资源简介

第七章 相交线与平行线
7.2.3 平行线的性质
第1课时 平行线的性质
本节内容是人教版义务教育课程标准实验教科书《数学》七年级下册第七章相交线与平行线的7.2.3节《平行线的性质》(第1课时)，属于空间与图形领域的知识.平行线是最简单、最基本的几何图形，在生活中随处可见.它不仅是研究其它图形的基础，而且在实际生活中有着广泛的作用.平行线的性质为三角形的内角和定理的证明转化的方法提供了支撑，也为今后学习三角形全等、三角形相似等知识奠定了理论基础.因此，在初中阶段的几何研究中，占据着重要的地位，平行线的性质是空间与图形领域的基础知识，后续学习的基础，让学生通过探索活动来发现结论，经历知识的“再发现”过程，可增强学生对性质的认识和理解，培养学生多方面的能力.
教科书在本书开始首先提出一个思考问题,引入对平行线性质的研究，同时也向学生渗透判定与性质的互逆关系.对于平行线性质的研究，教科书是类比平行线的判定来进行的，即关于同位角的性质通过探究得出，关于内错角和同旁内角的性质通过推理得出，接下来，教科书设置了一个通过测量来探索平行线的性质1的探索活动，通过任意画平行线的一些截线，来探索两条平行线被第三条直线所截所形成的同位角的数量关系，从而得出平行线的性质1，在此之后，教科书安排了一个思考，让学生由性质1推出性质2和性质 3，循序渐进地引导学生思考，使学生养成言之有据的习惯.
学生已经学习同位角、内错角、同旁内角等及角的比较，并且在之前已经学会了平行线的画法，对平行线有了初步的认识.但是，对平行线的认识还不够深入，还不能够将平行线应用到几何证明中.通过本节课的学习，学生要理解平行线的性质，并能够为我所用.学生在学习本节课的过程中，可能遇到的问题，首先对各类角的认识并不熟练，拿到几何图形后可能有无从下手的无力感.其次，在进行严谨的逻辑证明时，如何进行说理，如何思考，如何表述都是本节课学生需要突破的一大障碍.
1.理解并掌握平行线的性质公理和定理；
2.能熟练运用平行线的性质进行简单的推理证明；
3.经历观察、测量、推理、交流等活动，进一步发展空间观念，能有条理地思考和表达自己的探索过程和结果，从而进一步分析、概括、表达能力；
4.在探究活动中，让学生获得亲自参与研究的情感体验，从而增强学生学习数学的热情和勇于探索、锲而不舍的精神.
重点: 理解并掌握平行线的性质公理和定理；
难点: 能熟练运用平行线的性质进行简单的推理证明.
复习回顾
问题1：日常生活中我们经常会遇到平行线，平行线的判定方法是什么？
师生活动：学生独立思考回顾上节课所学的平行线判定方法，共同作答.
答： 同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行.
追问：反过来，如果两条直线平行，同位角、内错角、同旁内角各有什么关系呢？
设计意图：回顾平行线的判定定理，为后面平行线性质的学习做铺垫;由已知推动未知激发学生的学习兴趣.
探究新知
活动一：探究平行线的性质1
问题2：画两条平行线a//b，然后任意画一条截线c与a、b相交，标出如图所示的角.
(1)度量所形成的8个角的度数.
(2)这八个角中，哪些是同位角？它们的度数之间有什么关系？
(3)由此猜想两条平行线被第三条直线截得的同位角有什么关系？
(4)再任意画一条截线d，同样度量并比较各对同位角的度数，你的猜想还成立吗？
师生活动：学生动手操作，并根据测量结果推断出结论，然后以小组为单位进行交流讨论.教师鼓励学生在独立思考的基确上与人合作交流，然后点名回答.最后教师归纳并板演平行线的性质，规范文字话言.
答：同位角：∠1与∠5，∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8.
关系：∠1=∠5，∠2=∠6，∠3=∠7，∠4=∠8.
猜想：两条平行线被第三条直线截得的同位角相等.
