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第五章 图形的轴对称
2 简单的轴对称图形
第3课时 角平分线的性质
※教学目标※
1.探索并证明角的平分线的性质。（重点）
2.能用角平分线的性质解决简单问题。（难点）
3.会用尺规作一个角的平分线，知道作法的合理性。
※教学过程※
一、新课导入
[情境导入]
你发现了什么图形？
角。
角是生活中常见的图形，角是轴对称图形吗？
二、新知探究
（一）角的轴对称性
[提出问题]如图，将∠AOB对折，你发现了什么？
[归纳总结]角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴。
（二）角平分线的性质
[提出问题]如图，OP是∠AOB的平分线，点C是OP上的任意一点。在∠AOB中画出以OP所在直线为对称轴的一组对应点D和点D’，连接CD和CD’。
（1）你认为线段CD和线段CD’之间有什么关系？
解：CD=CD’。
（2）特别地，当CD⊥OA时，CD’与OB有怎样的位置关系？此时，线段CD和线段CD’还有（1）中的关系吗？
解：此时CD’⊥OB，CD=CD’。
由此你能得到什么结论？
已知：如图，已知∠AOC =∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。
试说明PD = PE。
解：因为PD⊥OA，PE⊥OB，
所以∠PDO =∠PEO = 90°。
在△PDO和△PEO中，
因为∠PDO =∠PEO，
∠AOC =∠BOC，OP = OP，
所以△PDO≌△PEO（AAS）。
所以PD= PE。
[归纳总结]角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
几何语言：
因为OC是∠AOB的平分线，CD⊥OA，CE⊥OB，
所以CD = CE。
注意：推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个。
[针对练习]
判一判：（1）因为如下左图，AD平分∠BAC（已知），
所以BD=CD （角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）。（×）
(2)因为如上右图， DC⊥AC，DB⊥AB（已知），
所以BD=CD（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）。（ √ ）
[典型例题]例1 如图，AM是∠BAC的平分线，点P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是点D，E，PD=4cm，则PE=__4____cm。
解析：因为AM 是∠BAC的平分线，
PD⊥OB,PE⊥OC，
所以PD=PE=4。
[针对练习]
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4，AB＝14。
(1) 则点P到AB的距离为 4 ；
(2) △APB的面积为 28 。
（三）角平分线的作法
[典型例题] 例2 如图。
（1）已知∠AOB，请用尺规作∠AOB的平分线。
解：作法：
① 在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD=OE。
②分别以点D和点E为圆心，以大于DE的长为半径画弧，
两弧在∠AOB内相交于点C。
③作射线OC。
射线OC就是∠AOB的平分线。
（2）你能说明这样作的道理吗
解：连接CD，CE，则CD=CE。
在△OCD和△OCE中，
因为，，，
所以△ACD≌△ACB（SSS），
所以∠COD=∠COE，
所以OC平分∠AOB。
[针对练习]先任意画一个角，然后将它四等分。
作法：画出已知角∠AOB 。
1.作∠AOB 的平分线OC。
2.分别作∠AOC和∠BOC的平分线OD，OE，即将∠AOB四等分。
三、课堂小结
四、课堂训练
1.如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA＝3，则PQ的最小值为（　C　）
A． B．2 C．3 D．4
2.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是(　D　)
A．6 B．5 C．4 D．3
解析：过点D作DF⊥AC于F，
因为AD是△ABC的角平分线，
DE⊥AB，
所以DF=DE=2，
解得AC=3。
3.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BE＝FC。试说明BD＝DF。
解：因为AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，
所以DC＝DE。
在△DCF和△DEB中，因为DC=DE,∠C=∠BED,CF=BE,
所以△DCF≌△DEB（SAS）。所以BD＝DF。
4.如图，某城市公园里有三个景点A，B，C，直线l1，l3表示直路，而l2表示弯路。想在S区里修建一座公厕P，使它到两条路l1和l3的距离相等，且到两个景点B和C的距离也相等。求点P的位置。
解：如图，点P即为所求。
※教学反思※
本课时探索角的轴对称性。本课教学设计较好地体现了“教为主导， 学为主体，探索为主线，思维为核心”的教学理念，在描述探究结果的过程中，学生通过有条理的语言表达，进一步提高了数学语言的运用能力，为八年级的推理和严格证明打下坚实基础。

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