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第7章 一元一次不等式与不等式组
7.1　不等式及其基本性质
1．了解不等式及其概念，会用不等式表示数量之间的不等关系．
2．理解不等式的解及解集的意义，掌握不等式的基本性质，并能利用不等式的基本性质解决问题．
3．经历现实生活中不等关系的探究过程，感受不等模型在现实生活中的应用，提高观察、分析、归纳的能力．
重点：不等式的概念和不等式的基本性质．
难点：不等式的基本性质3，以及正确分析实际问题中的不等关系并用不等式表示．
　　　　　　　　　　　　　　　　
一、情境导入
有一群猴子，一天结伴去摘桃子．分桃子时，如果每只猴子分3个，那么还剩下59个；如果每只猴子分5个，那么最后一只猴子分得的桃子不够5个．你知道有几只猴子，几个桃子吗？
二、合作探究
探究点一：不等式
【类型一】 不等式的概念
下列各式中：①－3＜0；②4x＋3y＞0；③x＝3；④x2＋xy＋y2；⑤x≠5；⑥x＋2＞y＋3.不等式的个数有(　　)
A．5个 B．4个 C．3个 D．1个
解析：③是等式，④是代数式，没有不等关系，所以不是不等式．不等式有①②⑤⑥，共4个．故选B.
方法总结：本题考查不等式的判定，一般用不等号表示不相等关系的式子是不等式．解答此类题的关键是要识别常见不等号：＞，＜，≤，≥，≠.如果式子中没有这些不等号，就不是不等式．
【类型二】 用不等式表示数量关系
根据下列数量关系，列出不等式：
(1)x与2的和是负数；
(2)m与1的相反数的和是非负数；
(3)a与－2的差不大于它的3倍；
(4)a，b两数的平方和不小于它们的积的两倍．
解析：(1)负数即小于0；(2)非负数即大于或等于0；(3)不大于就是小于或等于；(4)不小于就是大于或等于.
解：(1)x＋2<0.
(2)m－1≥0.
(3)a＋2≤3a.
(4)a2＋b2≥2ab.
【类型三】 实际问题中的不等式
亮亮准备用自己节省的零花钱买一台学生平板电脑．他现在已存有400元，计划从现在起以后每个月节省200元，知道他至少需要1800元，则可以用于计算所需要的月数x的不等式是(　　)
A．200x－400≥1800 B．200x＋400≥1800
C．200x－400≤1800 D．200x＋400≤1800
解析：此题中的不等关系：现在已存有400元，计划从现在起以后每个月节省200元，知道他至少需要1800元．列出不等式200x＋400≥1800.故选B.
方法总结：用不等式表示实际问题中数量关系时，要找准题干中表示不等关系的两个量，并用代数式表示；正确理解题中的关键词，如大于、不大于、小于、不小于、不足、不超过、至少、至多等的含义．
探究点二：不等式的解和解集
下列说法：①x＝0是2x－1＜0的一个解；②x＝－3不是3x－2＞0的解；③－2x＋1＜0的解集是x＞2.其中正确的个数是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：①x＝0时，2x－1＜0成立，所以x＝0是2x－1＜0的一个解；②x＝－3时，3x－2＞0不成立，所以x＝－3不是3x－2＞0的解；③取x＝1，可得－2x＋1＝－1<0，故x＝1是不等式－2x＋1<0的一个解，所以－2x＋1＜0的解集不是x＞2，所以不正确．故选C.
方法总结：判断一个数是不是不等式的解，只要把这个数代入不等式，看是否成立．判断一个不等式的解集是否正确，可通过举反例判断．
探究点三：不等式的性质
【类型一】 比较代数式的大小
根据不等式的性质，下列变形正确的是(　　)
A．由a>b得ac2>bc2
B．由ac2>bc2得a>b
C．由－a>2得a＞－4
D．由2x＋1＞x得x＜－1
解析：A中a>b，c＝0时，ac2＝bc2，故A错误；B中不等式的两边都乘以或除以同一个正数，不等号的符号不改变，故B正确；C中不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，故C错误；D中不等式的两边都加或减同一个整式，不等号的方向不变，故D错误．故选B.