可以发现，改变截线c的位置过程中:∠1=∠5，∠2=∠6，∠3=∠7，∠4=∠8.
当a//b，同位角总是相等的.
性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.
简单说成：两直线平行，同位角相等.
几何语言：
∵a∥b(已知)，
∴∠1=∠2 (两直线平行，同位角相等).
设计意图：让学生充分经历动手操作-独立思考-小组合作一验证的探究过程，并且在这一过程中，以问题串的形式引发学生思考，锻炼学生由图形语言转化为文宇语言、文宇语言转化为符号语言的归纳能力和表达能力，为下一步推理性质2、性质3打下基.
活动二：探究平行线的性质2
问题3：前面我们利用“同位角相等，两直线平行”推出了“内错角相等，两直线平行”.类似地，你能由性质1推出两条平行线被第三条直线截得的内错角之间的关系吗
师生活动：教师引导观察和讨论:让学生观察图形并讨论内错角的关系.教师提出问题:“在这个图形中，2与3有什么关系 ”学生进行讨论并尝试回答.
追问：如图，已知a//b，那么2与3相等吗？
分析：两直线平行得同位角相等，进行角的转化，即可证明.
追问：请尝试写出几何求解过程.
解： ∵ a∥b(已知)，
∴∠1=∠2(两直线平行，同位角相等).
又∵ ∠1=∠3(对顶角相等),
∴ ∠2=∠3(等量代换).
性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.
简单说成：两直线平行，内错角相等.
几何语言：
∵a∥b(已知)，
∴∠2=∠3 (两直线平行，内错角相等).
设计意图：在教师引导下逐步构建研究思路，循序渐进地引导学生思考，从“说点理”向“说清理”过渡，逐步培养学生的推理能力,使学生初步养成言之有据的习惯，从而能进行简单的推理.
活动三：探究平行线的性质3
问题4：类似地，已知两直线平行，能否得到同旁内角之间的数量关系？
如图，已知a//b，那么2与4有什么关系呢？为什么？
请分组证明并进行归纳.
师生活动:学生分组在练习本上书写推理过程，老师选择有代表的书写过程用投影仪展示，根据展示的书写情况，师生共同做修改或补充，这里注意要选择书写不符合逻辑的来展示,
在学行线的3条性质后，师生一起归纳平行线的3条性质.教师引导，学生集体口述平行线的性质，教师总结性质的条件和的特点:条件是位置关系，结论是数量关系，位置关系和数量关系是几何研究中的两种重要关系，提醒同学们在以后的学习中要认真体会.
解: ∵a//b (已知),
∴ 1= 2(两直线平行，同位角相等).
∵ 1+ 4=180°(邻补角的性质),
∴ 2+ 4=180°(等量代换).
性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.
简单说成：两直线平行，同旁内角互补.
几何语言：
∵a∥b(已知)，
∴∠2+∠4=180° (两直线平行，同旁内角互补).
设计意图：在教师的引导下学生逐步构建研究思路，关注学生的实际操作，激发学生探究兴趣,给学生留有充分的探索和交流空间,引导学生在操作中思考、总结.
应用新知
【教材例题】
如图是一块梯形铁片的残余部分，量得∠A=100°，∠B=115°，梯形的另外两个角∠D，∠C分别是多少度？
师生活动:教师引导学生思考:(1)梯形上、下两底.AB，DC 有什么样的位置关系呢 (2)∠A与∠D，∠B与∠C有什么样的关系呢 学生独立完成解题过程，教师点评，规范格式.
分析：根据梯形的定义可知梯形的一组对边平行，再利用平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，求出梯形另外两个角的度数.
解：因为梯形上、下两底DC与AB互相平行，
根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得 ∠A与∠D互补， ∠B与∠C互补. 于是
∠D=180 °-∠A=180°-100°=80°,
∠C= 180 °-∠B=180°-115°=65°.
所以梯形的另外两个角∠D，∠C分别是80°、65°.
设计意图：通过例题让学生巩固新知，培养学生逻辑思维能力，锻炼学生的推理能力，教师规范写出解答过程，给学生一个良好的示范过程.
