第2章 实数 教案(5份打包)2024-2025学年湘教版七年级数学下册

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第2章 实数 教案(5份打包)2024-2025学年湘教版七年级数学下册

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第二章 实数
2.1 第2课时 无理数
1.经历无理数的探索过程.
2.了解无理数的概念.
3.能用计算器求一个正数的算术平方根.
4.通过学生动手操作(做出面积为8 cm2的正方形),发现新问题,在探讨新问题的过程中学习无限不循环小数、无理数的概念.培养学生动手、观察、推理的能力.激励学生积极参与教学活动,提高大家学习数学的热情.
重点:无理数的探索过程.
难点:无理数的认识.         
一、情境导入
在上节课中,我们学习了这个问题:
为了美化校园,学校打算建一个面积为225平方米的正方形植物园,这个正方形的边长应取多少?你能计算出来吗?
如果把“225”改为其他数字,如“200”,这时怎样确定边长?
二、合作探究
探究点一:无理数
【类型一】 无理数的识别
在下列实数中:,3.14,0,,π,,0.1010010001…(相邻的两个1之间依次多一个0),无理数有(  )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析:根据无理数的定义可以知道,上述实数中是无理数的有:π,,0.1010010001…(相邻的两个1之间依次多一个0).故选C.
方法总结:无限不循环小数叫无理数,常见无理数的三种形式:第一类是开方开不尽的数,第二类是化简后含有π的数,第三类是有规律不循环的小数.
【类型二】 估计无理数的大小
设n为正整数,且n<<n+1,则n的值为(  )
A.5 B.6 C.7 D.8
解析:根据特殊有理数找出最接近的完全平方数,问题可得到解决.
∵<<,
∴8<<9.
∵n<<n+1,
∴n=8,故选D.
方法总结:开不尽的平方根形式的无理数的估算一般步骤是首先将原数平方,看其在哪两个相邻的平方数之间,运用这种方法可以估计一个带根号的数的整数部分,估计其大致范围.
探究点二:用计算器求算术平方根
【类型一】 用计算器求算术平方根
用计算器计算:
(1);
(2)(精确到0.001);
(3)(精确到0.001).
解析:(1)按键:“”“1225”“=”即可;
(2)按键:“”“36.42”“=”,再取近似值即可;
(3)按键:“”“13”“=”,再取近似值即可.
解:(1)=35.
(2)≈6.035.
(3)≈3.606.
方法总结:取近似值时要看下一位,再四舍五入.
【类型二】 算术平方根的实际应用
在交通事故的处理中,警察常用公式v=16来判断该车是否超速,其中v表示车速(单位:千米/时),d表示刹车后车轮滑过的距离(单位:米),f表示摩擦系数.某日,在一段限速60千米/时的公路上,发生了一起两车追尾事故,警察赶到后,经过测量,得出其中一辆车的d=17.9米,f=2.3.请问该车超速了吗?
解析:把d=17.9,f=2.3代入计算,求出近似值,与60相比较.
解:∵v=16=16×≈102.66(千米/小时),而102.66>60.∴该车超速了.
方法总结:按照规定的运算代值计算,求出近似值.
三、板书设计
1.无理数
2.用计算器求一个正数的算术平方根
本节课通过实际问题引入无理数,让学生感知无理数是客观存在的,激发学生的求知欲望.再让学生用计算器求无理数的近似值,认识到无理数包括无限不循环小数.这样突出学生的主体地位,整个课堂以学生参与为主线,老师起主导作用.第二章 实数
2.1 第1课时 平方根和算术平方根
1.了解平方根的概念,会用根号表示数的平方根、算术平方根.
2.了解开方与乘方互为逆运算,会用平方根定义求某些非负数的平方根、算术平方根.
3.通过问题情境使学生在计算、探索、交流的过程中能感悟平方根、算术平方根的意义,使学生认识数学与人类生活的密切关系.
重点:平方根和算术平方根的定义与求法.
难点:平方根的定义和性质的探索.
一、情境导入
为了美化校园,学校打算建一个面积为225平方米的正方形植物园,这个正方形的边长应取多少?你能计算出来吗?
二、合作探究
探究点一:平方根
【类型一】 求一个数的平方根
求下列各数的平方根.
(1)16; (2);
(3)1; (4)(-2.1)2.
解析:根据平方根的性质知道,一个正数有两个平方根,它们是互为相反数.所以只要找出一个数,使得它的平方等于这个数.
解:(1)由于42=16,因此16的平方根是4与-4,即±=±4.
(2)由于()2=,因此的平方根是与-,即±=±.
(3)1=,由于()2=,因此1的平方根是与-,即±=±.
