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第4章　平面内的两条直线
4.2　 平移
1．通过具体实例认识平移，知道平移不改变图形的形状和大小．
2．认识和欣赏平移在现实生活中的应用．
重点：图形平移的特征．
难点：理解平移不改变图形的形状和大小．
一、情境导入
如图，高铁在笔直的铁轨上向前运行，它的形状和大小发生了变化吗？
二、合作探究
探究点一：平移的概念
【类型一】 生活中的平移
下面生活中的物体的运动情况可以看成平移的是(　　)
A．摆动的钟摆
B．在笔直的铁路上行驶的火车
C．随风摆动的旗帜
D．汽车玻璃上雨刷的运动
解析：选项A，C，D中图形的所有点不是按同一方向移动相同的距离，所以不是平移．选项B符合平移的条件，故选B.
方法总结：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，图形的这种移动叫做平移．注意平移是图形整体沿某一直线方向移动．图形绕某一点的旋转不是平移．
【类型二】 图形平移的判断
下列哪个图形是由左图平移得到的(　　)
解析：只有选项C是平移得到的，故选C.
方法总结：本题考查了图形的平移，图形的平移是沿着某一直线方向移动只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小．
【类型三】 求平移的距离
如图，三角形ABC沿BC方向平移到三角形DEF的位置，若EF＝7 cm，CE＝3 cm，求平移的距离．
解析：平移的距离可以看作是线段CF的长．
解：观察图形可知，平移的距离可以看作是线段CF的长．因为EF＝7 cm，CE＝3 cm，所以平移的距离为CF＝EF－EC＝7－3＝4(cm).
方法总结：平移既能产生线段相等，又能产生线段平行，平移前后的两个图形中，对应角相等，对应线段平行(或在同一条直线上)且相等．
探究点二：平移的性质
如图，已知△ABC的面积为16，BC的长为8，现将△ABC沿BC向右平移m个单位长度到△A′B′C′的位置．若四边形ABB′A′的面积为20，求m的值．
解析：首先根据三角形的面积，求出△ABC的边BC上的高；然后根据平行四边形的面积，求出BB′的值，即可求出m的值．
解：设△ABC的边BC上的高为h，
则平行四边形ABB′A′的边BB′上的高为h.
∵△ABC的面积为16，BC＝8，
∴×BC×h＝16.
∴×8×h＝16，解得h＝4.
又∵四边形ABB′A′的面积为20，
∴BB′×4＝20.
∴BB′＝20÷4＝5.
∴m＝BB′＝5.
即m的值是5.
方法总结：(1)此题主要考查了平移的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行(或在同一条直线上)且相等．(2)此题还考查了三角形、平行四边形的面积的求法，要熟练掌握．
探究点三：平移的作图
将图中的三角形ABC向右平移6格．
解析：分别作出点A，B，C三点向右平移6格后的对应点A′，B′，C′，再顺次连接即可．
解：如图所示．
方法总结：(1)平移的作图要注意两个方面：平移的方向和平移的距离；(2)作直线型图形平移后的图形，关键是作出平移后的关键点的对应点．
三、板书设计
平移
本节课通过生活中的实例引入平移的概念，在学习中，引导学生观察、分析、概括得出平移的性质，并通过例题和练习加深对平移性质的理解．平移的作图是本节课的重点，应让学生加强训练，结合解题中的错误分析原因．第4章　平面内的两条直线
4.5 第1课时　垂线
1．了解互相垂直的有关概念．
2．掌握垂线的有关性质并会用它们解答简单的几何问题.
3．在观察、测量、画图等教学活动中，经历认识垂线的过程.
4．联系生活实际理解垂线的意义，感受数学与生活的联系，体验数学来源于生活又回到生活的过程．
重点：理解垂线的概念并会用它们解答简单的几何问题.