方法总结：本题考查了不等式的性质，注意不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．
【类型二】 把不等式化成“x>a”或“x把下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式：
(1)2x－2<0；
(2)3x－9<6x；
(3)x－2＞x－5.
解析：根据不等式的基本性质，把含未知数项放到不等式的左边，常数项放到不等式的右边，然后把未知数的系数化为1.
解：(1)根据不等式的基本性质1，两边都加上2得2x<2.根据不等式的基本性质2，两边除以2得x<1.
(2)根据不等式的基本性质1，两边都加上9－6x得－3x<9.根据不等式的基本性质3，两边都除以－3得x＞－3.
(3)根据不等式的基本性质1，两边都加上2－x得－x>－3.根据不等式的基本性质3，两边都除以－1得x<3.
方法总结：运用不等式的基本性质进行变形，把不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式时，可以先在不等式两边同时加上一个适当的代数式，使含未知数的项在不等式的左边，常数项在不等式的右边(也可通过移项实现).然后把未知数的系数化为1.
【类型三】 判断不等式变形是否正确
如果不等式(a＋1)x＜a＋1可变形为x＞1，那么a必须满足________．
解析：根据不等式的基本性质可判断，a＋1为负数，即a＋1＜0，可得a＜－1.
方法总结：只有当不等式的两边都乘(或除以)一个负数时，不等号的方向才改变．
三、板书设计
1．不等式
2．不等式的性质
性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；
性质2：不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；
性质3：不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变；
性质4：如果a>b，那么b性质5：如果a>b，b>c，那么a>c.
本节课通过实际问题引入不等式，并用不等式表示数量关系．要注意常用的关键词的含义：负数、非负数、正数、大于、不大于、小于、不小于、不足、不超过，这些关键词中如果含有“不”“非”等文字，一般应包括“＝”，这也是学生容易出错的地方．第7章 一元一次不等式与不等式组
第2课时　一元一次不等式的应用
1．能根据具体问题中的数量关系，建立不等模型，会用一元一次不等式解决实际问题．
2．通过实际问题的解决，能归纳出应用一元一次不等式解决实际问题的一般步骤．
3．经历由实际问题到建立一元一次不等式的数学模型的探索过程，提高分析问题和解决问题的能力．
重点：由实际问题中的不等关系列出不等式．
难点：用一元一次不等式解决实际问题．
　　　　　　　　　　　　　　　　
一、情境导入
如果你要分别购买40元、80元、140元、160元的商品，应该去哪家商店更优惠？
二、合作探究
探究点：列一元一次不等式解决实际问题
【类型一】 商品销售问题
某商品的进价是120元，标价为180元，但销量较小．为了促销，商场决定打折销售，为了保证利润率不低于20%，那么最多可以打几折出售此商品？
解析：由题意可知利润率为20%时，获得的利润为120×20%＝24元；若打x折该商品获得的利润＝该商品的标价×－进价，即该商品获得的利润＝180×－120，列出不等式，解得x的值即可．
解：设可以打x折出售此商品，由题意得
180×－120≥120×20%.
解之得x≥8.
答：最多可以打8折出售此商品．
方法总结：商品销售问题的基本关系是：售价－进价＝利润．读懂题意列出不等关系式求解是解题关键．
【类型二】 竞赛积分问题
某次知识竞赛共有25道题，答对一道得4分，答错或不答都扣2分．小明得分要超过80分，他至少要答对多少道题？
解析：设小明答对x道题，则答错或不答的题数为(25－x)，根据得分要超过80分，列出不等关系式，求解即可．
解：设小明答对x道题，则他答错或不答的题数为(25－x).根据他的得分要超过80分，得
4x－2(25－x)＞80，
解这个不等式，得x＞21.