(4)(-2.1)2=2.12.因此(-2.1)2的平方根是2.1与-2.1,即±=±2.1.
方法总结:求一个非负数的平方根,只要找出一个非负数,使得它的平方等于这个数,那么找出的那个非负数,连同它的相反数,就是所求的平方根.
【类型二】 利用平方根的意义求字母的值
已知一个正数的两个平方根分别是2a-2和a-4,则a的值是________.
解析:∵一个正数的两个平方根分别是2a-2和a-4,∴2a-2+a-4=0,解得a=2.故答案为2.
方法总结:本题考查了平方根的概念.一个正数有两个平方根,它们是互为相反数,两个数互为相反数,它们的和为0.
探究点二:算术平方根
【类型一】 求一个数的算术平方根
求下列各数的算术平方根.
(1)1.69; (2)1;
(3)(-5)2; (4)0.
解析:根据算术平方根的定义,求算术平方根时,只取非负的平方根即可.
解:(1)由于1.32=1.69,因此=1.3.
(2)由于1=,()2=,因此=.
(3)由于(-5)2=52,因此=5.
(4)由于02=0,因此=0.
方法总结:求一个数的算术平方根的一般步骤:①找出一个非负数,使得它的平方等于这个数;②写成这个数的算术平方根等于这个非负数的形式.
【类型二】 求含根号式子的值
求下列各式的值.
(1)±; (2)-;
(3); (4).
解析:(1)±表示49的平方根,所以结果为±7;(2)-表示16的算术平方根的相反数,所以结果为-4;(3)表示的算术平方根,所以结果为;(4)因为=,而81的算术平方根为9,所以结果为9.
解:(1)±=±7.
(2)-=-4.
(3)=.
(4)==9.
方法总结:理解各个式子表示的意义是解题的关键:±表示a的平方根;表示a的算术平方根;-表示a的算术平方根的相反数.也就是说:只要题目中的式子有意义,结果的符号与式子前面的符号相同.
探究点三:算术平方根的非负性
已知a,b满足|a-2|+=0,求ab的值.
解析:由绝对值的意义知:|a-2|≥0;由算术平方根的意义知:≥0,所以a-2=0,b-3=0.于是可以求得a,b的值,再代入ab计算即可.
解:因为|a-2|+=0,
所以解得
所以ab=23=8.
方法总结:几个非负数的和为0,则这几个非负数分别等于0.
三、板书设计
平方根 算术平方根
本节课的教学中,通过实例引入平方根的概念,并让学生感悟“负数为什么没有平方根”.引导学生归纳出正数、0、负数的平方根的情况.通过练习进一步理解平方根、算术平方根的概念.本节课易错点是在表示平方根与算术平方根时学生容易混淆;式子表示与语言叙述相结合的题往往只看到一个方面,如“的算术平方根是________.”学生会误填“9”.第二章 实数
2.2 立方根
1.了解立方根的概念.
2.能用立方根运算求某些数的立方根,能用科学计算器求立方根及其近似值.
3.在立方根概念、符号、运算及性质的探究过程中,培养学生联系实际、善于观察、勇于探索和勤于思考的精神.通过对实际问题的解决,体会数学的实用价值.
重点:立方根的概念及运算.
难点:立方根与平方根的区别.
                   
一、情境导入
一个正方体的体积为8立方米,这个正方体的棱长是多少?
二、合作探究
探究点一:立方根
【类型一】 求一个数的立方根
求下列各数的立方根.
(1)-27; (2)0.008; (3).
解析:根据立方根的定义,把题中各数分别化为一个数的立方即可.
解:(1)∵(-3)3=-27,∴=-3.
(2)∵(0.2)3=0.008,∴=0.2.
(3)∵()3=,∴=.
方法总结:任何一个数都只有一个立方根,其符号与原数的符号相同.
【类型二】 立方根与平方根的综合问题
已知x-2的平方根是±2,2x+y+7的立方根是3,求x2+y2的算术平方根.
解析:根据平方根、立方根的定义和已知条件可知x-2=4,2x+y+7=27,从而解出x,y,最后代入x2+y2,求其算术平方根即可.
解:∵x-2的平方根是±2,∴x-2=4,∴x=6.
∵2x+y+7的立方根是3,∴2x+y+7=27.把x=6代入解得y=8.
∵x2+y2=68+82=100,∴x2+y2的算术平方根为10.
方法总结:本题先根据平方根和立方根的定义,运用方程思想求出x,y值,再根据算术平方根的定义求解.
探究点二:开立方
计算:
(1); (2);
(3)-; (4)+.
解析:本题实质是求各数的立方根.
解:(1)=-5.
(2)=0.4.
(3)-=-=3.
