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第一章 整式的乘法
1.1.2　幂的乘方
1．理解幂的乘方的运算法则，能灵活运用法则进行计算．
2．在双向运用幂的乘方运算法则的过程中，培养学生思维的灵活性．
3．在探索“幂的乘方法则”的过程中，让学生体会从特殊到一般的数学归纳思想．初步培养学生运用“转化”的数学思想方法的能力．
重点：能灵活运用幂的乘方法则进行计算．
难点：区别幂的乘方与同底数幂的乘法运算，提高推理能力和有条理的表达能力．
一、情境导入
根据乘方的意义计算：
(1)(32)3；
(2)(a2)3；
(3)(am)n.
解：(1)(32)3＝32×32×32＝32＋2＋2＝36；
(2)(a2)3＝a2×a2×a2＝a2＋2＋2＝a6；
(3)(am)n＝am×am×…×am,\s\do4(n个am))＝am＋m＋…＋m,\s\do4(n个m)) ＝amn.
观察上述计算的结果，底数变化了吗？指数发生了什么变化？你能总结出什么结论？
二、合作探究
探究点一：幂的乘方
计算：
(1)(－a3)5；
(2)(－a2)3·(－a4)2；
(3)2(－a3)4＋3(－a2)6.
解析：根据幂的乘方法则，同底数幂的乘法及合并同类项进行计算．
解：(1)(－a3)5＝－a3×5＝－a15；
(2)(－a2)3·(－a4)2＝－a6·a8＝－a14；
(3)2(－a3)4＋3(－a2)6＝2a12＋3a12＝5a12.
方法总结：在含有幂的乘方、同底数幂的乘法、合并同类项等运算中，要注意运算顺序，先算乘方，再算乘法．
探究点二：幂的乘方法则的运用
【类型一】 运用幂的乘方法则求值
已知3×9m×27m＝316，求m的值．
解析：运用幂的乘方，把底数都化为3的形式，结合同底数幂的乘法，列出关于m的方程求解．
解：∵3×9m×27m＝316，∴3×(32)m×(33)m＝316.即3×32m×33m＝316.∴1＋2m＋3m＝16，解得m＝3.
方法总结：要注意区分同底数幂的乘法和幂的乘方两种不同的运算，而这两种运算在很多题目中是同时出现的．
【类型二】 方程与幂的乘方的综合应用
已知2x＋5y－3＝0，求4x·32y的值．
解析：由2x＋5y－3＝0得2x＋5y＝3，再把4x·32y统一为底数为2的乘方的形式，最后根据同底数幂的乘法法则即可得到结果．
解：∵2x＋5y－3＝0，∴2x＋5y＝3.∴4x·32y＝22x·25y＝22x＋5y＝23＝8.
方法总结：本题考查了幂的乘方的逆用及同底数幂的乘法，再结合整体代入求解．
【类型三】 运用幂的乘方法则比较大小
比较3555，4444，5333的大小．
解析：由于3个幂的底数与指数都不相同，观察发现，它们的指数有最大公约数111，所以逆用幂的乘方的运算性质，可将3个幂都转化为指数是111的幂的形式，然后只需比较它们的底数即可．
解：∵3555＝35×111＝(35)111＝243111，4444＝44×111＝(44)111＝256111，5333＝53×111＝(53)111＝125111，又∵256＞243＞125，∴256111＞243111＞125111，即4444＞3555＞5333.
方法总结：本题主要考查了幂的大小比较的方法．一般来说，比较几个幂的大小，可以把它们的底数化为相同，也可以把它们的指数化为相同，再分别比较它们的指数或底数．
三、板书设计
幂的乘方
幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．即(am)n＝amn(m，n都是正整数).
本节课通过特例，引导学生积极探究、大胆猜想，总结归纳出幂的乘方法则．教学中应注意让学生区分同底数幂的乘法法则与幂的乘方法则的不同，特别注意：幂的乘方，不是把指数乘方．第一章 整式的乘法
1.2.2 第1课时　完全平方公式
1．会推导完全平方公式，理解公式的几何背景，并能运用公式进行简单运算．
2．经历探索完全平方公式的过程，并从推导过程中，培养学生观察、发现、归纳、概括、猜想等探究创新能力，培养学生的数形结合意识．
3．调动学生学习的积极性、主动性，增强学生学习数学的信心．
重点：运用完全平方公式进行计算．
难点：完全平方公式的推导．
一、情境导入
计算：
(1)(x＋1)2; (2)(x－1)2；
(3)(a＋b)2; (4)(a－b)2.
由上述计算，你发现了什么结论？
二、合作探究
探究点：完全平方公式
【类型一】 直接运用完全平方公式进行计算
利用完全平方公式计算：
(1)(5－a)2；
(2)(－3m－4n)2；
(3)(－3a＋b)2.
解析：直接运用完全平方公式进行计算即可．
解：(1)(5－a)2＝25－10a＋a2；
(2)(－3m－4n)2＝9m2＋24mn＋16n2；
(3)(－3a＋b)2＝9a2－6ab＋b2.