因为x应是整数而且不能超过25，所以小明至少要答对22道题．
答：小明至少要答对22道题．
方法总结：竞赛积分问题的基本关系是：得分－扣分＝最后得分．本题涉及不等式的整数解，取整数解时要注意关键词：“至多”“至少”等．
【类型三】 安全问题
在一次爆破中，用一条1 m长的导火索来引爆炸药，导火索的燃烧速度为0.5 cm/s，引爆员点着导火索后，至少以每秒多少米的速度才能跑到600 m以外(包括600 m)的安全区域？
解析：本题首先依题意可得出不等关系即引爆员所跑路程大于等于600米，然后列出不等式为x≥600，解出不等式即可．
解：设引爆员以每秒x m的速度能跑到600 m以外(包括600 m)的安全区域.0.5 cm/s＝0.005 m/s，
依题意可得x≥600，
解得x≥3，
答：引爆员点着导火索后，至少以每秒3 m的速度才能跑到600 m以外(包括600 m)的安全区域．
方法总结：题中的“至少”是建立不等式的关键词，也是列不等式的依据．
【类型四】 分段计费问题
小明家每月水费都不少于15元，自来水公司的收费标准如下：若每户每月用水不超过5立方米，则每立方米收费1.8元；若每户每月用水超过5立方米，则超出部分每立方米收费2元，小明家每月用水量至少是多少？
解析：当每月用水5立方米时，花费5×1.8＝9元，则可知小明家每月用水超过5立方米，设每月用水x立方米，则超出(x－5)立方米，根据题意超出部分每立方米收费2元，列一元一次不等式求解即可．
解：设小明家每月用水x立方米．
∵5×1.8＝9＜15，
∴小明家每月用水超过5立方米，
则超出(x－5)立方米，按每立方米2元收费，
列出不等式为5×1.8＋(x－5)×2≥15，
解不等式得x≥8.
答：小明家每月用水量至少是8立方米．
方法总结：分段计费问题中的费用一般包括两个部分：基本部分的费用和超出部分的费用．根据费用之间的关系建立不等式求解即可．
【类型五】 调配问题
有10名菜农，每人可种甲种蔬菜3亩或乙种蔬菜2亩，已知甲种蔬菜每亩可收入0.5万元，乙种蔬菜每亩可收入0.8万元，要使总收入不低于15.6万元，则最多只能安排多少人种甲种蔬菜？
解析：设安排x人种甲种蔬菜，则种乙种蔬菜为(10－x)人．甲种蔬菜有3x亩，乙种蔬菜有2(10－x)亩．再列出不等式求解即可．
解：设安排x人种甲种蔬菜，则种乙种蔬菜为(10－x)人．
根据题意得0.5×3x＋0.8×2(10－x)≥15.6，
解得x≤4.
答：最多只能安排4人种甲种蔬菜．
方法总结：调配问题中，各项工作的人数之和等于总人数．
【类型六】 方案决策问题
为了保护环境，某企业决定购买10台污水处理设备．现有A、B两种型号的设备，其中每台的价格、月处理污水量及年消耗费如下表．经预算，该企业购买设备的资金不高于105万元．
A型 B型
价格(万元/台) 12 10
处理污水量(吨/月) 240 200
年消耗费(万元/台) 1 1
　　(1)请你设计该企业有几种购买方案；
(2)若企业每月产生的污水量为2040吨，为了节约资金，应选择哪种购买方案？
解析：(1)设购买污水处理设备A型x台，则B型为(10－x)台，列出不等式求解即可，x的值取整数；
(2)根据图表中数据列出不等式求解，再根据x的值选出最佳方案．
解：(1)设购买污水处理设备A型x台，则B型为(10－x)台．
12x＋10(10－x)≤105，解得x≤2.5.
∵x取非负整数，∴x可取0，1，2.
有三种购买方案：购A型0台，B型10台；A型1台，B型9台；A型2台，B型8台；
(2)240x＋200(10－x)≥2040，解得x≥1，
∴x为1或2.
当x＝1时，购买资金为12×1＋10×9＝102(万元)；
当x＝2时，购买资金为12×2＋10×8＝104(万元).