课堂练习
【教材练习】
1.如图，直线a∥b，∠1＝54°，∠2，∠3，∠4各是多少度？
分析：①∠1和∠2是对顶角，对顶角是相等的，所以∠1=∠2；
②∠1和∠4是同位角，两直线平行，同位角相等，所以∠1=∠4；
③平角是180°，∠3和∠4组成一个平角，所以∠3的度数等于180°减去∠4的度数.
解： ∵∠1＝54° ，
∴∠2=∠1＝54°(对顶角相等).
又∵a∥b，
∴∠4=∠1＝54°(两直线平行，同位角相等).
∴∠3=180°-∠4＝180°-54°=126°.
2.如图，在三角形ABC中，D是AB上一点，E是AC上一点，∠ADE=60°，∠B=60°，∠AED=40°.
(1)DE和BC 平行吗 为什么
(2)∠C是多少度 为什么
分析：根据平行线的判定定理和性质即可得出结论.
解：(1)∵∠ADE=∠B=60°，
∴DE∥BC (同位角相等，两直线平行).
(2)∵DE∥BC，∠AED=40°，
∴ ∠C=∠ADE=40°(两直线平行，同位角相等).
3.将一个直角三角尺与两边平行的纸条如图放置，则下列结论正确的是 (填序号).
① ∠1=∠2; ② ∠4+∠5=180°;
③ ∠1+∠4=90°; ④ ∠4+90°=∠3.
分析：①因为纸条两边平行，而∠1与∠2是同位角，所以∠1=∠2，正确.
②∠4与∠5是同旁内角，由两直线平行，同旁内角互补的性质可得∠4+∠5=180°，正确.
③ 由于三角尺是直角三角尺，所以∠2+∠4=90°，又因为∠1=∠2，所以∠1+∠4=90°，正确.
④因为∠4+90°=180°-∠2，又因为∠2与∠3是同旁内角，由同旁内角互补的性质，得∠3=180°-∠2，所以∠4+90°=∠3，正确.
答：①②③④
【限时训练】
1.下列图形中，由AB∥CD，能得到∠1=∠2的是( ).
分析：A.∵AB∥CD，∠1与∠2是同旁内角，∴∠1+∠2=180°.
B.∠1的对顶角和∠2的对顶角形成一对内错角，这两个角相等，∴∠1=∠2
C.∠1与∠2是内错角，但AC和BD不一定平行，不能判断∠1与∠2是否相等.
D.∠1与∠2是同旁内角，由AB∥CD，不能判断∠1与∠2是否相等.
答：B
2. 如图所示，直线a∥b，点B在直线a上，AB⊥BC，若∠1＝38°，则∠2的度数为 ( ).
A. 38° B. 52° C. 76° D. 142°
分析：∵AB⊥BC，∠1＝38°，
∴∠3=180°-90°-38°=52°.
∵a∥b
∴∠2=∠3=52°，故选:B.
答：B.
3.一只因损坏而倾斜的椅子，从背后看到的形状如图，其中两组对边的平行关系没有发生变化，若∠1=75°，则∠2的大小是 　 　.
分析：对图形中的部分点、角进行标注，如图：
∵AD ∥BC ，∠1=75°，
∴∠1=∠3=75°.
∵AB ∥DC ，
∴∠2+∠3=180°.
∴∠2=180°-∠3=180°-75°=105°。.
答：105°
4.如图，在 ABC中，CE⊥AB于点E，DF⊥AB于点F，AC//ED，CE是∠ACB的平分线，则∠EDF=∠BDF，请说明理由.
分析：先运用垂直于同一条直线的两直线平行，得出∠BDF=∠1，∠FDE=∠3，再根据平行线的性质得出∠3=∠2，然后利用角平分线等量代换即可得出两角的关系.
解：∵CE⊥AB于E，DF⊥AB于F
∴DF//CE(垂直于同一条直线的两直线平行).
∴∠BDF=∠1(两直线平行，同位角相等)，
∠FDE=∠3(两直线平行，内错角相等).
又∵AC//ED，
∴∠2=∠3(两直线平行，内错角相等).
