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第四章　三角形
3 探索三角形全等的条件
第3课时 利用“边角边”判定三角形全等
※教学目标※
1．理解并掌握三角形全等的判定方法——“边角边”。(重点)
2．已知两边及其夹角会作三角形。(难点)
一、新课导入
[情境导入]小伟作业本上画的三角形被墨迹污染了，他想画一个与原来完全一样的三角形，他该怎么办？请你帮助小伟想一个办法，并说明你的理由。
想一想：要画一个三角形与小伟画的三角形全等，需要几个与边或角的大小有关的
条件？只知道一个条件(一角或一边)行吗？两个条件呢？三个条件呢？
让我们一起来探索三角形全等的条件吧！
二、新知探究
（一）三角形全等的条件——“SAS”
思考：如果给出一个三角形的“两边一角”能确定这个三角形吗？想一想，已知三角形的两条边和一个角时会有几种不同的基本情况
（1）两边及夹角；
（2）两边及其一边的对角。
做一做：让学生画一个三角形，使它满足两条边长分别为2cm和3cm，且它们的夹角为40°。画完后用剪刀剪下来，和其他同学剪的三角形比较，看看是否能够重合。
能重合。当三角形两边及其夹角大小已知时，三角形三个顶点的位置已经确定，三角形的形状、大小也随之确定。
[归纳总结]两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”。
[典型例题]例1 如图，A，D，F，B在同一直线上，AD＝BF，AE＝BC，且AE∥BC。试说明：△AEF≌△BCD。
解：因为AE∥BC，所以∠A＝∠B。因为AD＝BF，所以AF＝BD。
在△AEF和△BCD中，因为AE=BC，∠A=∠B，AF=BD，所以△AEF≌△BCD(SAS)。
方法总结：判定两个三角形全等时，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角。
（二）利用“SSA”不能判定三角形全等
做一做：让学生画一个三角形，使它满足两条边长分别为2cm和3cm，且其中一条边的对角是40°。情况会怎么样呢？由此，你能得出什么结论？
发现满足条件的三角形出现了两种形状完全不同的三角形。
[归纳总结]两边分别相等且其中一组等边的对角分别相等的两个三角形不一定全等，即“SSA”不能判定两个三角形全等。
[针对练习]下列条件中，不能判定△ABC≌△DEF的是(　C　)
A．AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF
B．AB＝DE，∠A＝∠D，AC＝DF
C．BC＝EF，∠B＝∠E，AC＝DF
D．BC＝EF，∠C＝∠F，AC＝DF
解析：要判断能不能使△ABC≌△DEF，应看所给出的条件是不是两边和这两边的夹角，只有选项C的条件不符合。故选C。
（三）已知两边及其夹角用尺规作三角形
[典型例题]例2 如图，已知∠α和线段m，n。求作△ABC，使∠B＝∠α，BA＝n，BC＝m。
　　
解：作法：(1)作一条线段BC＝m；
(2)以B为顶点，以BC为一边，作∠DBC＝∠α；
(3)在射线BD上截取线段BA＝n；
(4)连接AC，△ABC就是所求作的三角形。
方法总结：已知两边及其夹角作三角形的理论依据是判定三角形全等的“SAS”，作图时可先作一个角等于已知角，再在角的两边分别截取已知线段长即可。
三、课堂小结
1．边角边：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写为“边角边”或“SAS”。
2．已知两边及其夹角作三角形。
四、课堂训练
1.如图，在△ABC和△DEF中，已知AB=DE，BC=EF，根据（SAS）判定△ABC≌△DEF，还需的条件是（ B ）
A.∠A=∠D B.∠B=∠E C.∠C=∠F D.以上三个均可以
2.如图，AD=AE，BE=CD，∠1=∠2=110°,∠BAE=60°,则∠CAE= 20°。
3.如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠1=∠2。试判断AD与BC，BD与DC的关系并说明理由。
解：在△ABD和△ACD中，
因为AB=AC，∠1=∠2，AD=AD，
所以△ABD≌△ACD（SAS）。
所以BD=CD，∠3=∠4。
又因为∠3+∠4=180°，即2∠3=180°，
所以∠3=90°。所以AD⊥BC。
4.如图，BC∥EF，BC＝BE，AB＝FB，∠1＝∠2，若∠1＝60°，求∠C的度数。
解：因为∠1＝∠2，所以∠ABC＝∠FBE。
在△ABC和△FBE中，
因为BC=BE，∠ABC=∠FBE，AB=FB，
所以△ABC≌△FBE(SAS)。
所以∠C＝∠BEF。
又因为BC∥EF，所以∠C＝∠BEF＝∠1＝60°。
5.如图，四边形ABCD，DEFG都是正方形，连接AE。CG。试说明：(1)AE＝CG；(2)AE⊥CG。
解：(1)因为四边形ABCD，DEFG都是正方形，所以AD＝CD，GD＝ED。
因为∠CDG＝90°＋∠ADG，∠ADE＝90°＋∠ADG，所以∠CDG＝∠ADE。
在△ADE和△CDG中，因为AD=CD，∠ADE=∠CDG，DE=GD，
所以△ADE≌△CDG(SAS)。所以AE＝CG。
(2)设AE与DG相交于M，AE与CG相交于N。
在△GMN和△DME中，由(1)得∠CGD＝∠AED。
又因为∠GMN＝∠DME，∠DEM＋∠DME＝90°，
所以∠CGD＋∠GMN＝90°。所以∠GNM＝90°。所以AE⊥CG。
※教学反思※
本节课从操作探究入手，具有较强的操作性和直观性，有利于学生从直观上积累感性认识，从而有效地激发了学生的学习积极性和探究热情，提高了课堂的教学效率，促进了学生对新知识的理解和掌握。另外，尺规作图时，鼓励学生一边作图，一边用几何语言叙述作法，培养学生的动手能力、语言表达能力。

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