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第5章　轴对称与旋转
5.3 平面图形变换的简单应用
　　　　　　　　　　　　　　　　
1．欣赏图形的平移、轴对称、旋转等变换在现实生活中的应用．
2．使学生加深对图形的平移、旋转和轴对称等图形变换的理解，并能将一些基础的图形经过上述变换设计出一些美丽的图案．
3．经历对典型图案设计意图的分析，进一步发展学生的空间观察能力，增强审美意识，培养学生积极进取的生活态度．
重点：运用图形变换设计图案，熟悉各种图形变换的性质和特征．
难点：运用简单图形进行图形变换，欣赏并设计一些简单的图案．
一、情境导入
请同学们欣赏下列图案：
这些图案很漂亮，它们是怎样设计出来的呢？运用了我们所学过的哪些图形变换的知识？
二、合作探究
探究点一：分析图案的形成
下面的四个图案中，既可用旋转来分析整个图案的形成过程，又可用轴对称来分析整个图案的形成过程的图案有(　　)
A．4个 B．3个
C．2个 D．1个
解析：因为第一个图案可以看做一个以正方形中心和相邻两个顶点形成的三角形，沿着大正方形的对角线所在的直线对折得到的，
也可以看做是以正方形中心和相邻两个顶点形成的三角形，围绕正方形中心顺时针(或逆时针)旋转三次90°得到的；
第二个图案可以看作正方形三个顶点形成的三角形沿着大正方形的对角线所在的直线对折得到的，
也可以看做是正方形三个顶点形成的三角形围绕正方形中心顺时针(或逆时针)旋转180°得到的；
第三个图案是正方形三个顶点形成的三角形沿着大正方形的对角线所在的直线对折得到的，
也可以看做是正方形三个顶点形成的三角形围绕正方形中心顺时针(或逆时针)旋转180°得到的；
第四个图案看做一个小正方形沿着大正方形对边的中点所在的直线对折三次得到的，也可以看做是小正方形围绕大正方形中心顺时针(或逆时针)旋转三次90°得到的．
所以是四个．故选A.
方法总结：图形轴对称的关键是找到对称轴，看沿着对称轴折叠的两个图形是否重合，图形旋转的关键是找到图形的旋转中心、旋转方向和旋转角．
探究点二：设计简单的图案
如图是某设计师在方格纸中设计的图案的一部分，请你帮他完成余下的工作：
(1)将原图形绕点O逆时针旋转90°；
(2)发挥你的想象，进一步设计图案，让图案变得更加美丽．
解析：(1)由将原图形绕点O逆时针旋转90°可得旋转后的图形的边与原图形对应的边垂直且相等，故可画出旋转后的图形；
(2)可把(1)中所得图形继续旋转．
解：(1)如图所示：
(2)如图所示．
方法总结：设计图案时首先要根据条件对图形进行整体构思，确定设计的总体方向，是运用平移、轴对称、旋转还是其中几种的组合．设计的图案要简洁明了，而设计的方案往往是多样的，解题时要充分利用图形的特点和网格．
三、板书设计
本节课由图形欣赏过渡到图案设计，很容易调动学生的学习积极性．课堂上要注意引导学生对图案的分析，通过找基础图形达到化繁为简的目的．对于图案设计，鼓励学生大胆创新，拓宽学生的视野，培养学生的审美感．第5章　轴对称与旋转
5.1.2 轴对称
　
1．理解并掌握轴对称变换的基本性质，并会作轴对称变换.
2．通过对轴对称基本性质的探索过程，培养学生的动手操作能力．
3．感受轴对称在生活中的广泛应用，激发学生学习数学的热情．
重点：探索轴对称变换的性质；能画出简单平面图形关于给定对称轴的对称图形．
难点：轴对称性质的推理．
一、情境导入
如图，将一张长方形的纸对折，然后用笔尖扎出“14”这个数字，将纸打开后铺平：
(1)两个“14”有什么关系？
(2)设折痕所在的直线为l，连接点E和点E′的线段和l有什么关系？
(3)线段AB和A′B′，CD和C′D′有什么关系？
(4)∠1与∠2有什么关系？∠3与∠4呢？
二、合作探究
探究点一：轴对称变换的性质
【类型一】 利用轴对称变换的性质求图形的周长
三角形ABC与三角形DEF是关于直线l成轴对称，且三角形ABC的周长是16 cm，则三角形DEF的周长是(　　)
A．16 cm B．18 cm
C．20 cm D．22 cm
解析：轴对称不改变图形的形状和大小，所以三角形DEF的周长与三角形ABC的周长相等，也是16 cm.故选A.