∵CE是∠ACB的角平分线，
∴∠1=∠2.
∴∠EDF=∠BDF(等量代换).
设计意图：通过课堂练习巩固新知，加深对本节课的理解及应用.
归纳总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容.
1.本节课你学到了什么？
2.平行线的性质有哪些？
设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.
实践作业
随便在纸上画出一个角，在不用量角器的情况下你能用多少种方法画出和该角一样度数的角？
本节课注重知识的形成过程，培养学生的自主探究与合作探究的能力，整个课最突出的环节是平行线性质的得到过程，在上课时让学生通过自主画图进行探索，得到猜想再通过验证发现的，即在学生充分活动的基础上，由学生自己发现问题的结论，让学生感受成功的喜悦，增强学习的兴趣和学习的自信心.
在探究“两直线平行，同位角相等”时，要求全体学生参与，体现了新课程理念下的交流与合作，在教学中，设计了知识的拓展环节，加深了学生对平行性质的理解，在练习的设置过程中，从简到难，由简单的平行线性质的应用到平行线性质两步或三步运用，学生容易接受.第七章 相交线与平行线
7.2.3 平行线的性质
第2课时 平行线的性质与判定的综合应用
本节内容是人教版义务教育课程标准实验教科书《数学》七年级下册第七章相交线与平行线的7.2.3节《平行线的性质》(第2课时)，是在学生学行线的判定、平行线的性质的基础上进行的习题课，主要目的是复习、巩固判断直线平行的条件和平行线性质的相关内容，平行线是图形与几何领域中最基础的几何图形，是学生在初中阶段学习三角形，平行四边形的基础，本章也是初次认识判定和性质，为后期学习其他图形的判定和性质打下了知识基础.平行线在生活中也有着广泛的应用，探索和掌握好平行线的相关知识，不仅为我们学习好数学知识奠定了基础，也在学生更好的认识世界、发展空间观念和推理能力等方面发挥着至关重要的作用.
1.学生的知识技能基础:
学生已经认识了“三线八角”及平行线的判定与性质，能够正确的表示角，能够进行简单的说理证明.具有一定的读图能力和数形结合思想的意识.
2.学生的活动经验基础:
在将近一年的初中数学学习过程中，学生具备了相对较好的小组合作意识和合作能力，能够较为准确的、有条理的进行说理证明，在课堂活动中已经养成了良好的小组合作探究的能力，也依然保持着学习的积极性，具有较强的表现欲.
1.进一步熟悉平行线的判定方法和性质，能够综合运用平行线性质和判定进行推理证明；
2.进一步学会识图，能将复杂图形分解为基本图形，会对已知条件和求证结论进行转化；
3.了解分析问题的方法(分析法、综合法)，初步领会化繁为简、化未知为已知的化归思想；
4.培养学生合作交流意识和探索精神，提高学习数学的兴趣.
重点:.进一步熟悉平行线的判定方法和性质，能够综合运用平行线性质和判定进行推理证明；
难点: 进一步学会识图，能将复杂图形分解为基本图形，会对已知条件和求证结论进行转化.
复习回顾
问题1：平行线三个性质的条件是什么 结论是什么 它与判定有什么区别
师生活动：学生独立思考回顾上几节课所学的平行线判定与性质定理，共同作答.
答：
设计意图：复习旧知，用形象的语言帮助学生区分判定与性质，为学习本节课的内容做好铺垫.
探究新知
活动一：探究平行线性质与判定的综合应用
问题2：如图，已知直线a∥b，∠1=∠3，那么直线c与d平行吗 为什么
师生活动：学生分组在练习本上书写推理过程，老师选择有代表的书写过程用投影仪展示，根据展示的书写情况，师生共同做修改或补充，这里注意要选择书写不符合逻辑的来展示.
分析：
解:直线c与d平行.理由如下:
如图，
∵a//b，
∴∠1=∠2(两直线平行，内错角相等).
又∵∠1=∠3，
∴∠2=∠3.
∴c//d(同位角相等、两直线平行).