方法总结：完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2.可巧记为“首平方，末平方，首末两倍中间放”．
【类型二】 构造完全平方式
如果36x2＋(m＋1)xy＋25y2是一个完全平方式，求m的值．
解析：先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式确定m的值．
解：∵36x2＋(m＋1)xy＋25y2＝(6x)2＋(m＋1)xy＋(5y)2，∴(m＋1)xy＝±2·6x·5y.∴m＋1＝±60.∴m＝59或－61.
方法总结：两数的平方和加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．
【类型三】 完全平方公式的几何背景
我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．例如图甲可以用来解释(a＋b)2－(a－b)2＝4ab.那么通过图乙面积的计算，验证了一个恒等式，此等式是(　　)
A．a2－b2＝(a＋b)(a－b)
B．(a－b)(a＋2b)＝a2＋ab－2b2
C．(a－b)2＝a2－2ab＋b2
D．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
解析：空白部分的面积为(a－b)2，还可以表示为a2－2ab＋b2，所以此等式是(a－b)2＝a2－2ab＋b2.故选C.
方法总结：通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．
三、板书设计
完全平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝a2－2ab＋b2.
两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加(或减)它们的积的2倍．
本节课通过多项式乘法推导出完全平方公式，让学生自己总结出完全平方公式的特征，注意不要出现如下错误：(a＋b)2＝a2＋b2，(a－b)2＝a2－b2.为帮助学生记忆完全平方公式，可采用如下口诀：首平方，尾平方，乘积两倍在中央．教学中，教师可通过判断正误等习题强化学生对完全平方公式的理解记忆．第一章 整式的乘法
1.1.4　单项式的乘法
1．经历探索单项式与单项式相乘的运算法则的过程，会进行单项式与单项式相乘的运算．
2．理解单项式与单项式相乘的算理，体会乘法交换律和结合律的作用和转化的数学思想．
3．在探索单项式与单项式相乘的过程中，利用乘法的交换律、结合律将陌生的问题转化为已知的问题，培养学生转化的数学思想．
重点：单项式与单项式相乘的运算法则及其运用．
难点：灵活地进行单项式与单项式相乘的运算．
一、情境导入
根据乘法的运算律计算：
(1)2x·3y；
(2)5a2b·(－2ab3).
解：(1)2x·3y＝(2×3)(x·y)＝6xy；
(2)5a2b·(－2ab3)＝5×(－2)(a2·a)(b·b3)＝－10a3b4.
观察上述运算，你能归纳总结出单项式乘法的运算法则吗？
二、合作探究
探究点一：单项式的乘法
计算：
(1)(－a5b)·(－ab3c2)；
(2)(－x3y2)2·(－xy3z3)；
(3)(－2.5×102)×(－2×103)2×(5×103)3.
解析：(1)直接运用单项式乘法法则计算；(2)先计算积的乘方，再进行单项式乘法运算；(3)把10看作一项，先进行积的乘方计算，再进行单项式乘法运算．
解：(1)原式＝(－)×(－)(a5·a)(b·b3)c2＝a6b4c2；
(2)原式＝(x6y4)·(－xy3z3)＝×(－)(x6·x)(y4·y3)z3＝－5x7y7z3；
(3)原式＝(－2.5×102)×(4×106)×(125×109)＝(－2.5×4×125)×(102×106×109)＝－1250×1017＝－1.25×1020.
方法总结：(1)单项式乘以单项式，涉及的有三个方面：①系数相乘，运用有理数乘法法则；②相同字母的幂相乘，运用同底数幂的乘法法则；③只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式，不可漏乘．单项式乘以单项式的实质就是乘法交换律、结合律与幂的运算的综合运用．(2)单项式乘以单项式的结果仍是单项式．
探究点二：单项式的乘法的应用
【类型一】 应用单项式乘法解决与积有关的问题
已知单项式9am＋1bn＋1和－2a2m－1b2n－1的积与5a3b6是同类项，求m，n的值．
解析：根据同底数幂的乘法，同类项的概念可求m，n的值．
解：9am＋1bn＋1·(－2a2m－1b2n－1)＝9×(－2)·am＋1·a2m－1·bn＋1·b2n－1＝－18a3mb3n.因为－18a3mb3n与5a3b6是同类项，所以3m＝3，3n＝6，解得m＝1，n＝2.
方法总结：单项式乘法的结果不会增加在各个单项式中没有的字母．根据同类项的概念，利用单项式乘法法则，可得对应字母的指数相等，从而列出方程求解．
【类型二】 单项式乘法的实际应用
有一块长为x m，宽为y m的长方形空地，现在要在这块地中划出一块长为x m，宽为y m的长方形空地用于绿化，求绿化的面积和剩下的面积．
解析：先求出长方形的面积，再求出长方形空地绿化的面积，两者相减即可求出剩下的面积．
解：长方形的面积是xy m2，长方形空地绿化的面积是x×y＝xy(m2)，则剩下的面积是xy－xy＝xy(m2).
方法总结：掌握长方形的面积公式和单项式乘单项式法则是解题的关键．
三、板书设计
单项式的乘法
单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘．
本节课的知识是建立在前几节课的基础之上，利用运算律和幂的运算法则即可推导出单项式的乘法法则，单项式的乘法实际上只包含了两个运算：系数相乘及同底数幂的指数相加，至于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数应作为积的一个因式．第一章 整式的乘法
1.2.2 第2课时　运用完全平方公式进行计算
1．能够运用完全平方公式进行较复杂式子的运算及一些数的简便运算．
2．通过学习运用完全平方公式进行计算，提高对完全平方公式综合运用的能力，分析问题、解决问题的能力．
3．调动学生学习的积极性、主动性，增强学生学习数学的信心．
重点：运用完全平方公式进行较复杂式子的运算及一些数的简便运算．
难点：灵活运用完全平方公式进行整式的简便运算．
一、情境导入
1．请同学们用语言叙述并用式子表示完全平方公式.