方法总结：图形经过轴对称变换，长度、角度和面积等都不改变．
【类型二】 利用轴对称变换的性质求角度
如图，把一张长方形的纸沿OG折叠后，B，D两点落在B′，D′点处，若得∠AOB′＝80°，则∠B′OG的度数为________．
解析：根据轴对称的性质可得∠B′OG＝∠BOG，再根据∠AOB′＝80°，可得出∠B′OG的度数.
解：根据轴对称的性质得：∠B′OG＝∠BOG.
由∠AOB′＝80°，得∠B′OG＋∠BOG＝100°，
∴∠B′OG＝×100°＝50°.
故答案为50°.
方法总结：本题考查轴对称变换的性质，在解答此类问题时要注意数形结合的应用．
【类型三】 利用轴对称变换的性质求阴影部分的面积
如图，△ABC是面积为a的等边三角形，AD是BC边上的高，点E，F是AD上的两点，则图中阴影部分的面积为________．
解析：观察图形，证明△BEF经过轴对称变换得到△CEF，故△BEF与△CEF的面积相等，则阴影部分面积为等边三角形面积的一半．
解：∵△ABC为等边三角形，AD是BC边上的高，
∴直线AD为△ABC的对称轴．
∴S△BEF＝S△CEF.
∴阴影部分面积是△ABC面积的一半．
∵S△ABC＝a，
∴阴影部分的面积是.故答案为.
方法总结：先观察图形找到突破口——直线AD为△ABC的对称轴，从突破口进行解题就显得比较容易.
探究点二：轴对称变换的作图
如图，作三角形ABC关于直线l的对称图形(不写作法).
解析：分别作A，B，C关于直线l的对应点，顺次连接即可．
解：如图所示：
方法总结：作轴对称图形，关键是作出点关于对称轴的对应点．画对称点的方法可总结如下：过已知点作对称轴的垂线段，延长垂线段，使延长部分长度等于垂线段的长度．
三、板书设计
轴对称变换
各小组派代表展示自己课前所做的“14”，再结合幻灯片引导学生探索得到本节课的核心内容——轴对称的基本性质．活动过程中培养学生的动手能力、数学表达能力、团队合作能力，讲解中小组之间互相补充、互相竞争，使学生对轴对称的基本性质认识更为深刻．第5章　轴对称与旋转
5.2　旋转
　　　　　　　　　　　　　　　
1．通过具体实例认识旋转，理解旋转的概念和性质，并能按要求作出简单平面图形旋转后的图形．
2．经历对具有旋转特征的图形的观察、分析、操作、画图等过程，使学生增强主动探索、发现数学知识的意识，提升运用数学知识解决生活中实际问题的能力．
3．通过师生互动、合作交流以及多媒体教学软件的使用，使学生发现旋转变换所蕴含的美，激发学生学习数学的兴趣．
重点：掌握旋转、旋转中心和旋转角等概念，并理解旋转的性质．
难点：能画出简单图形旋转后的对应图形．
一、情境导入
观察下列三幅图形，它们在旋转过程中都具有什么共同特征？
二、合作探究
探究点一：旋转的概念
能由左图中的图形旋转得到的图形是(　　)
解析：根据旋转的概念可知，把已知图形顺时针旋转180度，可得到选项B中的图形，故选B.
方法总结：(1)根据旋转的概念知，旋转前后，图形的大小、形状都不改变．(2)旋转的三要素：①定点——旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．
探究点二：旋转的性质
【类型一】 利用旋转的性质求角度
如图，三角形OAB绕点O逆时针旋转80°得到三角形OCD，若∠A＝110°，∠B＝40°，则∠C＋∠D的度数是________．
解析：由旋转的性质可知，∠C＝∠A＝110°，∠D＝∠B＝40°，所以∠C＋∠D＝110°＋40°＝150°.故答案为150°.
方法总结：(1)旋转不改变图形的形状和大小，旋转前后，图形的大小、形状都不改变，对应线段相等，对应角相等．(2)旋转中的相等角包含两类：①旋转前后图形中的对应角；②各对应点与旋转中心的连线的夹角．(3)旋转中相等的线段包含两类：①旋转前后图形中的对应线段；②各对应点到旋转中心的距离．
【类型二】 利用旋转求阴影部分的面积
如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△COD，则旋转过程中形成的阴影部分的面积为________.
