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第一章 整式的乘除
第二课时 幂的乘方
第一节 幂的乘除
数学北师大版（2024）七年级下册
1.了解幂的乘方的运算性质，能用文字语言和符号语言正确地表述该性质.
2.能熟练的运用幂的乘方的运算性质进行运算，并解决一些实际问题.
3.经历探索幂的乘方的运算法则的过程，进一步体会幂的运算的意义及类比、归纳等方法的作用.
4.在合作探究的学习过程中，让学生获取成功的体验，培养学生解决问题的能力，建立学习的自信心.
重点
难点
同底数幂乘法的运算性质是什么？
同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
(m，n都是正整数).
地球、木星、太阳可以近似地看做是球体 .木星、太阳的半径分别约是地球的10倍和102倍，它们的体积分别约是地球的多少倍？
木星
地球
太阳
木星的半径是地球的10倍，它的体积是地球的103倍！
太阳的半径是地球的102倍，它的体积是地球的(102)3倍！
你知道(102)3等于多少吗？
球的体积公式是 ，其中V是体积，r是球的半径.
102+2+2
问题 如何计算(102)3呢？
106
幂的意义：3个102相乘
同底数幂乘法的运算性质
(102)3
102 102 102
(1) (62)4；
根据幂的意义及同底数幂的乘法，完成下式计算.
(62)4
62 62 62 62
62+2+2+2
68
幂的意义：4个62相乘
同底数幂乘法的运算性质
(62)4 68 62×4
做一做
(2) (a2)3；
根据幂的意义及同底数幂的乘法，完成下式计算.
(a2)3
a2 a2 a2
a2+2+2
a6
幂的意义：3个a2相乘
同底数幂乘法的运算性质
(a2)3 a6 a2×3
做一做
am am
(3) (am)2.
根据幂的意义及同底数幂的乘法，完成下式计算.
(am)2
am+m
a2m
幂的意义：2个am相乘
同底数幂乘法的运算性质
(am)2 a2m a2×m
做一做
通过上面的计算，你发现了什么？
(am)2 a2m a2×m
(62)4 68 62×4
(a2)3 a6 a2×3
1.底数不变；
2.指数相加.
1.结果的底数与原来的底数相同；
2.结果的指数等于原来两个指数的积.
想一想
你会计算(am)n 吗
你发现了什么？
(am)n
n个am
n个m
1.底数不变；
2.指数相加.
1.结果的底数与原来的底数相同；
2.结果的指数等于原来两个指数的积.
幂的意义
同底数幂乘法的运算性质
议一议
幂的乘方运算性质：
幂的乘方，底数不变，指数相乘.
归纳
(m，n都是正整数).
例1
计算：
(3) (an)3
(2) (b5)5
解： (1) (102)3
102 3
106.
(4) (x2)m
b5 5
b25.
an 3
a3n.
x2 m
x2m.
(m，n都是正整数).
例1
计算：
(6) 2(a2)6 -(a3)4
解： (5) (y2)3·y
y2 3·y
y6·y =y7.
=2a2×6 -a3×4
=2a12 -a12
=a12
(m，n都是正整数).
判断下列计算是否正确：
(1) a3·a5 a15； (2) (a4)3 a7.
同底数幂的乘法
幂的乘方
a8
a12
相
同
点
不
同
点
符号表示
做一做
同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
幂的乘方，底数不变，指数相乘.
例2 计算：
(1) [(a4)3]2； (2) [(a b)2]3； (3) (103)m n.
解：(1) [(a4)3]2
a4 3 2
a24
(2) [(a b)2]3
(a b)2 3
(a b)6
(3) (103)m n
103(m n)
(am)n amn中的底数a不仅可以代表数、单项式，还可以代表多项式等.
(am)n amn中的指数m，n也可以代表多项式.
例3 计算：
(1) (a4)3·a6 a18 ； (2) ( x3)2· ( x2)3 (x4)3.
解：(1) 原式 a4 3·a6 a18
a12·a6 a18
a18 a18
2a18
(2) 原式 x6·( x6) x12
x12 x12
2x12
( x3)·( x3)
( x2)·( x2)·( x2)
混合运算顺序：
幂的乘方→同底数幂的乘法→加减法
1.计算：
解： (1) (103)3
103 3
109.
(2) (a2)5=
a2 5
= a10
(3) (x3)4·x2
x3 4·x2
x12·x2=x14.
2.计算：
(1) (x2)n (xn)2
(2) x4·x5·( x7) (x8)2
解：(1)原式 x2n x2n
0
(2)原式 x16 x16
2x16
3.填空：
(1) 若(a3)x a15，则x .
