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第二章 实数
2.1 第2课时　无理数
1．经历无理数的探索过程．
2．了解无理数的概念．
3．能用计算器求一个正数的算术平方根．
4．通过学生动手操作(做出面积为8 cm2的正方形)，发现新问题，在探讨新问题的过程中学习无限不循环小数、无理数的概念．培养学生动手、观察、推理的能力．激励学生积极参与教学活动，提高大家学习数学的热情．
重点：无理数的探索过程．
难点：无理数的认识．　　　　　　　　　
一、情境导入
在上节课中，我们学习了这个问题：
为了美化校园，学校打算建一个面积为225平方米的正方形植物园，这个正方形的边长应取多少？你能计算出来吗？
如果把“225”改为其他数字，如“200”，这时怎样确定边长？
二、合作探究
探究点一：无理数
【类型一】 无理数的识别
在下列实数中：，3.14，0，，π，，0.1010010001…(相邻的两个1之间依次多一个0)，无理数有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析：根据无理数的定义可以知道，上述实数中是无理数的有：π，，0.1010010001…(相邻的两个1之间依次多一个0).故选C.
方法总结：无限不循环小数叫无理数，常见无理数的三种形式：第一类是开方开不尽的数，第二类是化简后含有π的数，第三类是有规律不循环的小数．
【类型二】 估计无理数的大小
设n为正整数，且n＜＜n＋1，则n的值为(　　)
A．5 B．6 C．7 D．8
解析：根据特殊有理数找出最接近的完全平方数，问题可得到解决．
∵＜＜，
∴8＜＜9.
∵n＜＜n＋1，
∴n＝8，故选D.
方法总结：开不尽的平方根形式的无理数的估算一般步骤是首先将原数平方，看其在哪两个相邻的平方数之间，运用这种方法可以估计一个带根号的数的整数部分，估计其大致范围．
探究点二：用计算器求算术平方根
【类型一】 用计算器求算术平方根
用计算器计算：
(1)；
(2)(精确到0.001)；
(3)(精确到0.001).
解析：(1)按键：“”“1225”“＝”即可；
(2)按键：“”“36.42”“＝”，再取近似值即可；
(3)按键：“”“13”“＝”，再取近似值即可．
解：(1)＝35.
(2)≈6.035.
(3)≈3.606.
方法总结：取近似值时要看下一位，再四舍五入．
【类型二】 算术平方根的实际应用
在交通事故的处理中，警察常用公式v＝16来判断该车是否超速，其中v表示车速(单位：千米/时)，d表示刹车后车轮滑过的距离(单位：米)，f表示摩擦系数．某日，在一段限速60千米/时的公路上，发生了一起两车追尾事故，警察赶到后，经过测量，得出其中一辆车的d＝17.9米，f＝2.3.请问该车超速了吗？
解析：把d＝17.9，f＝2.3代入计算，求出近似值，与60相比较．
解：∵v＝16＝16×≈102.66(千米/小时)，而102.66>60.∴该车超速了．
方法总结：按照规定的运算代值计算，求出近似值.
三、板书设计
1．无理数
2．用计算器求一个正数的算术平方根
本节课通过实际问题引入无理数，让学生感知无理数是客观存在的，激发学生的求知欲望．再让学生用计算器求无理数的近似值，认识到无理数包括无限不循环小数．这样突出学生的主体地位，整个课堂以学生参与为主线，老师起主导作用．第二章 实数
2．1 第1课时 平方根和算术平方根
1．了解平方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根．
2．了解开方与乘方互为逆运算，会用平方根定义求某些非负数的平方根、算术平方根．
3．通过问题情境使学生在计算、探索、交流的过程中能感悟平方根、算术平方根的意义，使学生认识数学与人类生活的密切关系．
重点：平方根和算术平方根的定义与求法．
难点：平方根的定义和性质的探索．
一、情境导入
为了美化校园，学校打算建一个面积为225平方米的正方形植物园，这个正方形的边长应取多少？你能计算出来吗？
二、合作探究
探究点一：平方根
【类型一】 求一个数的平方根
求下列各数的平方根．
(1)16; (2)；
(3)1； (4)(－2.1)2.
解析：根据平方根的性质知道，一个正数有两个平方根，它们是互为相反数．所以只要找出一个数，使得它的平方等于这个数．
解：(1)由于42＝16，因此16的平方根是4与－4，即±＝±4.
(2)由于()2＝，因此的平方根是与－，即±＝±.
(3)1＝，由于()2＝，因此1的平方根是与－，即±＝±.
(4)(－2.1)2＝2.12.因此(－2.1)2的平方根是2.1与－2.1，即±＝±2.1.