2．下列各式相等吗，为什么？
(1)(a＋b)2与(－a－b)2；
(2)(a－b)2与(b－a)2.
二、合作探究
探究点：运用完全平方公式进行计算
【类型一】 运用完全平方公式的变形进行计算
已知x－y＝6，xy＝－8.
(1)求x2＋y2的值；
(2)求代数式(x＋y＋z)2＋(x－y－z)(x－y＋z)－z(x＋y)的值．
解析：(1)由(x－y)2＝x2＋y2－2xy，可得x2＋y2＝(x－y)2＋2xy，将x－y＝6，xy＝－8代入即可求得x2＋y2的值；(2)首先化简(x＋y＋z)2＋(x－y－z)(x－y＋z)－z(x＋y)＝x2＋y2，由(1)即可求得答案．
解：(1)∵x－y＝6，xy＝－8，∴(x－y)2＝x2＋y2－2xy.∴x2＋y2＝(x－y)2＋2xy＝36－16＝20；
(2)∵(x＋y＋z)2＋(x－y－z)(x－y＋z)－z(x＋y)＝(x2＋y2＋z2＋2xy＋2xz＋2yz)＋[(x－y)2－z2]－xz－yz＝x2＋y2＋z2＋xy＋xz＋yz＋x2＋y2－xy－z2－xz－yz＝x2＋y2，又∵x2＋y2＝20，∴原式＝20.
方法总结：通过本题要熟记(x－y)2＝x2＋y2－2xy，x2＋y2＝(x－y)2＋2xy.
【类型二】 运用完全平方公式进行简便计算
利用乘法公式计算：
(1)982－101×99；
(2)20142－2014×4026＋20132.
解析：原式变形后，利用完全平方公式及平方差公式计算即可得到结果．
解：(1)原式＝(100－2)2－(100＋1)(100－1)＝1002－400＋4－1002＋1＝－395；
(2)原式＝20142－2×2014×2013＋20132＝(2014－2013)2＝1.
方法总结：运用完全平方公式进行简便运算，要熟记完全平方公式的特征，将原式转化为能利用完全平方公式的形式．
【类型三】 逆用完全平方公式
已知a2＋b2－8a－10b＋41＝0，求5a－b2＋25的值．
解析：从已知中直接求出a，b是困难的，试着把已知的左边转化为两个完全平方式．
解：由已知，得(a2－2·a·4＋42)＋(b2－2·b·5＋52)＝0，即(a－4)2＋(b－5)2＝0，所以a－4＝0，b－5＝0，即a＝4，b＝5.当a＝4，b＝5时，5a－b2＋25＝5×4－52＋25＝20.
方法总结：逆用完全平方公式，再结合平方或平方和的非负性是解答此题的关键．
三、板书设计
1．完全平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝a2－2ab＋b2.
2．底数互为相反数的平方的关系：(－a＋b)2＝(a－b)2，(－a－b)2＝(a＋b)2.
本节课学习了运用完全平方公式进行计算，计算时应弄清是运用两数和的完全平方公式还是两数差的完全平方公式．如果底数同号，则运用两数和的完全平方公式；若底数异号，则运用两数差的完全平方公式．注意强调学生不要遗漏中间项．第一章 整式的乘法
1.1.5 第2课时　多项式与多项式相乘
1．经历探索多项式乘多项式的运算法则的过程，理解多项式乘多项式的运算法则．
2．灵活运用多项式乘多项式的运算法则．
3．用数学的思维体会乘法对加法的分配律的作用与转化思想，发展有条理的思考及语言表达能力．
4．充分调动学生学习的积极性、主动性，提高与他人沟通交流的能力．
重点：多项式乘多项式的运算法则的理解及运用．
难点：多项式乘多项式的运算法则的灵活运用．
　　　　　　　　　　　　　　　
一、情境导入
某地区在退耕还林期间，将一块长m米、宽a米的长方形林区的长、宽分别增加n米和b米．用两种方法表示这块林区现在的面积．
学生积极思考，教师引导学生分析，学生发现：
这块林区现在长为(m＋n)米、宽为(a＋b)米，因而面积为(m＋n)(a＋b)平方米．
另外：如图，这块地由四小块组成，它们的面积分别为ma平方米、mb平方米、na平方米、nb平方米，故这块地的面积为(ma＋mb＋na＋nb)平方米．
由此可得(m＋n)(a＋b)＝ma＋mb＋na＋nb.今天我们就学习多项式乘以多项式．
二、合作探究
探究点一：多项式乘以多项式
【类型一】 直接利用多项式乘以多项式法则进行计算
计算：
(1)(3x＋2)(x＋2)；
(2)(4y－1)(5－y).