难点：垂线的概念及垂线与平行线的综合运用．
一、情境导入
如图是我们教室的一幅图片，黑板相邻两边的夹角等于多少度？这样的两条边所在的直线有什么位置关系？
二、合作探究
探究点一：垂线
【类型一】 垂直与方程综合求角的度数
如图，MO⊥NO，OG平分∠MOP，∠PON＝3∠MOG，求∠GOP的度数．
解析：由于∠PON＝3∠MOG，若设∠MOG＝x°，则∠PON＝3x°.OG平分∠MOP可得∠POG＝x°.又由于MO⊥NO，利用∠MON＋∠MOG＋∠GOP＋∠PON＝360°可列出关于x的方程，从而求得x的值，进而解决问题．
解：设∠MOG＝x°，则∠PON＝3∠MOG＝3x°.
因为MO⊥NO，所以∠MON＝90°.
因为OG平分∠MOP，
所以∠GOP＝∠MOG＝x°.
因为∠MON＋∠MOG＋∠GOP＋∠PON＝360°，
所以90＋x＋x＋3x＝360，解得x＝54.
所以∠GOP＝54°.
方法总结：当题目中出现形如“∠α＝k∠β”，“∠α∶∠β＝k∶1”这类等式的时候，常考虑设未知数，然后设法找出一个相等关系列出关于未知数的方程，从而解决问题．
【类型二】 利用垂线的概念判断直线垂直
如图所示，已知OA⊥OC于点O，∠AOB＝∠COD，试判断OB和OD的位置关系，并说明理由．
解析：由于OA⊥OC，根据垂直的定义，可知∠AOC＝90°，即∠AOB＋∠BOC＝90°.又∵∠AOB＝∠COD，则∠COD＋∠BOC＝90°，即∠BOD＝90°，再根据垂直的定义，得出OB⊥OD.
解：OB⊥OD.理由如下：
因为OA⊥OC，
所以∠AOC＝90°，
即∠AOB＋∠BOC＝90°.
因为∠AOB＝∠COD，
所以∠COD＋∠BOC＝90°.
所以∠BOD＝90°.
所以OB⊥OD.
方法总结：由垂直这一条件可得两条直线相交构成的四个角为直角，反过来，由两条直线相交构成的角为直角，可得这两条直线互相垂直．判断两条直线垂直最基本的方法就是说明这两条直线的夹角等于90°.
探究点二：垂线的性质
【类型一】 利用垂线的性质判断两直线平行
已知：如图，CD⊥AB于D，点E为BC边上的任意一点，EF⊥AB于F，且∠1＝∠2，那么BC与DG平行吗？请说明理由．
解析：要说明BC∥DG，可说明∠2＝∠BCD，而∠1＝∠2，故只需说明∠1＝∠BCD，这可由EF与CD都与AB垂直，从而得出EF与CD平行而得到．
解：BC∥DG.理由如下：
因为CD⊥AB，EF⊥AB，
所以CD∥EF.
所以∠1＝∠BCD(两直线平行，同位角相等).
又因为∠1＝∠2(已知)，
所以∠2＝∠BCD.
所以BC∥DG(内错角相等，两直线平行).
方法总结：要说明两直线平行，除可根据同位角、内错角、同旁内角判定外，还可由垂线的性质得到平行.
【类型二】 利用垂线的性质判断两直线垂直
已知：如图，DG⊥BC，AC⊥BC，EF⊥AB，∠1＝∠2，试说明：CD⊥AB.
解析：由DG⊥BC，AC⊥BC可得DG∥AC，再结合已知条件可得出EF∥DC，而EF⊥AB，从而有CD⊥AB.
解：∵DG⊥BC，AC⊥BC，
∴DG∥AC.
∴∠2＝∠3.
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3.
∴EF∥DC.
∵EF⊥AB，
∴DC⊥AB.