追问：你能用其他方法判定直线c与d平行吗
分析：也可通过内错角相等或同旁内角互补判定直线c与d平行.
解:方法二：解:直线c与d平行.理由如下:如图，
∵a//b，
∴∠1=∠4(两直线平行，同位角相等).
又∵∠1=∠3，
∴∠4=∠3.
∴c//d(内错角相等、两直线平行).
方法三：解:直线c与d平行.理由如下:如图，
∵a//b，
∴∠1+∠5=180° (两直线平行，同位角互补).
又∵∠1=∠3，
∴∠3+∠5=180°.
∴c//d(同位角相等、两直线平行).
总结：
设计意图：通过详细的例题讲解，让学生清楚地了解平行线的性质与判定的综合运用的具体步骤和思路，掌握解题的规范和技巧，培养学生的逻辑思维能力和运算能力.
活动二：探究做辅助线解决问题的方法
问题3：如图，∠E=∠B+∠D，猜想AB与CD有怎样的位置关系，并说明理由.
师生活动：教师引导观察和讨论:通过已知条件和图无法找出思路时，可以添加辅助线.学生先小组讨论如何添加辅助线，添加后，讨论求证.
分析：①构造辅助线：通过连接B，D两点构造截线BD及三角形BDE和新的角；
②利用三角形内角和定理；
③等量代换，进而利用平行线的判定得出结论.
解:AB//CD.理由如下:如图，连接BD.
在三角形BDE中，∠1+∠2+∠E=180°，
∵∠E=∠3+∠4，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°.
即 ∠ABD+∠CDB=180°，
∴AB//CD(同旁内角互补，两直线平行).
归纳：①在解决平行线的问题时，当无法直接得到角的关系或两条线之间的位置关系时，通常作辅助线来帮助解答.
②如何作辅助线需根据已知条件确定.
③ 辅助线的添加既可以产生新的条件，又能与题目中原有的条件联系在一起.
设计意图：在教师的引导下学生逐步构建研究思路，关注学生的实际操作，激发学生探究兴趣,给学生留有充分的探索和交流空间,引导学生在操作中思考、总结.
应用新知
【经典例题】
如图，已知CE⊥AB，MN⊥AB，∠EDC+∠ACB=180°.试说明:∠1=∠2.
解：∵CE⊥AB，MN⊥AB，
∴MN // CE（垂直于同一条直线的两直线平行），
∴∠2=∠BCE（两直线平行，同位角相等）.
∵∠EDC+∠ACB=180°.
∴ED//BC（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠1=∠BCE（两直线平行，内错角相等），
∴∠1=∠2.
总结：要说明两个角相等，可借助平行线的性质，通过第三个角进行等角转化.
设计意图：通过典型例题让学生巩固新知，培养学生逻辑思维能力，锻炼学生的推理能力，教师规范写出解答过程，给学生一个良好的示范过程.
【教材例题】
如图，∠1=∠2，∠3=50°，∠ABC等于多少度
师生活动:学生独立完成解题过程，教师点评，规范格式.
分析：
解：∵∠1=∠2.
∴a//b(内错角相等，两直线平行).
∴∠ABC=∠3(两直线平行，同位角相等).
又 ∠3=50°，
∴∠ABC=50°.
归纳：运用平行线的性质和判定解题的思路:
①先由平行线的性质得出同位角相等，或内错角相等或同旁内角互补，然后结合已知条件说明另外两条直线平行；
②先由角之间的数量关系得出两直线平行，然后得出所求角与某个已知角的数量关系.
设计意图：通过例题的讲解和练习，让学生在实际情境中运用平行线的性质与判定定理，加深对知识的理解和掌握.同时，培养学生分析问题、解决问题的能力以及逻辑思维能力.
课堂练习
【教材练习】
如图，如果直线a//b，∠1+∠2＝180°，那么直线b和c平行吗？为什么？
分析：根据平行线的性质得出直线a//c，再根据平行线的推论即可得出直线a与c平行.
解：∵∠1+∠2＝180° ，
∴a//c (同旁内角互补，两直线平行).
又∵a//b，
∴b//c (如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.).