解析：利用多项式乘以多项式法则计算，即可得到结果．
解：(1)原式＝3x2＋6x＋2x＋4＝3x2＋8x＋4；
(2)原式＝20y－4y2－5＋y＝－4y2＋21y－5.
方法总结：多项式乘以多项式，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积．
【类型二】 混合运算
计算：(3a＋1)(2a－3)－(6a－5)(a－4).
解析：根据整式混合运算的顺序和法则分别进行计算，再把所得结果合并即可．
解：(3a＋1)(2a－3)－(6a－5)(a－4)＝6a2－9a＋2a－3－6a2＋24a＋5a－20＝22a－23.
方法总结：在计算时要注意混合运算的顺序和法则以及运算结果的符号．
探究点二：多项式乘以多项式的化简求值及应用
【类型一】 化简求值
(1)计算：(a－2b)(a2＋2ab＋4b2)－a(a－5b)(a＋3b)；
(2)当a取－1，b取1时，求(1)中多项式的值．
解析：先将式子利用整式乘法展开，合并同类项化简，再代入计算．
解：(1)(a－2b)(a2＋2ab＋4b2)－a(a－5b)(a＋3b)＝a3－8b3－(a2－5ab)(a＋3b)＝a3－8b3－a3－3a2b＋5a2b＋15ab2＝－8b3＋2a2b＋15ab2.
(2)将a＝－1，b＝1代入，(1)中多项式的值为－8b3＋2a2b＋15ab2＝－8＋2－15＝－21.
方法总结：化简求值是整式运算中常见的题型，一定要注意先化简，再求值，不能先代值，再计算．
【类型二】 多项式乘以多项式与方程的综合
解方程：(x－3)(x－2)＝(x＋9)(x＋1)＋4.
解析：方程两边利用多项式乘以多项式法则计算，移项、合并同类项，将x系数化为1，即可求出解．
解：去括号，得x2－5x＋6＝x2＋10x＋9＋4，移项、合并同类项，得－15x＝7，解得x＝－.
方法总结：解答本题就是利用多项式的乘法，将原方程转化为已学过的方程解答．
【类型三】 多项式乘以多项式的实际应用
千年古镇杨家滩的某小区的内坝是一块长为(3a＋b)米、宽为(2a＋b)米的长方形地块，物业部门计划将内坝进行绿化(如图阴影部分)，中间部分将修建一仿古小景点(如图中间的正方形)，则绿化的面积是多少平方米？并求出当a＝3，b＝2时的绿化面积．
解析：根据长方形的面积公式，可得内坝、景点的面积，根据面积的和差，可得答案．
解：由题意，得(3a＋b)(2a＋b)－(a＋b)2＝6a2＋5ab＋b2－a2－2ab－b2＝5a2＋3ab，当a＝3，b＝2时，5a2＋3ab＝5×32＋3×3×2＝63，故绿化的面积是63 m2.
方法总结：用代数式表示图形的长和宽，再利用面积(或体积)公式求面积(或体积)是解决问题的关键．
【类型四】 多项式乘以单项式后，不含某一项，求字母系数的值
已知ax2＋bx＋1(a≠0)与3x－2的积不含x2项，也不含x项，求系数a，b的值．
解析：首先利用多项式乘法法则计算出(ax2＋bx＋1)(3x－2)，再根据积不含x2的项，也不含x的项，可得含x2的项和含x的项的系数等于零，即可求出a与b的值．
解：(ax2＋bx＋1)(3x－2)＝3ax3－2ax2＋3bx2－2bx＋3x－2，∵积不含x2的项，也不含x的项，∴－2a＋3b＝0，－2b＋3＝0，解得b＝，a＝.∴系数a，b的值分别是，.
方法总结：解决此类问题首先要利用多项式乘法法则计算出展开式，合并同类项后，再根据不含某一项，可得这一项系数等于零，再列出方程解答．
三、板书设计
多项式与多项式相乘
多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
本节知识的综合性较强，要求学生熟练掌握前面所学的单项式与单项式相乘及单项式与多项式相乘的知识，同时为了让学生理解并掌握多项式与多项式相乘的法则，教学中一定要精讲精练，让学生从练习中再次体会法则的内容，为以后的学习奠定基础．第一章 整式的乘法
1.1.1同底数幂的乘法
1．帮助学生在了解同底数幂乘法定义的基础上，掌握幂的运算法则，并进行基本运算．
2．在推导“法则”的过程中，培养学生观察、概括与抽象的能力．
3．通过对具体事例的分析、归纳，总结同底数幂乘法的公式．培养学生分析、归纳、总结的思维能力，体现由特殊到一般的数学思想．
重点：运用同底数幂的乘法法则进行计算．
难点：正确理解和运用同底数幂的乘法法则．
一、情境导入
通过上述计算，你发现了什么？
二、合作探究
探究点一：同底数幂的乘法
【类型一】 底数为单项式的同底数幂的乘法
计算：(1)23×24×2；
(2)－a3·(－a)2·(－a)3；
(3)mn＋1·mn·m2·m.
解析：(1)根据同底数幂的乘法法则进行计算即可；(2)先算乘方，再根据同底数幂的乘法法则进行计算即可；(3)根据同底数幂的乘法法则进行计算即可．
解：(1)原式＝23＋4＋1＝28；
(2)原式＝－a3·a2·(－a3)＝a3·a2·a3＝a8；
(3)原式＝mn＋1＋n＋2＋1＝m2n＋4.
