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第五章 图形的轴对称
2 简单的轴对称图形
第2课时 线段垂直平分线的性质及作法
※教学目标※
1.理解线段垂直平分线的性质。（重点）
2.能运用线段垂直平分线的性质解决实际问题。（难点）
3.会用尺规作线段的垂直平分线，了解作图的道理。
※教学过程※
一、新课导入
[复习导入]
1.什么是轴对称图形？
解：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫作轴对称图形，这条直线叫作对称轴。
2.轴对称的性质是什么？
解：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等。
3.线段是轴对称图形吗？
解：是。
二、新知探究
（一）线段垂直平分线的定义
[提出问题]在纸上画一条线段，你能不用任何工具找到这条线段的对称轴吗？
解：1.线段本身所在的直线是它的一条对称轴。
对折，使点A，B重合，折痕OC与AB相交于点C，折痕OC也是它的一条对称轴。
[归纳总结]线段是轴对称图形，垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴。
垂直平分线的定义：
垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线（简称中垂线）。
（二）线段垂直平分线的性质
[提出问题]如图，直线l是线段AB的垂直平分线，点C是l上的任意一点。在线段AB上画出以直线l为对称轴的一组对应点D和D’，连接CD和CD’。
（1）你认为线段CD和CD’之间有什么关系？说说你的理由。
（2）特别地，当点D与点A重合时，点D’位于什么位置？此时，线段CD和CD’之间还有（1）中的关系吗？
解：（1）CD=CD’。
因为点D和点D’关于直线l对称，所以OD=OD’，∠COD=∠COD’=90°。
又因为OC=OC，所以△COD≌△COD’（SAS），所以CD=CD’。
（2）当点D与点A重合时，点D’与点B重合，此时CD和CD’依然相等，即AC=BC。
[归纳总结]线段垂直平分线上的点到这两条线段两个端点的距离相等。
几何语言:因为点C在线段AB的垂直平分线上，所以AC=BC。
[典型例题]例1 如图，DE是AC的垂直平分线，AB＝12厘米，BC＝10厘米，则△BCD的周长为 (　A　)
A．22厘米 B．16厘米
C．26厘米 D．25厘米
解析：根据线段垂直平分线的性质，得CD＝AD，
故△BCD的周长为DC＋BD＋BC＝AD＋BD＋BC＝AB＋BC＝12＋10＝22(厘米)。
[针对练习]
1.如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，点P为直线CD上的一点，且PA=5，则线段PB的长为( B )
A.6 B.5 C.4 D.3
2.如图，AB是△ABC的一条边，DE是AB的垂直平分线，垂足为E，并交BC于点D，已知AB=8cm，BD=6cm，那么EA= 4 cm，DA= 6 cm。
（三）线段的垂直平分线的作法
[典型例题]例2 如图，已知线段AB，请用尺规作线段AB的垂直平分线。
作法：
1.分别以点A和点B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，
两弧相交于点C和D；
2.作直线CD。
直线CD就是线段AB的垂直平分线。
[针对练习]如图，某地由于居民增多，要在公路l旁增加一个公共汽车站，A，B是路边两个新建小区，这个公共汽车站C建在什么位置，能使两个小区到车站的路程一样长？（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
解：如图所示，点O即为所求。
解析：连接AB，作AB的垂直平分线交直线l于O，交AB于E。
因为EO是线段AB的垂直平分线，
所以点O到点A，B的距离相等。
所以这个公共汽车站C应建在O点处，才能使到两个小区的路程一样长。
三、课堂小结
四、课堂训练
1.如图，在△ABC中，AB＝AE，且AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，若△ABC的周长为16，AC＝6，则DC为（　A　）
A．5 B．8 C．9 D．10
2.如图，∠BAC＝140°，若DM和EN分别垂直平分AB和AC，则∠DAE等于（　A　）
A．100° B．90° C．80° D．70°
3.如图，AB垂直平分CD，AC＝6，BD＝4，则四边形ADBC的周长是　20　。
4.如图，在△ABC中，分别以点A，点B为圆心，以大于的长为半径画弧交于M，N两点，作直线MN交AB于点E，交AC于点D，若AE＝4，△BCD的周长是12，则△ABC的周长为 　20　。
5.如图，已知AD是△ABC的高线，AD的垂直平分线分别交AB，AC于点E，F。
（1）若∠B＝40°，求∠AEF的度数；
（2）试说明∠B∠AED。
解：（1）因为EF是AD的垂直平分线，
所以EF⊥AD，
因为AD是△ABC的高线，
所以BC⊥AD，
所以EF∥BC，
所以∠AEF＝∠B＝40°。
（2）因为EF是AD的垂直平分线，
所以EA＝ED，EF⊥AD，
所以∠AEE＝∠DEF，
由（1）可知，∠AEF＝∠B，
所以∠B∠AED。
6.如图，已知点A，B分别在直线l异侧。
（1）在直线l上求作一点P，使PA＝PB；
（2）在直线l上求作一点Q，使l平分∠AQB。
（以上两小题保留作图痕迹，标出必要的字母，不要求写作法）
解：（1）如图所示，点P即为所求。（2）如图所示，点Q即为所求。
※教学反思※
本课时探索线段的轴对称性，以操作性活动以及“你发现了什么”的问题引入线段的轴对称性，学生在回答“线段是轴对称图形”后，建议要求其说明线段的对称轴的特点，为下面给出垂直平分线的定义做铺垫。

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