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第四章　三角形
3 探索三角形全等的条件
第2课时 利用“角边角”“角角边”判定三角形全等
※教学目标※
1．理解并掌握三角形全等的判定方法——“角边角”“角角边”；(重点)
2．能运用“角边角”“角角边”判定方法解决有关问题；(难点)
3．已知两角及其夹边会作三角形。(重点，难点)
一、新课导入
[情境导入]如图所示，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带哪块去？
学生活动：学生先自主探究出答案，然后再与同学进行交流。
教师点拨：显然仅仅带①或②是无法配成完全一样的玻璃的，而仅仅带③则可以，为什么呢？本节课我们继续研究三角形全等的判定方法。
二、新知探究
（一）三角形全等的判定“ASA”
做一做：让学生拿出提前准备好的60°角，80°角和2cm的线段，以小组为单位，进行操作拼接成三角形，使2厘米的线段作为60°角和80°角的夹边，再进行对比，看一看组成的三角形是否全等。
[归纳总结]两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写为“角边角”或“ASA”。
用符号语言表达为：
在△ABC和△DEF中，
因为∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F，
所以△ABC≌△DEF（ASA）。
[典型例题]例1 如图，AD∥BC，BE∥DF，AE＝CF，试说明△ADF≌△CBF。
解：因为AD∥BC，BE∥DF，所以∠A＝∠C，∠DFE＝∠BEC。
因为AE＝CF，所以AE＋EF＝CF＋EF，即AF＝CE。
在△ADF和△CBE中，因为∠A＝∠C，AF=CE,∠DFE＝∠BEC,
所以△ADF≌△CBE(ASA)。
方法总结：常见的隐含的等角有：①公共角相等；②对顶角相等；③等角加（或减）等角，其和（或差）仍相等；④同角或等角的余（或补）角相等；⑤由角平分线的定义得出角相等；⑥由垂直平分线的定义得出角相等；⑦由平行线得到同位角或内错角相等；⑧全等三角形的对应角相等。
（二）已知两角及其夹边用尺规作三角形
[典型例题]例2 已知∠α，∠β，线段c，用尺规作△ABC，使∠B＝∠α，∠C＝∠β，BC＝c。
　　
解：作法：(1)作∠DBC＝∠α。；
(2)在射线BC上截取线段BC＝c。
(3)以C为顶点，以CB为一边，作∠ECB＝∠β，BD与交CE于点A。
△ABC就是所要求作的三角形。　
方法总结：已知两角及其夹边作三角形的理论依据是判定三角形全等的“ASA”。
（三）三角形全等的判定“AAS”
做一做：让学生拿出提前准备好的60°角，45°角和3cm的线段，以小组为单位，进行操作拼接成三角形。
（1）如果60°角所对的边长是3cm。所组成的三角形是否全等？
（2）如果45°角所对的边长是3cm。所组成的三角形是否全等？组员之间，小组之间进行对比。
[归纳总结]两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。简写成“角角边”或“AAS”。
用符号语言表达为:
在△ABC和△DEF中，
因为∠B=∠E，∠C=∠F，AC=DF，
所以△ABC≌△DEF（AAS）。
[典型例题]例3 如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于E。AD与BE交于F，若BF＝AC，试说明△ADC≌△BDF。
解：因为AD⊥BC，BE⊥AC，所以∠ADC＝∠BDF＝∠BEA＝90°。
因为∠AFE＝∠BFD，∠DAC＋∠AEF＋∠AFE＝180°，∠BDF＋∠BFD＋∠DBF＝180°，所以∠DAC＝∠DBF。
在△ADC和△BDF中，因为∠DAC＝∠DBF，∠ADC＝∠BDF,AC=BF,
所以△ADC≌△BDF(AAS)。
三、课堂小结
1．角边角：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写为“角边角”或“ASA”。
2．角角边：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。简写成“角角边”或“AAS”。
3．已知两角及其夹边作三角形。
四、课堂训练
1.在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A＝44°，∠B＝67°，∠C′＝69°，∠A′＝44°，且AC＝A′C′，那么这两个三角形（　 B ）
A．一定不全等　 B．一定全等　 　C．不一定全等　　 D．以上都不对
2.如图所示，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，结论：①EM＝FN；②CD＝DN；③∠FAN＝∠EAM；④△ACN≌△ABM。其中正确的有(　C　)
A．1个　　B．2个　　C．3个　D．4个
3.已知：∠α和线段a，用尺规作△ABC，使∠A＝∠α，AB＝2a，∠B＝2∠α，作法如下：①画直线AN，在AN上截取AB＝2a；②作∠MAN＝∠α；③以点B为圆心，BA为一边作∠ABE＝2∠α，BE交AM于C点，则△ABC就是所求作的三角形。则正确的作图顺序是__①②③__。(只填序号)
4.如图，∠1=∠2，∠D=∠C，试说明△ADB≌△ACB。
解：因为在△ADB中，∠3=180°-∠1-∠D。
因为在△ACB中，∠4=180°-∠2-∠C，
而∠1=∠2，∠D=∠C，
所以∠3=∠4，
在△ADB和△ACB中，
因为∠1=∠2，AB=AB，∠3=∠4，
所以△ADB≌△ACB（ASA）。
5.在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D，E。试说明：
(1)△BDA≌△AEC；
(2)DE＝BD＋CE。
解：(1)因为BD⊥m，CE⊥m，所以∠ADB＝∠CEA＝90°，所以∠ABD＋∠BAD＝90°。
因为AB⊥AC，所以∠BAD＋∠CAE＝90°，所以∠ABD＝∠CAE。
在△BDA和△AEC中，
因为∠ADB＝∠CEA，∠ABD＝∠CAE，AB=AC,所以△BDA≌△AEC(AAS)。
(2)因为△BDA≌△AEC，所以BD＝AE，AD＝CE，所以DE＝DA＋AE＝BD＋CE。
※教学反思※
本节课采用启发式、讨论式的教学方法，把知识点问题化，在教学设计时提供充分探索与交流的空间，使学生进一步经历，实验、猜测、推理、交流、反思等活动，培养学生类比的思想方法，让学生学会一些探究的基本方法与思路，并体会到数学教材在内容安排上螺旋上升的特点。采用自主、探究、合作学习，组内交流的学习方式，让学生自己当老师，一方面让其他学生容易接受，另一方面可增强学生的自信心和学习数学的兴趣，让学生在探究中，经历知识产生发展的过程，体会“做数学”的乐趣。

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