方法总结：同底数幂的乘法法则只有在底数相同时才能使用；单个字母或数可以看成指数为1的幂，进行运算时，不能忽略了幂指数1.
【类型二】 底数为多项式的同底数幂的乘法
计算：
(1)(2a＋b)2n＋1·(2a＋b)3·(2a＋b)n－4；
(2)(x－y)2·(y－x)5.
解析：将底数看成一个整体进行计算．
解：(1)原式＝(2a＋b)(2n＋1)＋3＋(n－4)＝(2a＋b)3n；
(2)原式＝－(x－y)2·(x－y)5＝－(x－y)7.
方法总结：底数互为相反数的幂相乘时，先把底数统一，再进行计算．(a－b)n＝
探究点二：同底数幂的乘法法则的运用
【类型一】 运用同底数幂的乘法，求代数式的值
若82a＋3·8b－2＝810，求2a＋b的值．
解析：根据同底数幂的乘法法则，底数不变指数相加，可得a，b的关系式，根据a，b的关系式求代数式的值．
解：∵82a＋3·8b－2＝82a＋3＋b－2＝810，∴2a＋3＋b－2＝10，解得2a＋b＝9.
方法总结：将等式两边化为同底数幂的形式，若底数相同，那么指数也相同．
【类型二】 同底数幂的乘法的实际应用
经济发展和消费需求的增长促进了房地产的发展，使得房价持续上涨，某市5个月共销售商品房8.31×104平方米．据监测，商品房平均售价为每平方米4.7×103元，则这5个月该市的商品房销售总额是多少元？
解：8.31×104×4.7×103＝(8.31×4.7)×(104×103)＝3.9057×108(元).
答：这5个月该市的商品房销售总额是3.9057×108元．
方法总结：本题考查了同底数幂的乘法的实际应用，关键是根据题意列出算式，注意结果要用科学记数法表示．
探究点三：逆用同底数幂的乘法法则
已知2a＝5，2b＝3，求2a＋b＋3的值．
解析：根据同底数幂的乘法法则的逆运算展开，再整体代入计算即可．
解：2a＋b＋3＝2a·2b·23＝5×3×8＝120.
方法总结：根据同底数幂的乘法法则：am·an＝am＋n，可得am＋n＝am·an.由此可整体代入求值．
三、板书设计
同底数幂的乘法
同底数幂的乘法法则：am·an＝am＋n.(m，n都是正整数)
本节课从特殊到一般引入同底数幂的乘法法则，让学生感知、理解法则，并掌握法则的正用和逆用．本节课的难点和易错点是底数互为相反数的幂转化为同底数的幂，特别要注意符号．第一章 整式的乘法
1.1.5 第1课时 单项式与多项式相乘
1．探索并了解单项式与多项式的乘法运算法则，会进行简单的整式乘法运算．
2．经历探索单项式与多项式相乘的运算过程，体会分配律的作用和转化思想，发展有条理的思考及语言表达能力．
3．培养良好的探究意识与合作交流的能力，体会整式运算的应用价值，培养学生学习的兴趣．
重点：单项式乘多项式的运算法则的推导及运用．
难点：单项式乘单项式的运算法则及单项式乘多项式的运算法则的综合运用．
一、情境导入
计算：(－12)×(－－).我们可以根据有理数乘法的分配律进行计算，那么怎样计算2x·(3x2－2x＋1)
二、合作探究
探究点：单项式与多项式相乘
【类型一】 直接利用单项式乘以多项式法则进行计算
计算：
(1)(ab2－2ab)·ab；
(2)－x·(x2－2y＋5).
解析：直接利用单项式乘多项式的法则计算即可．
解：(1)(ab2－2ab)·ab＝ab2·ab－2ab·ab＝a2b3－a2b2；
(2)－x·(x2－2y＋5)＝－x·x2＋x·2y－x·5＝－x3＋xy－2x.
方法总结：单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
【类型二】 单项式与多项式乘法的实际应用
一条防洪堤坝，其横断面是梯形，上底宽a米，下底宽(2a＋3b)米，坝高a米．
(1)求防洪堤坝的横断面面积；
(2)如果防洪堤坝长400米，那么这段防洪堤坝的体积是多少立方米？
解析：(1)根据梯形的面积公式，然后利用单项式乘多项式的法则计算；(2)防洪堤坝的体积＝梯形面积×坝长．
解：(1)防洪堤坝的横断面面积S＝[a＋(2a＋3b)]×a＝a(3a＋3b)＝(a2＋ab)(平方米).故防洪堤坝的横断面面积为(a2＋ab)平方米；
(2)堤坝的体积V＝(a2＋ab)×400＝(150a2＋150ab)(立方米).故这段防洪堤坝的体积是(150a2＋150ab)立方米．
方法总结：本题要知道梯形的面积公式及堤坝的体积(堤坝体积＝梯形面积×长度)的计算方法，同时掌握单项式乘多项式的运算法则是解题的关键．
【类型三】 化简求值
(1)计算：2a(a2－3a＋4)－3a2(2a＋5)；
(2)当a取－1时，求(1)中多项式的值．
解析：首先根据单项式与多项式相乘的法则去掉括号，然后合并同类项，最后代入已知的数值计算即可．
解：(1)2a(a2－3a＋4)－3a2(2a＋5)＝2a3－6a2＋8a－6a3－15a2＝－4a3－21a2＋8a.