答：为了节约资金，应选购A型1台，B型9台．
方法总结：此题将现实生活中的事件与数学思想联系起来，属于最优化问题，在确定最优方案时，应把几种情况进行比较，找出最大或最小，然后根据题目要求进行选择．
三、板书设计
应用一元一次不等式解决实际问题的步骤：
―→　―→　
本节课通过实例引入，激发学生的学习兴趣，让学生积极参与课堂学习，讲练结合，引导学生找不等关系列不等式．在教学过程中，可通过类比列一元一次方程解决实际问题的应用题来学习，让学生认识到列方程与列不等式的区别与联系．第7章 一元一次不等式与不等式组
第2课时　解复杂的一元一次不等式组及不等式组的应用
1．巩固一元一次不等式组的解法，会正确、熟练的解较复杂的一元一次不等式组．
2．经历对实际问题中不等关系的探究过程，挖掘题中的不等关系，通过“辨”与“辩”，获得数学活动经验．
重点：熟练、正确的解较复杂的一元一次不等式组．
难点：运用不等式组解决问题．
　　　　　　　　　　　　　　　　
一、情境导入
3个生产小组计划在10天内生产500件产品(每天生产量相同)，按照原来的生产速度，不能在计划时间内完成任务；如果每个小组比原计划每天多生产一件产品，就能提前完成任务．
你能根据以上信息求出每个小组原来每天的生产量吗？今天我们就要学习运用一元一次不等式组解决实际问题．
二、合作探究
探究点一：解复杂的一元一次不等式组
【类型一】 解一元一次不等式组
解下列不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来．
(1)
(2)
解析：先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求它们的公共部分．
解：(1)解不等式①，得x≥2，解不等式②，得x＞2，所以原不等式组的解集为x＞2.将不等式组的解集在数轴上表示如下：
(2)
解不等式①，得x＞1，解不等式②，得x≤4，
所以原不等式组的解集是1＜x≤4.
将不等式组的解集表示在数轴上表示如下：
方法总结：解一元一次不等式组的一般步骤是：先分别求出不等式组中每一个不等式的解集，并把它们的解集在数轴上表示出来，然后利用数轴确定这几个不等式解集的公共部分；也可利用口诀确定不等式组的解集．
【类型二】 求一元一次不等式组的特殊解
求不等式组的整数解．
解析：分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，在其公共解集内找出符合条件的x的整数值即可．
解：
解不等式①，得x≤2，解不等式②，得x＞－3.
所以原不等式组的解集为－3＜x≤2，x的整数解为－2，－1，0，1，2.
方法总结：求不等式组的特殊解时，先解每一个不等式，求出不等式组的解集，然后根据题目要求确定特殊解．确定特殊解时也可以借助数轴．
【类型三】 根据一元一次不等式组的解集求字母的取值范围
若不等式组无解，则实数a的取值范围是(　　)
A．a≥－1 B．a＜－1
C．a≤1 D．a≤－1
解析：解第一个不等式得x≥－a，解第二个不等式得x＜1.因为不等式组无解，故－a≥1，解得a≤－1.故选D.
方法总结：根据不等式组的解集求字母的取值范围，可按以下步骤进行：①解每一个不等式，把解集用数字或字母来表示；②根据已知条件即不等式组的解集情况，列出新的不等式．这时一定要注意是否包括边界点，可以进行检验，看有无边界点是否满足题意；③解这个不等式，求出字母的取值范围．
探究点二：一元一次不等式组的应用
某地区发生严重旱情，为了保障人畜饮水安全，急需饮水设备12台，现有甲、乙两种设备可供选择，其中甲种设备的购买费用为4000元/台，安装及运输费用为600元/台；乙种设备的购买费用为3000元/台，安装及运输费用为800元/台，若要求购买的费用不超过40000元，安装及运输费用不超过9200元，则可购买甲、乙两种设备各多少台？
解析：根据“购买的费用不超过40000元”“安装及运输费用不超过9200元”作为不等关系列不等式组，求其整数解即可．
解：设购买甲种设备x台，则购买乙种设备(12－x)台，购买设备的费用为[4000x＋3000(12－x)]元，安装及运输费用为[600x＋800(12－x)]元，根据题意得
解得2≤x≤4，由于x取整数，所以x＝2，3，4.