解析：根据OA＝3，再根据△OAB所扫过的面积＝S扇形AOC＋S△DOC－S△AOB＝S扇形AOC求解即可．
解：将△AOB绕点O逆时针旋转90°，得到△COD，
所以S△DOC＝S△AOB.
所以旋转过程中形成的阴影部分的面积＝S扇形AOC＋S△DOC－S△AOB＝S扇形AOC＝π×32＝π.
故答案为π.
方法总结：利用旋转前后，图形的大小、形状都不改变，将不规则图形转化为规则图形是解题的关键．
探究点三：旋转的作图
如图，在正方形网格中，三角形ABC的顶点都在格点(小正方形的顶点)上，将三角形ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到三角形AB1C1.请你作出三角形AB1C1.
解析：作∠CAC1＝90°，且AC＝AC1，得到C的对应点C1，由同样的方法得到其余各点的对应点．
解：如图所示：
方法总结：(1)画旋转后的图形，要善于抓住图形特点，作出特殊点的对应点；(2)旋转作图时要明确三个方面：旋转中心、旋转角度及旋转方向(顺时针或逆时针).
三、板书设计
旋转
本节课的内容主要包括三个方面：旋转的概念、旋转的性质、旋转作图．结合身边的旋转实例让学生理解旋转的概念，可类比轴对称的性质与作图学习旋转的性质与作图．教学中应注重让学生积极参与课堂活动，通过大胆质疑、师生互动、小组合作，实现教学目标．第5章　轴对称与旋转
5.1.1　初步认识轴对称图形
1．认识轴对称图形和两个图形成轴对称，会判断轴对称图形和两个图形成轴对称，并找出它们的对称轴．
2．通过判定轴对称图形和两个图形成轴对称，促进学生形成积极探索的态度，发展归纳总结的能力．
3．通过观察生活中的轴对称现象，发展识图和想象能力.
重点：识别轴对称图形和两个图形成轴对称，并画出它们的对称轴．
难点：识别轴对称图形和两个图形成轴对称，并画出它们的对称轴．
一、情境导入
观察下列脸谱图形，它们具有什么共同特征？
二、合作探究
探究点一：轴对称图形
【类型一】 轴对称图形的识别
下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是(　　)
解析：根据轴对称图形的概念和图案的特点解答，确定轴对称图形的关键是能找出对称轴，把这个图形沿某直线折叠，直线两旁的部分能完全重合．观察发现只有D选项有一条竖直过中心的直线为图形的对称轴，其他三个都不是轴对称图形．故选D.
方法总结：判断一个图形是不是轴对称图形，关键看是否能找到对称轴．轴对称图形是一个图形，反映的是这个图形自身的对称性；符合要求的“某条直线(对称轴)”可能不止一条，但至少要有一条．
【类型二】 轴对称图形的对称轴
已知图中的图形都是轴对称图形，请你画出它们的对称轴．
解析：找到对折后能使图形两旁完全重合的这一条直线，再作出这条直线即可．
解：作图如下：
方法总结：①对称轴是一条直线；②在轴对称图形中，对称轴把图形分成完全相同的两部分；③在轴对称图形中，对称轴可以是一条或多条．
【类型三】 轴对称图形的作图
如图是由三个阴影的小正方形组成的图形，请你在三个网格图中，各补画出一个有阴影的小正方形，使补画后的图形为轴对称图形．
解析：因为正方形有四条对称轴，因此我们可以参考这四条对称轴来构建图形．
解：所补画的图形如下所示：
方法总结：本题是一道开放性题目，作图后判断所作的图形是否是轴对称图形，关键看是否能找出对称轴．
探究点二：两个图形成轴对称
下列三个图形分别关于直线对称吗？如果是，画出它们的对称轴，并标出一对对应点．
解析：找到对折后能使两个图形完全重合的这一条直线，再作出这条直线即可．
解：作图如下，各图中的A，B点即为一组对应点：
方法总结：两个图形成轴对称只有一条对称轴．判断两个图形是不是成轴对称，关键是寻找对称轴，看直线两边的图形折叠后能否重合．
三、板书设计
轴对称图形和两个图形成轴对称：
(1)概念
(2)识别这两种图形
(3)确定这两种图形的对称轴
本节课学习了轴对称图形，易错点是确定轴对称图形的对称轴的条数时考虑不完整．轴对称图形的特点是“折”，即沿某条直线折叠后直线两旁的部分能完全重合．判断一个图形是不是轴对称图形，关键看是否能找出对称轴．在教学中，让学生积极参与课堂，让学生自主归纳，并对易错点加强练习．

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