(2)将a＝－1代入，(1)中多项式的值为－4a3－21a2＋8a＝－4×(－1)3－21×(－1)2＋8×(－1)＝－25.
方法总结：在做乘法计算时，一定要注意单项式和多项式中每一项的符号，不要搞错．
【类型四】 单项式乘多项式，利用展开式中不含某一项求未知系数的值
如果(－3x)2(x2－2nx＋)的展开式中不含x3项，求n的值．
解析：先算乘方，再利用单项式乘多项式法则计算，根据结果不含x3项，求出n的值即可．
解：(－3x)2(x2－2nx＋)＝(9x2)(x2－2nx＋)＝9x4－18nx3＋6x2，由展开式中不含x3项，得到－18n＝0，解得n＝0.
方法总结：单项式与多项式相乘，注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为0.
三、板书设计
单项式与多项式相乘
单项式与多项式相乘，先用单项式去乘多项式中的每一项，再把所得的积相加．
本节课在已学过的单项式乘单项式的基础上，学习单项式乘多项式．教学中注意发挥学生的主体作用，让学生积极参与课堂活动，通过不断纠错来提高．第一章 整式的乘法
1.1.3　积的乘方
1．通过探索积的乘方法则，进一步体会和巩固幂的意义，在推理得出积的乘方的运算法则的过程中，领会这个法则．
2．经历探索积的乘方的过程，发展学生的推理能力和有条理的表达能力，培养学生的综合能力．
3．通过小组合作与交流，培养学生团结协作的精神和探索精神，有助于塑造他们挑战困难、挑战生活的勇气和信心．
重点：积的乘方的运算．
难点：积的乘方的推导过程的理解和灵活运用．
一、情境导入
根据乘方的意义计算：
(1)(2x)3；
(2)(ab)3；
(3)(ab)n.
解：(1)(2x)3＝2x×2x×2x＝(2×2×2)·(x·x·x)＝23x3＝8x3；
(2)(ab)3＝ab×ab×ab＝(a·a·a)·(b·b·b)＝a3b3；
(3)(ab)n＝ab·ab·…·ab,\s\do4(n个ab))＝(a·a·…·a,\s\do4(n个a)))·(b·b·…·b,\s\do4(n个b)))＝anbn.
观察上述计算的结果，你能总结出这种运算的法则吗？试试看，你一定行！
二、合作探究
探究点一：积的乘方
【类型一】 直接利用积的乘方法则进行计算
计算：(1)(－5ab)3；(2)－(3x2y)2；
(3)(－ab2c3)3；(4)(－xmy3m)2.
解析：直接应用积的乘方法则计算即可．
解：(1)(－5ab)3＝(－5)3a3b3＝－125a3b3；
(2)－(3x2y)2＝－32x4y2＝－9x4y2；
(3)(－ab2c3)3＝(－)3a3b6c9＝－a3b6c9；
(4)(－xmy3m)2＝(－1)2x2my6m＝x2my6m.
方法总结：运用积的乘方法则进行计算时，注意每个因式都要乘方，尤其是字母的系数不要漏乘方．
【类型二】 积的乘方在实际中的应用
太阳可以近似地看作是球体，如果用V，R分别代表球的体积和半径，那么V＝πR3，太阳的半径约为6×105千米，它的体积大约是多少立方千米？(π取3)
解析：将R＝6×105千米代入V＝πR3，即可求得答案．
解：∵R＝6×105千米，∴V＝πR3＝×π×(6×105)3＝8.64×1017(立方千米).
答：它的体积大约是8.64×1017立方千米．
方法总结：读懂题目信息，理解球的体积公式并熟记积的乘方的性质是解题的关键．
【类型三】 含积的乘方的混合运算
计算：(1)－4xy2·(xy2)2·(－2x2)3；
(2)(－a3b6)2＋(－a2b4)3.
解析：(1)先进行积的乘方，然后根据同底数幂的乘法法则求解；(2)先进行积的乘方和幂的乘方，然后合并同类项．
解：(1)原式＝4xy2·x2y4·8x6＝8x9y6；
(2)原式＝a6b12－a6b12＝0.
方法总结：先算积的乘方，再算乘法，然后算加减，最后合并同类项．
探究点二：逆用积的乘方法则计算
计算：(－3)2024×(－)2025.
解析：逆用积的乘方an·bn＝(ab)n计算．
解：原式＝(－3)2024×(－)2024×(－)
＝[(－3)×(－)]2024×(－)＝－.
方法总结：积的乘方法则为(ab)n＝anbn(n是正整数)，左右互换即为anbn＝(ab)n(n是正整数)，这样得到积的乘方法则的逆用，巧妙地运用能简化运算，学会这些方法，能提高解题能力．
探究点三：幂的乘方与积的乘方的综合应用
若2a＝3，2b＝5，2c＝75，试说明：a＋2b＝c.
解析：首先根据幂的乘方的运算方法，求出(2b)2＝25，然后根据同底数幂的乘法法则，判断出2a＋2b＝2c，即可判断出a＋2b＝c.