2.如图，AB//CD，且∠1=∠2，那么直线BE与CF平行吗 为什么
分析：先根据平行线的性质得出∠ABC=∠DCB，再由∠1=∠2得出∠EBC=∠FCB，由此可得出结论.
解：∵AB//CD ，
∴∠ABC=∠DCB(两直线平行，内错角相等)
又∵∠1=∠2，
∴∠EBC=∠FCB
∴BE//CF(内错角相等，两直线平行).
【限时训练】
1.如图，在由四条直线相交形成的图形中，若∠1=70°，∠2=80°，∠3=110°，则∠4的大小为(　　)
A.80° B.90° C.100° D.110°
分析：∵∠3=110°，∴∠5=110°
∵∠1=70°，∴∠1+∠5=180°.
∴a//b. ∴∠2+∠6=180°
∵∠2=80°，∴∠6=100°
∴∠4=∠6=100°
故选：C.
答：C
2.如图所示，FE⊥AB于点E，∠1=26°，则当AB// CD时，∠2=　　　　°.
分析：∵FE⊥AB，∠1＝26°
∴∠3=90°-26°=64°
∵AB// CD
∴∠2+∠3=180°，
∴∠2=180°-64°=116°
答：116
3.如图，A是直线BE上的一点，∠C=∠CAD，AD平分∠CAE，∠B=35°，求∠BAC的大小.
解：∵∠C=∠CAD，
∴AD// BC(内错角相等，两直线平行)
∴∠EAD=∠B=35°(两直线平行，内错角相等)
又∵AD平分∠CAE，
∴∠CAE=2∠EAD=70°，
∴∠BAC=180°-∠CAE=110°.
4.如图，已知点B、C在线段AD的异侧，连接AB、CD，点E、F分别是线段AB、CD上的点，连接CE、BF，分别与AD交于点G，H，且∠AEG=∠AGE，∠C=∠DGC.
(1)求证:AB// CD.
(2)若∠AGE+∠AHF=180°，求证:∠B=∠C.
分析：(1)要证明AB// CD，根据“内错角相等，两直线平行”，只需要证明 ∠AEG =∠C 即可;
(2)因为 ∠AEG =∠C，
要证 ∠B =∠C. 即证明∠B=∠AEG
要证∠B=∠AEG 需证 BF// CE
要证 BF// CE 先证明∠HGE=∠AHF
证明：(1)∵∠AEG=∠AGE，∠C=∠DGC，∠AGE=∠DGC
∴∠AEG=∠C，
∴AB//CD(内错角相等，两直线平行).
(2)∵∠AGE+∠HGE=180°，∠AGE+∠AHF=180°
∴∠HGE=∠AHF
∴BF// CE.
∴∠B=∠AEG,
又∵∠AEG=∠C,
∴∠B=∠C.
设计意图：通过课堂练习巩固新知，加深对本节课的理解及应用.
归纳总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容.
1.本节课你学到了什么？
2.平行线的性质与判定的不同之处是什么？
3.平行线的性质与判定有什么样的互逆关系？
设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.
实践作业
中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷. “互”这个字你能找出多少对平行线，又能找出多少对相同的角呢？
1、本节课在第一课时的基础上，依据学生的认知基础，恰当确立教学起点.本节课的一开始，从学生的认知基础上进行建构，充分体现了以学生为主体，以培养学生思维能力为重点的教学思想.在练习的设置过程中，从易到难，由简单的平行线性质的应用到两步或三步的推理，层层递进，学生容易接受.而且，还设计了知识的拓展提高环节，加深了学生对推理论证的理解；
2、本节课的重点是能熟练运用平行线的性质和判定直线平行的条件解决实际问题，并培养学生的推理能力和有条理的表达能力，为后面学习证明打下基础.因此要启发学生用推理的方法，进一步发展空间观念，但是因为学生初次接触正规的推理，有的还不能理解它的意义，哪个放题设哪个放结论还不能充分的理解，导致出现错误.应加强这方面的训练.同时，学生对基本图形的认识能力仍有待提高.

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