方法总结：求一个非负数的平方根，只要找出一个非负数，使得它的平方等于这个数，那么找出的那个非负数，连同它的相反数，就是所求的平方根．
【类型二】 利用平方根的意义求字母的值
已知一个正数的两个平方根分别是2a－2和a－4，则a的值是________．
解析：∵一个正数的两个平方根分别是2a－2和a－4，∴2a－2＋a－4＝0，解得a＝2.故答案为2.
方法总结：本题考查了平方根的概念．一个正数有两个平方根，它们是互为相反数，两个数互为相反数，它们的和为0.
探究点二：算术平方根
【类型一】 求一个数的算术平方根
求下列各数的算术平方根．
(1)1.69; (2)1；
(3)(－5)2; (4)0.
解析：根据算术平方根的定义，求算术平方根时，只取非负的平方根即可．
解：(1)由于1.32＝1.69，因此＝1.3.
(2)由于1＝，()2＝，因此＝.
(3)由于(－5)2＝52，因此＝5.
(4)由于02＝0，因此＝0.
方法总结：求一个数的算术平方根的一般步骤：①找出一个非负数，使得它的平方等于这个数；②写成这个数的算术平方根等于这个非负数的形式．
【类型二】 求含根号式子的值
求下列各式的值．
(1)±； (2)－；
(3)； (4).
解析：(1)±表示49的平方根，所以结果为±7；(2)－表示16的算术平方根的相反数，所以结果为－4；(3)表示的算术平方根，所以结果为；(4)因为＝，而81的算术平方根为9，所以结果为9.
解：(1)±＝±7.
(2)－＝－4.
(3)＝.
(4)＝＝9.
方法总结：理解各个式子表示的意义是解题的关键：±表示a的平方根；表示a的算术平方根；－表示a的算术平方根的相反数．也就是说：只要题目中的式子有意义，结果的符号与式子前面的符号相同．
探究点三：算术平方根的非负性
已知a，b满足|a－2|＋＝0，求ab的值．
解析：由绝对值的意义知：|a－2|≥0；由算术平方根的意义知：≥0，所以a－2＝0，b－3＝0.于是可以求得a，b的值，再代入ab计算即可．
解：因为|a－2|＋＝0，
所以解得
所以ab＝23＝8.
方法总结：几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0.
三、板书设计
平方根 算术平方根
本节课的教学中，通过实例引入平方根的概念，并让学生感悟“负数为什么没有平方根”．引导学生归纳出正数、0、负数的平方根的情况．通过练习进一步理解平方根、算术平方根的概念．本节课易错点是在表示平方根与算术平方根时学生容易混淆；式子表示与语言叙述相结合的题往往只看到一个方面，如“的算术平方根是________．”学生会误填“9”．第二章 实数
2．2　立方根
1．了解立方根的概念．
2．能用立方根运算求某些数的立方根，能用科学计算器求立方根及其近似值．
3．在立方根概念、符号、运算及性质的探究过程中，培养学生联系实际、善于观察、勇于探索和勤于思考的精神．通过对实际问题的解决，体会数学的实用价值．
重点：立方根的概念及运算．
难点：立方根与平方根的区别．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、情境导入
一个正方体的体积为8立方米，这个正方体的棱长是多少？
二、合作探究
探究点一：立方根
【类型一】 求一个数的立方根
求下列各数的立方根．
(1)－27；　(2)0.008；　(3).
解析：根据立方根的定义，把题中各数分别化为一个数的立方即可．
解：(1)∵(－3)3＝－27，∴＝－3.
(2)∵(0.2)3＝0.008，∴＝0.2.
(3)∵()3＝，∴＝.
方法总结：任何一个数都只有一个立方根，其符号与原数的符号相同．
【类型二】 立方根与平方根的综合问题
已知x－2的平方根是±2，2x＋y＋7的立方根是3，求x2＋y2的算术平方根．
解析：根据平方根、立方根的定义和已知条件可知x－2＝4，2x＋y＋7＝27，从而解出x，y，最后代入x2＋y2，求其算术平方根即可．
解：∵x－2的平方根是±2，∴x－2＝4，∴x＝6.
∵2x＋y＋7的立方根是3，∴2x＋y＋7＝27.把x＝6代入解得y＝8.
∵x2＋y2＝68＋82＝100，∴x2＋y2的算术平方根为10.
方法总结：本题先根据平方根和立方根的定义，运用方程思想求出x，y值，再根据算术平方根的定义求解.
探究点二：开立方
计算：
(1)； (2)；
(3)－； (4)＋.
解析：本题实质是求各数的立方根．
解：(1)＝－5.
(2)＝0.4.
(3)－＝－＝3.
(4)＋＝＋＝－＝1.
方法总结：①求立方根时要注意符号；②＝a.