方法总结：判断两条直线垂直的方法有两种：①根据垂直的定义，说明相交所成四个角中有一个角为直角；②利用垂线的性质“在同一平面，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么这条直线垂直于另一条”．
三、板书设计
垂线
本节课学习了垂线的概念和垂线的性质，垂直是相交的一种特殊情况，要说明两条相交线的位置关系，一般都是垂直(如本节课的例2).垂线的两条性质中，不要遗漏条件“在同一平面内”，以保证定理的精确性．对于垂线的概念和性质，要让学生理解记忆．第4章　平面内的两条直线
第1课时　平行线的判定方法1
1．掌握平行线的判定方法1，并学会运用．
2．会用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线，并能理解这种画法的理论依据．
3．通过对平行线的判定方法的推理过程的学习，培养学生进行数学推理的习惯和方法，同时提高学生“观察——推理——论证”的能力．
重点：能用平行线的判定方法1判定两条直线平行．
难点：平行线的判定方法1的探究与推理论证．
一、情境导入
前面我们学行线的性质，知道两直线平行，同位角相等．如果已知同位角相等，那么这两条直线平行吗？
二、合作探究
探究点一：平行线的判定方法1
如图，直线AB，CD分别与EF相交于点G，H，若∠1＝70°，∠2＝70°，试说明：AB∥CD.
解析：要说明AB∥CD，可转化为说明∠1与其同位角相等，∠1的同位角又是∠2的对顶角．
解：因为∠2＝∠EHD(对顶角相等)，∠2＝70°，
所以∠EHD＝70°.
因为∠1＝70°，
所以∠EHD＝∠1.
所以AB∥CD(同位角相等，两直线平行).
方法总结：要说明两条直线平行，到目前为止我们学过的主要有两种方法：①同位角相等；②平行线的基本事实或推论．
探究点二：平行线的判定方法1与性质的综合运用
如图，已知AB∥DC，∠D＝125°，∠CBE＝55°，AD与BC平行吗？为什么？
解析：根据AB∥DC及∠D＝125°，可求出∠A的度数，从而说明∠A＝∠CBE.再根据同位角相等，两直线平行可得AD∥BC.
解：AD∥BC.理由如下：
因为AB∥DC(已知)，
所以∠A＋∠D＝180°(两直线平行，同旁内角互补).
因为∠D＝125°(已知)，
所以∠A＝180°－∠D＝180°－125°＝55°.
因为∠CBE＝55°(已知)，
所以∠A＝∠CBE.
所以AD∥BC(同位角相等，两直线平行).
方法总结：本题综合运用了平行线的性质和判定，由两直线平行得出同旁内角互补(这是平行线的性质)，从而说明同位角相等，得到两直线平行(这是平行线的判定).解题时不可混淆了性质和判定．
三、板书设计
平行线的判定方法1：同位角相等，两直线平行．
解几何题时，重在分析，应结合图形分析题目给出的已知条件．本节课的易错点是学生容易混淆平行线的判定和性质，应着重强调．由角之间的关系得到平行，这是平行线的判定；由平行得到角之间的关系，这是平行线的性质．第4章　平面内的两条直线
4.1.1 平行线
1．理解平行线的意义，了解同一平面内两条直线的位置关系．
2．理解并掌握过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行及直线平行关系的传递性等内容，学生在探索学习的过程中，学习用数学的眼光观察生活，掌握知识．
3．会根据几何语言画图，会用直尺和三角板画平行线．
重点：平行线的概念与平行线的基本事实．
难点：对平行线的基本事实及直线平行关系的传递性的理解.
一、情境导入
观察下图，把铁轨看作一条直线，图中有哪些不同的位置关系？
二、合作探究
探究点一：平行线的概念
下列说法中，(1)在同一平面内不相交的两条线段必平行；(2)在同一平面内不相交的两条直线必平行；(3)在同一平面内不平行的两条线段必相交；(4)在同一平面内不平行的两条直线必相交．正确的个数有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析：线段不相交，延长后不一定不相交，(1)错误；同一平面内，直线只有平行或相交两种位置关系，故(2)(4)都正确；线段是有长度的，不平行也可以不相交，(3)错误；故选B.