答：有三种方案：①购买甲种设备2台，乙种设备10台；②购买甲种设备3台，乙种设备9台；③购买甲种设备4台，乙种设备8台．
方法总结：列不等式组解应用题时，一般只设一个未知数，找出两个或两个以上的不等关系，相应地列出两个或两个以上的不等式组成不等式组求解．在实际问题中，大部分情况下应求整数解．
三、板书设计
1．解复杂的一元一次不等式组
解题步骤：(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集；(2)确定这些解集的公共部分．
2．一元一次不等式组的应用
抓住关键词语，确定不等关系．
利用一元一次不等式组解应用题关键是找出所有可能表达题意的不等关系，再根据各个不等关系列出相应的不等式，组成不等式组．在教学时要让学生养成检验的习惯，感受运用数学知识解决问题的过程，提高实际操作能力．第7章 一元一次不等式与不等式组
7.2　一元一次不等式
第1课时　一元一次不等式的概念及解法
1．了解一元一次不等式的概念，知道解一元一次不等式的一般步骤．
2．会解一元一次不等式，能在数轴上表示不等式的解集．
3．类比解一元一次方程的步骤与方法，归纳出解一元一次不等式的步骤与方法，培养自学能力和归纳能力．
重点：解一元一次不等式并用数轴表示其解集．
难点：不等式基本性质3的正确运用．
一、情境导入
　1.什么叫一元一次方程？
　2.解一元一次方程的一般步骤是什么？要注意什么？
　3.如果把一元一次方程中的等号改为不等号，怎样求解？
二、合作探究
探究点一：一元一次不等式的概念
【类型一】 一元一次不等式的识别
下列不等式中，是一元一次不等式的是(　　)
A．5x－2＞0 B．－3＜2＋
C．6x－3y≤－2 D．y2＋1＞2
解析：选项A是一元一次不等式，选项B中含未知数的项不是整式，选项C中含有两个未知数，选项D中未知数的次数是2，故选项B，C，D都不是一元一次不等式，所以选A.
方法总结：如果一个不等式是一元一次不等式，必须满足三个条件：①含有一个未知数；②未知数的最高次数为1；③不等式的两边都是关于未知数的整式．
【类型二】 根据一元一次不等式的概念确定字母的取值范围
已知－x2a－1＋5＞0是关于x的一元一次不等式，则a的值是________．
解析：由－x2a－1＋5＞0是关于x的一元一次不等式得2a－1＝1，计算即可求出a＝1.
探究点二：解一元一次不等式并在数轴上表示其解集
【类型一】 解一元一次不等式
解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来：
(1)2x－3＜；
(2)－≤1.
解析：先去分母，再去括号、移项、合并同类项，系数化为1，求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．
解：(1)去分母，得3(2x－3)＜x＋1，
去括号，得6x－9＜x＋1，
移项，合并同类项，得5x＜10，
系数化为1，得x＜2.
不等式的解集在数轴上表示如下：
(2)去分母，得2(2x－1)－(9x＋2)≤6，
去括号，得4x－2－9x－2≤6，
移项，得4x－9x≤6＋2＋2，
合并同类项，得－5x≤10，
系数化为1，得x≥－2.
不等式的解集在数轴上表示如下：
方法总结：在数轴上表示不等式的解集时，一要把点找准确，二要找准方向，三要区别实心圆点与空心圆圈.
【类型二】 根据一元一次不等式的解集求待定系数
已知不等式x＋8＞4x＋m(m是常数)的解集是x＜3，求m的值．
解析：先解不等式x＋8＞4x＋m，再列方程求解．
解：因为x＋8＞4x＋m，
所以x－4x＞m－8，－3x＞m－8，x＜－(m－8).
因为其解集为x＜3，
所以－(m－8)＝3，解得m＝－1.
