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第六章 变量之间的关系
3 用关系式表示变量之间的关系
※教学目标※
1.理解两个变量之间的关系可以用关系式表示，能在一个关系式中指出自变量和因变量。
2.能够在具体的情境中列出表示变量之间关系的关系式。（重难点）
※教学过程※
一、新课导入
[情境导入]能确定一个三角形的面积的量有哪些？
三角形的底边长和对应的高。
二、新知探究
知识点：用关系式表示变量之间的关系
[提出问题]如图，△ABC的底边BC上的高是6cm。当三角形的顶点C沿底边所在直线向点B运动时，三角形的面积发生了变化。
在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？当底边长减小时，三角形的面积是如何变化的？
如果三角形的底边长为x(单位：cm)，
那么三角形的面积y(单位：cm2)如何表示？
当底边长从12cm变化到3cm时，
三角形的面积从 36 cm2 变化到 9 cm2。
解：（1）自变量是三角形的底边长，因变量是三角形的面积。当底边长减小时，三角形的面积也减小。
（2）y=3x。
[归纳总结]y=3x表示了三角形底边长x和面积y之间的关系，它是变量y随x变化的关系式。关系式是我们表示变量之间关系的一种常用方法。利用关系式，我们可以根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值。
[典型例题]例1 如图，圆锥的高是4cm,当圆锥的底面半径由小到大变化时，圆锥的体积也随之发生了变化。
(1)在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？底面半径增大时，圆锥的体积是如何变化的？
解：自变量是圆锥的底面半径，因变量是圆锥的体积。当底面半径增大时，圆锥的体积也随之增大。
(2)如果圆锥的底面半径为r(cm)，那么圆锥的体积V(cm3)如何表示？
解：。
(3)在这个变化过程中，取定一个底面半径r的值，体积V的值能确定吗？
解：能确定。
[归纳总结]用关系式表示变量之间的关系：
优点：简单明了，能准确反映整个变化过程中自变量与因变量的相互关系。
缺点：求对应值时有时要经过比较复杂的计算，而且实际问题中，有的变量之间的关系不一定能用关系式表示出来。
例2 你知道什么是“低碳生活”吗？ “低碳生活”是指人们生活中尽量减少所耗能量，从而降低碳(特别是二氧化碳)的排放量的一种生活方式。
一些常见的二氧化碳排放量计算公式如下表所示：
二氧化碳排放量/kg 计算公式
家居用电 用电量（单位：kW·h）×0.785
开私家车（燃油车） 耗油量（单位：L）×2.7
家用天然气 用气量（单位：m ）×0.19
家用自来水 用水量（单位：m ）×0.91
（1）用字母表示家居用电的二氧化碳排放量的公式__y = 0.785x__，其中的字母表示_用电量（x）和二氧化碳排放量（y）_。
（2）在上述关系式中，用电量每增加1kW·h，二氧化碳排放量增加_0.785kg_。当用电量从1kW·h增加到100kW·h时，二氧化碳排放量从_0.785kg增加到_78.5kg__。
（3）小明家本月用电大约110kW·h、天然气20m 、自来水5t、耗油75L，请你计算一下小明家这几项的二氧化碳排放量总和。
解：110×0.785+20×0.19+5×0.91+75×2.7=86.35+3.8+4.55+202.5=297.2（kg）。
答：小明家这几项的二氧化碳排放量总和是297.2kg。
[针对练习]
1.变量x与y之间的关系式是y=x2－3，当自变量x=2时，因变量y的值是( C )
A.－2 B.－1 C.1 D.2
2.如图是一个简单的数值运算程序，当输入x的值为-1时，则输出的数值为__3 _。
3.在关系式s=40t中，当t=1.5时，s=_60_。
三、课堂小结
求变量之间的关系式的“三途径”：
1.根据表格中所列的数据，归纳总结两个变量之间的关系式；
2.利用公式写出两个变量之间的关系式，比如各类几何图形的周长、面积、体积公式等；
3.结合实际问题写出两个变量之间的关系式，比如“销量×(售价－进价)=利润”等。
四、课堂训练
1.如图，长方形铁板的长为a，在左侧截掉一个最大的正方形。若剩余部分的周长为b，则a与b之间的关系可以表示为（　A　）
A．b＝2a B．b＝2a+2 C．b＝4a D．b＝4a﹣4
2.如图，是若干个粗细均匀的铁环最大限度的拉伸组成的链条，已知每个铁环长4厘米，铁环粗0.5厘米。设x个铁环长为y厘米，则y与x之间的关系可以表示为　y＝3x+1　。
3.用100 m长的篱笆在地上围成一个矩形，当矩形的宽由小到大变化时，矩形的面积也随之发生变化。
(1)在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？
(2)设矩形的宽为x(m)，求矩形的面积y(m2)与x的关系式；
(3)当矩形的宽由1 m变化到25 m时，矩形面积由y1(m2)变化到y2(m2)，求y1和y2的值。
解：(1)在这个变化过程中，自变量是矩形的宽，因变量是矩形的面积。
(2)由题意，得y＝x( －x)＝－x2＋50x。
(3)当x＝1时，y1＝－12＋50×1＝49;
当x＝25时，y2＝－252＋50×25＝625。
4.某城市出租车的收费标准为：行车里程在3km以内（含3km）收取车费8元，行车里程超过3km时，超过部分每千米收取车费1.4元。
（1）在这个过程中，自变量和因变量分别是什么？
（2）写出行车里程超过3km时，车费y（元）和行车里程x（km）之间的关系式。
（3）若小明乘坐出租车的车费是15元，则他乘坐了多少千米的里程？
解：（1）在这个过程中，自变量是行车里程，因变量是车费。
（2）根据题意，得y＝8+1.4（x﹣3）＝1.4x+3.8，
故y与x之间的关系式为y＝1.4x+3.8。
（3）将y＝15代入y＝1.4x+3.8，得1.4x+3.8＝15，解得x＝8。
答：他乘坐了8km的里程。
※教学反思※
自变量和因变量是用来描述我们所熟悉的变化的事物以及自然界中出现的一些变化现象的两个重要的量。通过本节课的学习，我们可以更加深刻地体会自变量、因变量之间的关系，培养学生的归纳总结能力，语言表达能力，合作交流以及动手操作能力，为后面的学习打下基础。

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