方法总结：①线段、射线的平行是指它们所在的直线平行，在同一平面内，没有公共点的两条线段、射线可能平行，也可能不平行；②“在同一平面内”这一条件排除了立体图形的可能．
探究点二：同一平面内两条直线的位置关系
任意画三条不重合的直线，交点的个数是(　　)
A.1 B．1或3
C．0或1或2或3 D．不能确定
解析：在平面上任意画三条直线，相交的情况有四种可能．①三条直线平行，没有交点；②三条直线相交于一点，一个交点；③两直线平行被第三直线所截，得到两个交点；④两直线相交，得到一个交点，又被第三直线所截，共三个交点．故选C.
方法总结：在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有两种：相交与平行．本题考查直线的相交情况，要注意分情况讨论，做到不重不漏．
探究点三：平行线的基本性质
类型一】 对平行线的基本事实的理解
下列说法正确的是(　　)
A．经过一点有一条直线与已知直线平行
B．经过一点有无数条直线与已知直线平行
C．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行
D．经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
解析：根据平行线的基本事实：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，可判断只有D选项正确.
方法总结：理解并掌握平行线的基本事实是解题的基础．
【类型二】 平行线的基本事实的运用
如图，如果CD∥AB，CE∥AB，那么C，D，E三点是否共线？你能说明理由吗？
解析：根据“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”解答．
解：C，D，E三点共线．理由如下：
因为过直线AB外一点C有且只有一条直线与AB平行，CD，DE都经过点C且与AB平行，
所以点C，D，E三点共线．
方法总结：“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”是我们后续学习中证明平行线的原始依据.
三、板书设计
从生活中的实例出发引出相交线与平行线的概念，通过观察分析引导学生正确理解平行线的基本事实和推论．本节课重在对知识的理解，教学时注意结合图形．第4章　平面内的两条直线
4.1.2 相交直线所成的角
1．能通过对顶角的定义正确辨认对顶角，并通过对顶角相等解决实际问题，体会数学在生活中的应用．
2．能通过两个角的位置关系正确辨认同位角、内错角、同旁内角．
3．通过观察、探究、辨别同位角、内错角、同旁内角，培养对图形的辨别能力、推理能力和表达能力．
重点：区别“两条直线相交”和“两条直线被第三条直线所截”；同位角、内错角及同旁内角的位置特征．
难点：准确地找出两条直线被第三条直线所截而构成的8个角之间的关系，用对顶角相等及等量代换得到它们之间的等量关系．
一、情境导入
如图，两条相交的公路构成四个角，这些角之间有什么关系？
二、合作探究
探究点一：对顶角的识别
下列图形中∠1与∠2互为对顶角的是(　　)
解析：观察∠1与∠2的位置特征，只有C中∠1和∠2同时满足有公共顶点，且∠1的两边是另一个角∠2两边的反向延长线．故选C.
方法总结：判断对顶角只看两点：①有公共顶点；②一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线.
探究点二：对顶角的性质
【类型一】 直接求角度
如图，直线AB，CD，EF相交于点O，∠1＝40°，∠BOC＝110°，求∠2的度数．
解析：结合图形，由∠1和∠BOC求得∠BOF的度数，根据对顶角相等可得∠2的度数．
解：因为∠1＝40°，∠BOC＝110°(已知)，
所以∠BOF＝∠BOC－∠1＝110°－40°＝70°.
因为∠BOF＝∠2 (对顶角相等)，
所以∠2＝70°(等量代换).
方法总结：两条相交直线可构成对顶角，这时应注意“对顶角相等”这一隐含的结论．在图形中正确找到对顶角，利用角的和差及平角等关系找到角的等量关系，然后结合已知条件进行转化．
【类型二】 结合方程思想求角度
如图，直线AC，EF相交于点O，OD是∠AOB的平分线，OE在∠BOC内，∠BOE＝∠EOC，∠DOE＝72°，求∠AOF的度数．
解析：已知量与未知量的关系较复杂，所以想到列方程解答，根据观察可设∠BOE＝x，则∠AOF＝∠EOC＝2x，则可根据对顶角和邻补角找到等量关系，列方程．
解：设∠BOE＝x，
则∠AOF＝∠EOC＝2x.