探究点三：用计算器求立方根
用计算器求下列各式的值．
(1)；
(2)－(精确到0.001)；
(3)－(精确到0.001).
解析：先按，，再按根号下的各数字，最后按键即可．(2)(3)小题可先确定结果的符号：(2)小题结果为负，(3)小题结果为正．
解：(1)＝9.
(2)－≈－4.806.
(3)－≈1.751.
键是第二功能键，相继按，键，意思是执行上方所指的功能运算.Ｋ
探究点四：立方根的实际应用
有一块体积为343 cm3的正方体木块，现在要把它分成大小相等的8块小正方体，求每块小正方体的表面积．
解析：先由体积开立方求得边长，再由边长求得表面积．
解：每块小正方体的边长为：＝(cm).
表面积为：6××＝(cm2).
方法总结：正确理解题意，把实际问题转化为数学问题是解题的关键．
三、板书设计
立方根 开立方
本节课通过实例引入了立方根的概念，通过合作探究得出了立方根的性质，激发了学生的学习兴趣，培养了学生的合作意识．要注意立方根与平方根的区别，在教学时可引导学生对比平方根进行学习．第二章 实数
2.3 第二课时　实数的运算
1．了解有理数的运算在实数范围内仍然适用．
2．会进行实数大小的比较．
3．通过实际问题探讨近似值取值，让学生感受到生活中处处存在着数学，激发学生的学习兴趣．
重点：在实数范围内近似值的取值．
难点：实数的大小比较技巧．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、情境导入
如图所示，小明家有一正方形厨房ABCD和一正方形卧室CEFG，其中正方形厨房ABCD的面积为10平方米，正方形卧室CEFG的面积为15平方米，他想知道这两个正方形的边长之和BG的长是多少米，你能帮他计算出来吗？
二、合作探究
探究点一：实数的运算
计算下列各式的值．
(1)2－5－(－5)；
(2)|－|＋|1－|＋|2－|.
解析：按照实数的混合运算顺序进行计算．
解：(1)2－5－(－5)
＝2－5－＋5
＝(2－)＋(5－5)
＝.
(2)因为－＞0，1－＜0，2－＞0，
所以|－|＋|1－|＋|2－|
＝(－)－(1－)＋(2－)
＝－－1＋＋2－
＝(－)＋(－)＋(2－1)
＝1.
方法总结：进行实数的混合运算时，要注意运算顺序以及正确运用运算律．
探究点二：实数的估算和大小比较
【类型一】 估算法
不用计算器，分别估计和－在哪两个相邻整数之间．
解析：估算116介于哪两个完全平方数之间，800介于哪两个立方数之间，再开方得出范围．
解：因为102＝100＜116，112＝121＞116，所以介于10和11之间，即10＜＜11.因为93＝729＜800，103＝1000＞800，所以介于9和10之间，即－10＜－＜－9.
方法总结：估计算术平方根或立方根的大小，先估算被开方数介于哪两个完全平方数或立方数之间，再开方即可．
【类型二】 作差法和作商法
比较大小：(1)与；(2)1－与1－.
解析：把两个数直接相减，根据差的正负比较大小．
解：(1)∵－＝<0，∴<.或÷＝－1＜1，∴＜.
(2)∵(1－)－(1－)＝－>0，∴1－>1－.
方法总结：作差法：设a，b为任意两个实数，先求出a与b的差，再根据“当a－b<0时，a0时，a>b.”来比较a与b的大小．作商法：当a＞0，b＞0时，＞1则a＞b，＜1则a＜b，＝1，则a＝b.
【类型三】 平方法
比较2与3的大小．
解析：两个数都是正数，把它们分别平方后再比较大小．
解：∵(2)2＝12，(3)2＝18，又∵12<18，∴2<3.
方法总结：平方法：比较含有无理数的式子的大小时，先将要比较的两个数分别平方，再根据“在a＞0，b＞0时，可由a2＞b2得到a＞b”比较大小．也就是说，两个正数比较大小时，如果一个数的平方比另一个数的平方大，则这个数大于另一个数．
【类型四】 近似值法
比较大小：(1)π与；(2)－与－4.
解析：借助计算器分别求出它们的近似值，再比较大小．
解：(1)∵π≈3.142，≈3.162，
∴π<.
(2)∵－≈－0.4714，－4≈－0.6834，
－0.4714>－0.6834，
∴－>－4.