方法总结：已知解集求字母系数的值，通常是先解含有字母的不等式，再利用解集的唯一性列方程求字母的值．解题过程体现了方程思想．
【类型三】 求一元一次不等式的特殊解
当y为何值时，代数式的值不大于代数式－的值？并求出满足条件的最大整数．
解析：根据题意列出不等式≤－，再求出解集，然后找出符合条件的最大整数．
解：依题意，得≤－，
去分母，得4(5y＋4)≤21－8(1－y)，
去括号，得20y＋16≤21－8＋8y，
移项，得20y－8y≤21－8－16，
合并同类项，得12y≤－3，
把y的系数化为1，得y≤－.
y≤－在数轴上表示如下：
由图可知，满足条件的最大整数是－1.
方法总结：求不等式的特殊解，先要准确求出不等式的解集，然后确定特殊解．在确定特殊解时，一定要注意是否包括端点的值，一般可以结合数轴，形象直观，一目了然．
三、板书设计
1．一元一次不等式的概念
2．解一元一次不等式并在数轴上表示其解集
一元一次不等式的一般解法：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)化系数为1(系数为负数时改变不等号方向).
本节课通过类比一元一次方程的解法得到一元一次不等式的解法，让学生感受到解一元一次不等式与解一元一次方程只是在两边都除以未知数的系数这一步时有所不同：如果这个系数是正数，不等号的方向不变；如果这个系数是负数，不等号的方向改变．这也是这节课学生容易出错的地方．教学时要大胆放手，不要怕学生出错，要通过学生犯的错误引起学生注意，理解产生错误的原因，以便在以后的学习中避免出错．第7章 一元一次不等式与不等式组
7．3　一元一次不等式组
第1课时　一元一次不等式组及解简单的一元一次不等式组
1．了解一元一次不等式组的概念，理解一元一次不等式组的解集的意义．
2．会解简单的一元一次不等式组，能借助数轴正确表示一元一次不等式组的解集．
3．经历探讨一元一次不等式组的解法及解集确定的过程，渗透数形结合的思想方法，感受类比与化归的思想．
重点：一元一次不等式组的解集和解法．
难点：一元一次不等式组解集的确定．
　　　　　　　　　　　　　　　　
一、情境导入
如图，小红现有两根小木棒，长度分别为20 cm和40 cm，她想再找一根木棒来拼接成一个三角形，那么她所寻找的第三根木棒的长度应符合什么条件呢？
二、合作探究
探究点一：一元一次不等式组的概念
判断下列式子中，哪些是一元一次不等式组？
(1)　(2)　(3)　(4)　(5)
解析：根据一元一次不等式组的定义作答．
解：(1)中x＝42是方程，不是不等式，故不是一元一次不等式组；(2)中x2＜81是一元二次不等式，故不是一元一次不等式组；(3)符合一元一次不等式组的定义，是一元一次不等式组；(4)含有两个未知数，是二元一次不等式组，故不是一元一次不等式组；(5)符合一元一次不等式组的定义，是一元一次不等式组．综上所述，(3)(5)是一元一次不等式组．
方法总结：一元一次不等式组中含有两个或两个以上的不等式，不等式中的未知数相同，并且未知数的最高次数是一次．熟练掌握定义并灵活运用是解题的关键．
探究点二：一元一次不等式组的解集
不等式组的解集在数轴上表示为(　　)
解析：把不等式组中每个不等式的解集在数轴上表示出来，它们的公共部分是1≤x＜3.故选C.
方法总结：利用数轴确定不等式组的解集，如果不等式组由两个不等式组成，其解集的公共部分在数轴上方应当是有两根横线穿过．
探究点三：解简单的一元一次不等式组
解下列不等式组：
(1)
(2)2x＋3＜4(x－1)＋3≤3x＋2.
解析：先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可．
解：(1)解不等式①，得x＜2，解不等式②，得x＞－4，∴原不等式组的解集为－4＜x＜2.
(2)不等式组可化为解不等式①，得x＞2，解不等式②，得x≤3，∴原不等式组的解集是2＜x≤3.
方法总结：解一元一次不等式组，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
三、板书设计
解一元一次不等式组是建立在解一元一次不等式的基础之上，解不等式组时，先解每一个不等式，再确定各个不等式的解集的公共部分，学生的易错点在确定不等式的解集，教学中可以把利用数轴与利用口诀确定不等式组的解集结合起来，互相验证．

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