∵∠AOB与∠BOC互为邻补角，
∴∠AOB＝180°－3x.
∵OD平分∠AOB，
∴∠DOB＝∠AOB＝90°－x.
∵∠DOE＝72°，
∴90°－x＋x＝72°，解得x＝36°.
∴∠AOF＝2x＝72°.
方法总结：在相交线中求角的度数时，就要考虑使用对顶角相等或邻补角互补的性质．若已知关系较复杂，比如出现比例或倍分关系时，可列方程解决角度问题.
探究点三：同位角、内错角、同旁内角的识别
如图，找出图中∠DEA，∠ADE的同位角、内错角和同旁内角．
解析：结合图形，找出“三线八角”．
解：图中∠DEA的同位角为∠C、内错角为∠BDE、同旁内角为∠A或∠ADE；
∠ADE的同位角为∠B、内错角为∠CED、同旁内角为∠AED或∠A.
方法总结：两个角的公共边所在直线为截线，其余两边所在直线是被截的两直线，在截线的同旁找同位角和同旁内角，在截线的两旁找内错角．
三、板书设计
1．对顶角
(1)概念；
(2)性质：对顶角相等．
2．“三线八角”：同位角、内错角、同旁内角
名称 同位角 内错角 同旁内角
基本 图形
与截线的 位置关系 同旁 两旁 同旁
与被截 线的位 置关系 同一方向 内部 内部
图象 形状 “F”型 “Z”型 “U”型
本节课学习了两个内容：对顶角及其性质和认识同位角、内错角、同旁内角．教学中可让学生自己画这些角，结合图形说出这些角的特征．“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角的识别是难点也是易错点，让学生在学习中不断纠错，不断进步．第4章　平面内的两条直线
4.5 第2课时　垂线段与点到直线的距离
1．理解垂线的性质并会过一点画已知直线的垂线．
2．了解垂线、垂线段、点到直线的距离这几个概念，掌握垂线段的性质．
3．通过画图等活动，经历探索、发现垂线的性质的过程，提高观察水平和空间想象能力，发展几何语言表达能力.
重点：过一点画已知直线的垂线；垂线段的性质、点到直线的距离的概念及其简单应用．
难点：垂线的画法及垂线段最短的理解与应用．
一、情境导入
如图，要想从图中的点P处修一条小路与公路相连，应怎样修才能使路程最短？
二、合作探究
探究点一：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
如图，已知ON垂直于直线l，OM垂直于直线l，所以OM与ON重合，其理由是(　　)
A.两点确定一条直线
B．在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．在同一平面内，过一点只能作一条直线
D．垂线段最短
解析：A.点M，N可以确定一条直线，但不可以确定三点O，M，N都在直线l的垂线上，故本选项错误；B.直线OM，ON都经过一个点O，且都垂直于直线l，故本选项正确；C.在同一平面内，过直线外一点只能作一条垂线，但可作无数条直线，故本选项错误；D.此题没涉及线段的长度，故本选项错误．故选B.