方法总结：在比较含有无理数的两个数的大小时，也可以先用计算器求出它们的近似值，不过取它们的近似值时，要保持精确度相同，再通过比较有理数的大小，即比较它们的近似值的大小来确定它们的大小．
三、板书设计
实数的运算 实数的大小比较
由实际问题引入实数的运算，激发学生的学习兴趣．同时复习有理数的运算法则和运算律，并强调这些法则和运算律在实数范围内同样适用．教学中，让学生通过具体的运算(包含无理数的运算)感知运算法则和运算律，培养学生严谨务实、一丝不苟的学习态度．在涉及到用计算器求近似值时，一定要注意题目中的精确度．第二章 实数
2.3 第一课时 认识实数
1．了解无理数和实数的概念，会对实数按照一定的标准进行分类，培养分类能力．
2．了解分类的标准与分类结果的相关性，进一步了解体会“集合”的含义．
3．了解实数范围内相反数、绝对值的意义，运算律的意义．
4．通过对实数分类的探索，学会分类的方法．类比有理数范围内相反数、绝对值、运算律的意义运用到实数范围内．领会数形结合的思想，在运用实数运算解决实际问题的过程中，增强应用意识，提高解决问题的能力，体会数学的应用价值．
重点：实数的概念与分类；在实数范围内求相反数、绝对值；实数范围内的四则运算．
难点：实数的分类；实数范围内的四则运算．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、情境导入
前面我们学习了有理数和无理数，把数的范围又扩大了，那么这个大范围的数叫作什么数？怎样分类？
二、合作探究
探究点一：实数的概念和分类
把下列各数分别填到相应的集合内：
－3.6，，，5，，0，，－，，3.14，0.101001…(相邻的两个1之间依次多1个0).
(1)有理数集合{　　　　…}；
(2)无理数集合{　　　　…}；
(3)整数集合{　　　　…}；
(4)负实数集合{　　　　…}．
解析：实数分为有理数和无理数两类，也可以分为正实数、0、负实数三类．而有理数分为整数和分数．
解：(1)有理数集合{－3.6，，5，0，－，，3.14，…}；
(2)无理数集合{，，，0.101001…(相邻的两个1之间依次多1个0)，…}；
(3)整数集合{，5，0，－，…}；
(4)负实数集合{－3.6，，－，…}．
方法总结：正确理解实数和有理数的概念，做到分类不遗漏不重复．
探究点二：实数与数轴上的点一一对应
【类型一】 求数轴上的点对应的实数
如图所示，数轴上A，B两点表示的数分别是－1和，点B关于点A的对称点为C，求点C所表示的实数．
解析：首先结合数轴和已知条件可以求出线段AB的长度，然后利用对称的性质即可求出C所表示的实数．
解：∵数轴上A，B两点表示的数分别为－1和，∴点B到点A的距离为1＋.则点C到点A的距离也为1＋.
设点C表示的实数为x，则点A到点C的距离为－1－x，∴－1－x＝1＋，∴x＝－2－.
∴点C所表示的实数为－2－.
方法总结：本题主要考察了实数与数轴之间的对应关系，两点之间的距离为两数差的绝对值．
【类型二】 利用数轴进行估算
如图所示，数轴上A，B两点表示的数分别是和5.1，则A，B两点之间表示整数的点共有(　　)
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
解析：∵≈1.414，∴和5.1之间的整数有2，3，4，5，∴A，B两点之间表示整数的点共有4个，故选C.
方法总结：要确定两点间的整数点的个数，也就是需要比较两个端点与邻近整点的大小，牢记数轴上右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大．
【类型三】 结合数轴进行化简
实数在数轴上的对应点如图所示，化简：－|b－a|－.
解析：由于＝|a|，＝|b＋c|，所以解题时应先确定a，b－a，b＋c的符号，再根据绝对值的意义化简．
解：由图可知，a<0，b－a>0，b＋c<0.
所以，原式＝|a|－|b－a|－|b＋c|＝－a－(b－a)＋(b＋c)＝－a－b＋a＋b＋c＝c.
方法总结：根据实数的绝对值的意义正确去绝对值符号是解题的关键：|a|＝
探究点三：相反数和绝对值
求下列各数的相反数和绝对值．
(1)；　(2)－；　(3)－1＋.
解析：根据相反数、绝对值的定义求解．
解：(1)的相反数是－，绝对值是.
(2)－的相反数是－＋，绝对值是－＋.
(3)－1＋的相反数是1－，绝对值是－1＋.
方法总结：只有符号不同的两个数互为相反数，求一个数的相反数时，只需在这个数的前面加上“－”号再去括号即可．求一个数的绝对值，需要分清这个数是正数、0还是负数．正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数.
三、板书设计
本节课学习了实数的有关概念和实数的分类，把我们所学过的数在有理数的基础上扩充到实数．在学习中，要求学生结合有理数理解实数的有关概念．本节课要注意的地方有两个：一是所有的分数都是有理数，如；二是形如，等之类的含有π的数不是分数，是无理数．

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