解：∵2b＝5，∴(2b)2＝25，即22b＝25.又∵2a＝3，∴2a×22b＝3×25＝75.∴2a＋2b＝2c.∴a＋2b＝c.
方法总结：(1)此题主要考查了幂的乘方和积的乘方，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①(am)n＝amn(m，n是正整数)；②(ab)n＝anbn(n是正整数).
三、板书设计
积的乘方
积的乘方法则：把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．即(ab)n＝anbn(n是正整数).
本节课通过特例引入，让学生感悟并理解积的乘方法则．幂的运算法则是整式乘法的基础，在教学中注意让学生掌握同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方的区别与联系，在运算时避免符号和指数的错误．第一章 整式的乘法
1.2.1　平方差公式
1．经历探索平方差公式的过程，会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算，进一步培养学生逆向思维能力和数学应用意识，感悟整体思想．
2．让学生在合作探究学习的过程中体验成功的喜悦，在感悟数学美的同时激发学习数学的兴趣和信心．
重点：平方差公式的推导和运用．
难点：理解平方差公式的结构特征，灵活运用平方差公式．
一、情境导入
计算：
(1)(x＋1)(x－1)；
(2)(x＋2)(x－2)；
(3)(a＋b)(a－b).
由上述计算，你发现了什么结论？
二、合作探究
探究点：平方差公式
【类型一】 直接应用平方差公式进行计算
利用平方差公式计算：
(1)(3x－5)(3x＋5)；
(2)(－2a－b)(b－2a)；
(3)(－7m＋8n)(－8n－7m)；
(4)(x－2)(x＋2)(x2＋4).
解析：直接利用平方差公式进行计算即可．
解：(1)(3x－5)(3x＋5)＝(3x)2－52＝9x2－25；
(2)(－2a－b)(b－2a)＝(－2a)2－b2＝4a2－b2；
(3)(－7m＋8n)(－8n－7m)＝(－7m)2－(8n)2＝49m2－64n2；
(4)(x－2)(x＋2)(x2＋4)＝(x2－4)(x2＋4)＝x4－16.
方法总结：应用平方差公式进行计算时，应注意以下几个问题：(1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；(2)右边是相同项的平方减去相反项的平方；(3)公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式．
【类型二】 应用平方差公式进行简便运算
利用平方差公式简算：
(1)20×19；(2)13.2×12.8.
解析：(1)把20×19写成(20＋)×(20－)，然后利用平方差公式进行计算；(2)把13.2×12.8写成(13＋0.2)×(13－0.2)，然后利用平方差公式进行计算．
解：(1)20×19＝(20＋)×(20－)＝400－＝399；
(2)13.2×12.8＝(13＋0.2)×(13－0.2)＝169－0.04＝168.96.
方法总结：熟记平方差公式的结构并构造出公式结构是解题的关键．
【类型三】 化简求值
先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2.
解析：利用平方差公式展开并合并同类项，然后把x，y的值代入进行计算即可得解．
解：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)＝4x2－y2－(4y2－x2)＝4x2－y2－4y2＋x2＝5x2－5y2.当x＝1，y＝2时，原式＝5×12－5×22＝－15.
方法总结：利用平方差公式先化简再求值，切忌代入数值直接计算．
【类型四】 平方差公式的实际应用
王大伯家把一块边长为a(a＞4)米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少4米，另外一边增加4米，继续租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？
解析：根据题意先求出原正方形的面积，再求出改变边长后的面积，然后比较二者的大小即可．
解：李大妈吃亏了．理由如下：原正方形的面积为a2，改变边长后的面积为(a＋4)(a－4)＝a2－16.∵a2＞a2－16，∴李大妈吃亏了．
方法总结：解决实际问题的关键是根据题意列出算式，然后根据公式化简解决问题．
【类型五】 平方差公式的几何背景
如图①，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正形(a＞b)，把剩下部分拼成一个梯形(如图②)，利用这两幅图形的面积，可以验证的乘法公式是______________.
解析：∵左图中阴影部分的面积是a2－b2，右图中梯形的面积是(2a＋2b)(a－b)＝(a＋b)(a－b)，∴a2－b2＝(a＋b)(a－b)，即可验证的乘法公式为(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
方法总结：通过几何图形之间的数量关系可对平方差公式做出几何解释．
三、板书设计
平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
本节课通过多项式乘法推导出平方差公式，注意引导学生正确认识公式的特征：公式左边是两个二项式的积，这两个二项式中有一项相同，另一项互为相反数；公式右边是用符号相同项的平方，减去符号相反项的平方．对于例题和练习，让学生通过小组合作、自主探究的方式完成，提高学生学习的积极性．第一章 整式的乘法
1.2.3　运用乘法公式进行计算和推理
1．会熟练地运用乘法公式进行计算；能正确地根据题目要求选择不同的乘法公式进行计算．
2．通过学习运用乘法公式进行计算，提高学生对乘法公式综合运用的能力，特别是观察、分析、解决问题的能力．
3．运用乘法公式解决代数推理类问题．
4．在学习的过程中，培养学生实事求是、科学、严谨的学习态度．
重点：综合运用平方差和完全平方公式进行多项式乘法的计算．
难点：正确选择乘法公式进行计算并规范书写解答过程．
一、情境导入
1．我们学过了哪些乘法公式？
(1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
(2)完全平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝a2－2ab＋b2.