(4)+=+=-=1.
方法总结:①求立方根时要注意符号;②=a.
探究点三:用计算器求立方根
用计算器求下列各式的值.
(1);
(2)-(精确到0.001);
(3)-(精确到0.001).
解析:先按,,再按根号下的各数字,最后按键即可.(2)(3)小题可先确定结果的符号:(2)小题结果为负,(3)小题结果为正.
解:(1)=9.
(2)-≈-4.806.
(3)-≈1.751.
键是第二功能键,相继按,键,意思是执行上方所指的功能运算.K
探究点四:立方根的实际应用
有一块体积为343 cm3的正方体木块,现在要把它分成大小相等的8块小正方体,求每块小正方体的表面积.
解析:先由体积开立方求得边长,再由边长求得表面积.
解:每块小正方体的边长为:=(cm).
表面积为:6××=(cm2).
方法总结:正确理解题意,把实际问题转化为数学问题是解题的关键.
三、板书设计
立方根 开立方
本节课通过实例引入了立方根的概念,通过合作探究得出了立方根的性质,激发了学生的学习兴趣,培养了学生的合作意识.要注意立方根与平方根的区别,在教学时可引导学生对比平方根进行学习.第二章 实数
2.3 第二课时 实数的运算
1.了解有理数的运算在实数范围内仍然适用.
2.会进行实数大小的比较.
3.通过实际问题探讨近似值取值,让学生感受到生活中处处存在着数学,激发学生的学习兴趣.
重点:在实数范围内近似值的取值.
难点:实数的大小比较技巧.
                   
一、情境导入
如图所示,小明家有一正方形厨房ABCD和一正方形卧室CEFG,其中正方形厨房ABCD的面积为10平方米,正方形卧室CEFG的面积为15平方米,他想知道这两个正方形的边长之和BG的长是多少米,你能帮他计算出来吗?
二、合作探究
探究点一:实数的运算
计算下列各式的值.
(1)2-5-(-5);
(2)|-|+|1-|+|2-|.
解析:按照实数的混合运算顺序进行计算.
解:(1)2-5-(-5)
=2-5-+5
=(2-)+(5-5)
=.
(2)因为->0,1-<0,2->0,
所以|-|+|1-|+|2-|
=(-)-(1-)+(2-)
=--1++2-
=(-)+(-)+(2-1)
=1.
方法总结:进行实数的混合运算时,要注意运算顺序以及正确运用运算律.
探究点二:实数的估算和大小比较
【类型一】 估算法
不用计算器,分别估计和-在哪两个相邻整数之间.
解析:估算116介于哪两个完全平方数之间,800介于哪两个立方数之间,再开方得出范围.
解:因为102=100<116,112=121>116,所以介于10和11之间,即10<<11.因为93=729<800,103=1000>800,所以介于9和10之间,即-10<-<-9.
方法总结:估计算术平方根或立方根的大小,先估算被开方数介于哪两个完全平方数或立方数之间,再开方即可.
【类型二】 作差法和作商法
比较大小:(1)与;(2)1-与1-.
解析:把两个数直接相减,根据差的正负比较大小.
解:(1)∵-=<0,∴<.或÷=-1<1,∴<.
(2)∵(1-)-(1-)=->0,∴1->1-.
方法总结:作差法:设a,b为任意两个实数,先求出a与b的差,再根据“当a-b<0时,a0时,a>b.”来比较a与b的大小.作商法:当a>0,b>0时,>1则a>b,<1则a<b,=1,则a=b.
【类型三】 平方法
比较2与3的大小.
解析:两个数都是正数,把它们分别平方后再比较大小.
解:∵(2)2=12,(3)2=18,又∵12<18,∴2<3.
方法总结:平方法:比较含有无理数的式子的大小时,先将要比较的两个数分别平方,再根据“在a>0,b>0时,可由a2>b2得到a>b”比较大小.也就是说,两个正数比较大小时,如果一个数的平方比另一个数的平方大,则这个数大于另一个数.
【类型四】 近似值法
比较大小:(1)π与;(2)-与-4.
解析:借助计算器分别求出它们的近似值,再比较大小.
解:(1)∵π≈3.142,≈3.162,
∴π<.
(2)∵-≈-0.4714,-4≈-0.6834,
-0.4714>-0.6834,
∴->-4.
方法总结:在比较含有无理数的两个数的大小时,也可以先用计算器求出它们的近似值,不过取它们的近似值时,要保持精确度相同,再通过比较有理数的大小,即比较它们的近似值的大小来确定它们的大小.