方法总结：本题考查了垂直的定义、两点确定一条直线、垂线段最短．正确理解它们的含义是解题的关键．
探究点二：垂线段
【类型一】 垂线段的性质
A为直线l外一点，B为直线l上一点，点A到l的距离为3 cm，则AB________3 cm，根据是________________．
解析：当AB⊥l时，AB为垂线段，垂线段最短，此时AB＝3 cm；当AB与l不垂直时，AB>3 cm，故AB≥3 cm.故答案为≥，垂线段最短．
方法总结：本题是“垂线段最短”的灵活应用题，解答此题时要注意体会从特殊到一般的思维方式的运用．
【类型二】 有关垂线段的作图
如图所示，修一条路从A村到B村，再到公路MN，怎样修才能使所修的路最短？画出线路图，并说明理由．
解析：连接AB，过点B作BC⊥MN即可．
解：连接AB，作BC⊥MN，C是垂足，线段AB和BC就是符合题意的线路图．
因为从A到B，线段AB最短，从B到MN，垂线段BC最短，
所以AB＋BC最短．
方法总结：与垂线段有关的作图，一般是过一点作已知直线的垂线，作图的依据是“垂线段最短”．
探究点三：点到直线的距离
如图，AC⊥BC，AC＝3，BC＝4，AB＝5.
(1)试说出点A到直线BC的距离；点B到直线AC的距离；
(2)点C到直线AB的距离是多少？
解析：(1)点A到直线BC的距离就是线段AC的长；点B到直线AC的距离就是线段BC的长；(2)过点C作CD⊥AB，垂足为D.点C到直线AB的距离就是线段CD的长，可利用面积法求得．
解：(1)点A到直线BC的距离是3；点B到直线AC的距离是4；
(2)过点C作CD⊥AB，垂足为D.S△ABC＝BC·AC＝AB·CD，
所以5CD＝3×4，
所以CD＝.
所以点C到直线AB的距离为.
方法总结：垂线段与点到直线的距离是两个不同的概念，垂线段是一条线段，而点到直线的距离是垂线段的长度．
三、板书设计
1．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
2．垂线段最短
3．点到直线的距离
通过实际生活中的情景引入课题，激发学生的学习兴趣．本节课概念容易混淆，如垂线、垂线段、点到直线的距离等，可结合图形进行说明，帮助学生理解．第4章　平面内的两条直线
4．6　两条平行线间的距离
1．知道两条平行线的所有公垂线段都相等，并理解平行线之间的距离的有关概念．
2．能够将平行线之间的距离转化为点到直线的距离．
3．在探究的过程中，逐步培养合作学习的精神，体验转化的数学思想．
重点：公垂线段定理．
难点：能够利用公垂线段定理解决简单问题．
一、情境导入
如图是两条笔直的铁轨，它们之间的距离处处相等吗？
二、合作探究
探究点一：公垂线段的概念及其性质
如图，点A，B在直线l1上，点C，D在直线l2上，l1∥l2，CA⊥l1，BD⊥l2，AC＝3 cm，则BD＝________cm.
解析：因为l1∥l2，CA⊥l1，BD⊥l2，所以AC，BD是l1与l2的公垂线段．因此AC＝BD，又因为AC＝3 cm，所以BD＝3 cm.故答案为3 cm.
方法总结：两条平行线的所有公垂线段都相等，可利用它求线段长或与线段有关的问题．
探究点二：两条平行线间的距离
【类型一】 两条平行线间的距离
如图，直线AB∥MN∥CD.直线MN上一点P到直线AB，AC，CD的距离相等，即PE＝PF＝PG.直线AB与MN的距离和直线CD与MN的距离相等吗？说明理由．
解析：根据两平行线间的距离的概念可知，直线AB与MN的距离就是点P到AB的距离，直线CD与MN的距离就是点P到CD的距离，故可知所要说明的两个距离相等．
解：相等．理由如下：
因为PE，PG的长分别是直线AB与MN的距离和直线CD与MN的距离，而PE＝PG，
所以直线AB与MN的距离和直线CD与MN的距离相等．
方法总结：我们可以把求两条平行直线的距离转化为求点到直线的距离．
【类型二】 平行线间的距离与分类讨论
已知直线a∥b∥c，a与b的距离是6 cm，a与c的距离是4 cm，求b与c之间的距离．
解析：分两种情况：c在a与b之间与c不在a与b之间．
解：①当c在a与b之间时，c与b的距离为6－4＝2(cm)；
②当c不在a与b之间时，c与b相距为6＋4＝10(cm).