2．怎样计算：(a＋2b－c)(a－2b＋c).
二、合作探究
探究点：运用乘法公式进行计算
【类型一】 乘法公式的综合运用
计算：
(1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)…(216＋1)；
(2)(a＋b)2－2(a＋b)(a－b)＋(a－b)2；
(3)(x－2y＋3z)(x＋2y－3z)；
(4)(2a＋b)2(b－2a)2.
解析：(1)可添加(2－1)，与首项结合起来用平方差公式，再把结果依次与下一项运用平方差公式；
(2)逆用完全平方公式，能简化运算；
(3)两个因式都是三项式，且各项的绝对值对应相等，所以可先运用平方差公式；
(4)先利用积的乘方把原式变形为[(b＋2a)(b－2a)]2，再利用平方差公式把中括号内的多项式的乘法展开，然后再利用完全平方公式展开即可．
解：(1)原式＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)…(216＋1)＝(22－1)(22＋1)(24＋1)…(216＋1)＝(24－1)(24＋1)…(216＋1)＝232－1；
(2)原式＝[(a＋b)－(a－b)]2＝(a＋b－a＋b)2＝4b2；
(3)原式＝[x－(2y－3z)][x＋(2y－3z)]＝x2－(2y－3z)2＝x2－(4y2－12yz＋9z2)＝x2－4y2＋12yz－9z2；
(4)原式＝[(b＋2a)(b－2a)]2＝(b2－4a2)2＝b4－8a2b2＋16a4.
方法总结：运用乘法公式计算时，先要分析式子的特点，找准合适的方法，能起到事半功倍的作用．同时由于减少了运算量，能提高解题的准确率．
【类型二】 运用乘法公式求值
如图，立方体每个面上都写有一个自然数，并且相对两个面所写两数之和相等．若18的对面写的是a，14的对面写的是b，35的对面写的是c，试求a2＋b2＋c2－ab－bc－ca的值．
解析：根据相对两个面所写的两数之和相等可得a－b，a－c，b－c的值，然后逆用完全平方公式对代数式进行整理，最后代入数值计算即可得到结果．
解：根据相对两个面所写两数之和相等，可得18＋a＝14＋b，即a－b＝－4，18＋a＝35＋c，即a－c＝19，14＋b＝35＋c，即b－c＝21.∴2(a2＋b2＋c2－ab－bc－ca)＝(a2－2ab＋b2)＋(a2－2ac＋c2)＋(b2－2bc＋c2)＝(a－b)2＋(a－c)2＋(b－c)2＝(－4)2＋172＋212＝16＋289＋441＝746.∴a2＋b2＋c2－ab－bc－ca＝×746＝373.
方法总结：本题主要考查了完全平方公式的运用，注意正方体是空间图形，从相对面入手，分析及解答问题，本题根据质数的定义判断出c的值是解题的关键．
已知a－b＝3，b－c＝2，a2＋b2＋c2＝1，求ab＋bc＋ca的值．
解析：根据已知先求出a－c的值，然后根据(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2＝2(a2＋b2＋c2－ab－bc－ca)求解．
解：因为a－b＝3，b－c＝2，所以a－c＝5.因为(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2＝9＋4＋25＝38，所以2(a2＋b2＋c2)－2(ab＋bc＋ca)＝38.因为a2＋b2＋c2＝1，所以2－2(ab＋bc＋ca)＝38.所以ab＋bc＋ca＝－18.
方法总结：运用乘法公式求值，往往涉及乘法公式的变形，并把其中某部分看作一个整体，如把a2＋b2与2ab看作一个整体，利用列方程或列方程组求解．
【类型三】 运用乘法公式进行代数推理
在月历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律．
(1)图①是2023年11月份的月历，我们用如图所示的“Z”字形框架任意框住月历中的5个数(如图①中的阴影部分)，将位置B，D上的数相乘，位置A，E上的数相乘，再相减，例如：7×21－6×22＝________，4×18－3×19＝________，不难发现，结果都等于________．(请完成填空)
(2)设“Z”字形框架中位置C上的数为x，请利用整式的运算对(1)中的规律加以说明．
解析：(2)用含x的式子表示出A，B，D，E.再用乘法公式化简．
解：(1)15　15　15
(2)因为“Z”字形框架中位置C上的数为x，所以A，B，D，E四个数依次为x－8，x－7，x＋7，x＋8.由题意得(x－7)(x＋7)－(x－8)(x＋8)＝(x2－49)－(x2－64)＝x2－49－x2＋64＝15，故(1)中的规律正确．
方法总结：观察几个式子或图表中的规律，列出代数式，再利用乘法公式化简，解释说明规律．
三、板书设计
运用乘法公式进行计算和推理
1．平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
2．完全平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝a2－2ab＋b2.
本节课学习了运用乘法公式进行计算和推理，计算时要注意两个方面，一是正确运用公式，判断题目所给出的式子是否适用公式进行计算，运用公式时是用平方差公式还是完全平方公式；二是注意运算的准确性，运算时必须细心，注意符号及项数，避免出现错误．在教学中可采取小组竞赛的方式进行，提高学生的积极性和主动性．

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