过例题进一步巩固。

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