所以b与c之间的距离是2 cm或10 cm.
方法总结：本题考查的是求两条平行线间的距离，注意分类讨论，不要漏解．
三、板书设计
1．公垂线段
(1)概念
(2)性质
2．两条平行线间的距离
本节课通过生活中的实例引入，让学生理解公垂线、公垂线段、两条平行线间的距离等概念，对于没有给出图形的三条平行线，在求距离时要注意分情况讨论，不要漏解．第4章　平面内的两条直线
4.3　 平行线的性质
1．通过对图形的感知，理解平行线的性质，并依据性质进行有关的推理和计算．
2．经历探索平行线性质的过程，掌握平行线的性质，并能解决一些问题．
3．在自己独立思考的基础上，积极参与小组活动．在对平行线的性质进行讨论的过程中，敢于发表自己的看法，并从中获益．
重点：探索并掌握平行线的性质，能用平行线的性质进行简单的推理和计算．
难点：有条理地写出推理的过程．
一、情境导入
窗户内窗的两条竖直的边是平行的，在推动过程中，两条竖直的边与窗户外框形成的两个角∠1，∠2有什么数量关系？
二、合作探究
探究点一：平行线的性质
【类型一】 直接利用平行线的性质求角度
已知：如图，AB∥CD，BE∥DF，∠B＝65°，求∠D的度数．
解析：利用“两直线平行，内错角相等，同旁内角互补”的性质可求出结论．
解：∵AB∥CD，
∴∠BED＝∠B＝65°.
∵BE∥FD，
∴∠BED＋∠D＝180°.
∴∠D＝180°－∠BED＝180°－65°＝115°.
方法总结：已知平行线求角度，应根据平行线的性质得出同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，再结合已知条件进行转化．
【类型二】 角平分线与平行线综合求角度
如图，DB∥FG∥EC，∠ACE＝36°，AP平分∠BAC，∠PAG＝12°，求∠ABD的度数．
解析：先利用GF∥CE，易求∠CAG，而∠PAG＝12°，易求∠PAC.AP是∠BAC的平分线，可求∠BAP，从而可求∠BAG＝36°＋12°＋12°＝60°，根据平行线的性质，即可求∠ABD.
解：∵FG∥EC，
∴∠ACE＝∠CAG＝36°.
∵∠PAC＝∠CAG＋∠PAG，
∴∠PAC＝36°＋12°＝48°.
∵AP平分∠BAC，
∴∠PAC＝∠BAP＝48°.
∵DB∥FG，
∴∠ABD＝∠BAG＝∠BAP＋∠PAG＝48°＋12°＝60°.
方法总结：(1)利用平行线的性质可以得出角之间的相等关系或互补关系，利用角平分线的定义，可以得出角之间的倍分关系；(2)求角的度数，可把一个角转化为一个与它相等的角或转化为已知角的和差．
探究点二：平行线性质的应用
【类型一】 利用平行线的性质解决长方形的折叠问题
把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，ED与BC的交点为G，D，C分别在D′，C′的位置上，如图所示，若∠EFG＝55°，求∠1与∠2的度数．
解析：由∠1＋∠3＋∠4＝180°和∠3＝∠4＝∠EFG＝55°，可求∠1.由AD∥BC，得∠1＋∠2＝180°，可求∠2.
解：由题意可得∠3＝∠4.
因为∠EFG＝55°，AD∥BC，
所以∠3＝∠4＝∠EFG＝55°.
所以∠1＝180°－∠3－∠4＝180°－55°×2＝70°.
又因为AD∥BC，
所以∠1＋∠2＝180°.
所以∠2＝180°－∠1＝180°－70°＝110°.
方法总结：本题考查图形折叠的性质与平行线性质的应用．由图形的折叠能够得到对应图形的对应角相等，对应线段也相等．根据平行线的性质，可以得到角之间的关系．
【类型二】 平行线的性质的实际应用问题
一大门的栏杆如图所示，∠BAE＝90°，CD平行于地面AE，则∠ABC＋∠BCD＝________°.