三、板书设计
实数的运算 实数的大小比较
由实际问题引入实数的运算,激发学生的学习兴趣.同时复习有理数的运算法则和运算律,并强调这些法则和运算律在实数范围内同样适用.教学中,让学生通过具体的运算(包含无理数的运算)感知运算法则和运算律,培养学生严谨务实、一丝不苟的学习态度.在涉及到用计算器求近似值时,一定要注意题目中的精确度.第二章 实数
2.3 第一课时 认识实数
1.了解无理数和实数的概念,会对实数按照一定的标准进行分类,培养分类能力.
2.了解分类的标准与分类结果的相关性,进一步了解体会“集合”的含义.
3.了解实数范围内相反数、绝对值的意义,运算律的意义.
4.通过对实数分类的探索,学会分类的方法.类比有理数范围内相反数、绝对值、运算律的意义运用到实数范围内.领会数形结合的思想,在运用实数运算解决实际问题的过程中,增强应用意识,提高解决问题的能力,体会数学的应用价值.
重点:实数的概念与分类;在实数范围内求相反数、绝对值;实数范围内的四则运算.
难点:实数的分类;实数范围内的四则运算.
                   
一、情境导入
前面我们学习了有理数和无理数,把数的范围又扩大了,那么这个大范围的数叫作什么数?怎样分类?
二、合作探究
探究点一:实数的概念和分类
把下列各数分别填到相应的集合内:
-3.6,,,5,,0,,-,,3.14,0.101001…(相邻的两个1之间依次多1个0).
(1)有理数集合{    …};
(2)无理数集合{    …};
(3)整数集合{    …};
(4)负实数集合{    …}.
解析:实数分为有理数和无理数两类,也可以分为正实数、0、负实数三类.而有理数分为整数和分数.
解:(1)有理数集合{-3.6,,5,0,-,,3.14,…};
(2)无理数集合{,,,0.101001…(相邻的两个1之间依次多1个0),…};
(3)整数集合{,5,0,-,…};
(4)负实数集合{-3.6,,-,…}.
方法总结:正确理解实数和有理数的概念,做到分类不遗漏不重复.
探究点二:实数与数轴上的点一一对应
【类型一】 求数轴上的点对应的实数
如图所示,数轴上A,B两点表示的数分别是-1和,点B关于点A的对称点为C,求点C所表示的实数.
解析:首先结合数轴和已知条件可以求出线段AB的长度,然后利用对称的性质即可求出C所表示的实数.
解:∵数轴上A,B两点表示的数分别为-1和,∴点B到点A的距离为1+.则点C到点A的距离也为1+.
设点C表示的实数为x,则点A到点C的距离为-1-x,∴-1-x=1+,∴x=-2-.
∴点C所表示的实数为-2-.
方法总结:本题主要考察了实数与数轴之间的对应关系,两点之间的距离为两数差的绝对值.
【类型二】 利用数轴进行估算
如图所示,数轴上A,B两点表示的数分别是和5.1,则A,B两点之间表示整数的点共有(  )
A.6个 B.5个 C.4个 D.3个
解析:∵≈1.414,∴和5.1之间的整数有2,3,4,5,∴A,B两点之间表示整数的点共有4个,故选C.
方法总结:要确定两点间的整数点的个数,也就是需要比较两个端点与邻近整点的大小,牢记数轴上右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大.
【类型三】 结合数轴进行化简
实数在数轴上的对应点如图所示,化简:-|b-a|-.
解析:由于=|a|,=|b+c|,所以解题时应先确定a,b-a,b+c的符号,再根据绝对值的意义化简.
解:由图可知,a<0,b-a>0,b+c<0.
所以,原式=|a|-|b-a|-|b+c|=-a-(b-a)+(b+c)=-a-b+a+b+c=c.
方法总结:根据实数的绝对值的意义正确去绝对值符号是解题的关键:|a|=
探究点三:相反数和绝对值
求下列各数的相反数和绝对值.
(1); (2)-; (3)-1+.
解析:根据相反数、绝对值的定义求解.
解:(1)的相反数是-,绝对值是.
(2)-的相反数是-+,绝对值是-+.
(3)-1+的相反数是1-,绝对值是-1+.
方法总结:只有符号不同的两个数互为相反数,求一个数的相反数时,只需在这个数的前面加上“-”号再去括号即可.求一个数的绝对值,需要分清这个数是正数、0还是负数.正数的绝对值是它本身,0的绝对值是0,负数的绝对值是它的相反数.
三、板书设计
本节课学习了实数的有关概念和实数的分类,把我们所学过的数在有理数的基础上扩充到实数.在学习中,要求学生结合有理数理解实数的有关概念.本节课要注意的地方有两个:一是所有的分数都是有理数,如;二是形如,等之类的含有π的数不是分数,是无理数.

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