解析：过B作BF∥AE，则CD∥BF∥AE，∴∠BCD＋∠1＝180°.又∵∠BAE＝90°，BF∥AE，∴∠BAE＋∠ABF＝180°.∴∠ABF＝90°.∴∠ABC＋∠BCD＝90°＋180°＝270°.故答案为270.
方法总结：解本题时既可以过点B作BF∥AE，也可以过点C作CM∥AB，方法不唯一．
三、板书设计
平行线的性质
平行线的性质是几何证明的基础，教学中注意基本的推理格式的书写，培养学生严谨的逻辑思维能力，鼓励学生勇于尝试．在课堂上，力求体现学生的主体地位，把课堂交给学生，让学生在动口、动手、动脑中学数学．第4章　平面内的两条直线
4.4 第2课时　平行线的判定方法2、3
1．了解平行线的判定方法2，3的证明过程．
2．掌握平行线的判定方法2，3，并能正确运用．
3．在数学活动中，体验平行线的判定方法2，3的探索过程，并在学习活动中学会与他人合作、交流．
重点：能用平行线的判定方法2，3判定两条直线平行．
难点：综合运用平行线的判定方法进行推理论证．
一、情境导入
通过上节课的学习，我们知道：同位角相等，两直线平行．如果有内错角相等，这时两条直线平行吗？同旁内角互补呢？
二、合作探究
探究点一：平行线的判定方法2，3
【类型一】 利用一次判定证明平行
如图，BE平分∠ABC，且∠1＝∠2，DE∥BC吗？
解析：结合已知条件说明∠2＝∠EBC，从而可得DE∥BC.
解：DE∥BC.理由如下：因为BE平分∠ABC，所以∠1＝∠EBC.因为∠1＝∠2，所以∠2＝∠EBC.所以DE∥BC.
方法总结：利用角之间的关系说明两直线平行，有三种方法：同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．解题时能正确识别图形中的“三线八角”，是正确答题的关键．只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出被截的两条直线平行．
【类型二】 利用两次判定证明平行
如图，已知∠A＝∠F，∠C＝∠D，试说明：BD∥CE.
解析：由∠A＝∠F，根据“内错角相等，得两条直线平行”，即AC∥DF；根据平行线的性质，得∠C＝∠CEF，借助等量代换可以证明∠D＝∠CEF，从而根据同位角相等，证明BD∥CE.
解：∵∠A＝∠F(已知)，
∴AC∥DF(内错角相等，两直线平行).
∴∠C＝∠CEF(两直线平行，内错角相等).
∵∠C＝∠D(已知)，
∴∠D＝∠CEF(等量代换).
∴BD∥CE(同位角相等，两直线平行).
方法总结：此题综合运用了平行线的判定及性质，比较简单．
探究点二：平行线的判定与性质的综合运用
如图，已知∠A＝∠F，∠DBA＋∠DEC＝180°.试问BD是否与CE平行？为什么？
解析：先由∠A＝∠F可推出DF∥AC，利用平行线的性质结合已知条件，得到∠DBA＝∠C，进而判断出BD∥EC.
解：BD∥EC.理由如下：
因为∠A＝∠F，
所以DF∥AC.
所以∠DEC＋∠C＝180°.
又因为∠DBA＋∠DEC＝180°，
所以∠DBA＝∠C.
所以BD∥EC.
方法总结：由两条直线平行只能得到相应的同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，而要判定两直线平行，只能根据相应的同位角相等或内错角相等或同旁内角互补．
三、板书设计
平行于同一直线的两直线平行
平行线的判定
本节课学行线的判定，平行线的判定与性质是几何的一个重要内容，初学时学生容易混淆．教师应注意引导学生分析，做到言必有据，书写时应体现几何逻辑思维的严密性．让学生从例题和练习中不断感悟．

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