(2)若ax 5，ay 6 ，则ax y ，a2x .
5
30
4.若10α 2，10β 3，求102α 3β的值.
解：102α 3β
102α·103β
(10α)2·(10β)3
22 33
108.
25
幂的乘方运算性质：
幂的乘方与同底数幂的乘法的区别：
幂的乘方，底数不变，指数相乘.
(am)n=amn； am ·an=am+n
幂的乘方
指数相乘
指数相加
(m，n都是正整数).数学北师大版（2024）七年级下册
第一章 整式的乘除
1.1 幂的乘除
第2课时 幂的乘方
一、教学目标
1.了解幂的乘方的运算性质，能用文字语言和符号语言正确地表述该性质.
2.能熟练的运用幂的乘方的运算性质进行运算，并解决一些实际问题.
3.经历探索幂的乘方的运算法则的过程，进一步体会幂的运算的意义及类比、归纳等方法的作用.
4.在合作探究的学习过程中，让学生获取成功的体验，培养学生解决问题的能力，建立学习的自信心.
二、教学重难点
重点：掌握幂的乘方的运算性质.
难点：能熟练地运用幂的乘方的运算性质进行运算.
三、教学过程设计
环节一 创设情境
【复习回顾】
教师活动：教师提出问题，引导学生思考回答.
问题：同底数幂乘法的运算性质是什么？
预设：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
(am)n=amn（m,n都是正整数）
【情境导入】
问题：地球、木星、太阳可以近似地看做是球体 .木星、太阳的半径分别约是地球的10倍和102倍，它们的体积分别约是地球的多少倍？
木星的半径是地球的10倍，它的体积是地球的103倍！
太阳的半径是地球的102倍，它的体积是地球的(102)3倍！
想一想：你知道(102)3等于多少吗？
设计意图：通过复习同底数幂乘法的运算性质，为新课的探究学习打下基础，通过情境导入,提出新的问题，激发学生的学习兴趣.
环节二 探究新知
教师活动：先利用幂的意义和同底数幂的运算性质，探究情境导入中的计算问题，再让学生自主进行做一做的练习，通过探究、交流，归纳总结出幂的乘方的运算性质.
问题 如何计算(102)3呢？
预设：根据幂的意义，可以看成是3个102相乘，再按照同底数幂运算性质进行运算即可.
(102)3＝102×102×102
=102+2+2
=106
设计意图：引导学生利用幂的意义和同底数幂的运算性质，探究情境导入的计算问题，为接下来的做一做指明思路.
【做一做】
根据幂的意义及同底数幂的乘法，完成下式计算.
(1) (62)4；
(62)4=62×62×62×62=62+2+2+2=68
(a2)3；
(a2)3=a2×a2×a2=a2+2+2 =a6
(3) (am)2.
(am)2=am×am=am+m=a2m
【想一想】通过上面的计算，你发现了什么？
预设：①结果的底数与原来的底数相同；
②结果的指数等于原来两个指数的积.
设计意图：通过特殊过渡到一般，让学生自己发现这些算式的规律，并在发现的过程中不断巩固幂的意义和同底数幂乘法的运算性质.
【议一议】
你会计算(am)n 吗
预设：
(am)n
=(am·am·…·am)
n个am
n个m
=am+m+…+m
=amn
小结：我们同样有，①结果的底数与原来的底数相同；
②结果的指数等于原来两个指数的积.
设计意图:引导学生将上面发现的文字规律，学会用字母进行表示和运算.
【归纳】
幂的乘方运算性质：
(am)n =amn(m，n都是正整数)
幂的乘方，底数不变，指数相乘.
设计意图：引导学生将上面发现的文字规律，学会用字母进行表示和运算.
环节三 应用新知
【典型例题】
教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，教师巡视，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.
例1 计算.
分析：幂的乘方，底数不变，指数相乘.
解：(1)（102）3= 102×3=106；
(2)（b5）5= b5×5=b25；
(3)（an）3= an×3=a3n；
(4)-(x2)m= -x2×m=-x2m；
(5) (y2)3·y=y2×3·y=y6·y=y7.
(6) 2(a2)6 -(a3)4=2a2×6- a3×4=2a12- a12=a12
设计意图： 通过练习，让学生进一步熟练幂的乘方的运算性质，加强学生的运算能力和应用意识.
【做一做】
判断下列计算是否正确：
(1) a3·a5=a15； (2) (a4)3=a7.
预设：（1）（2）均错误.
小结：幂的乘方与同底数幂的乘法的区别：都是底数不变，一个是指数相乘，一个是指数相加.
例2 计算：
(1) [(a2)3]4； (2) [(ab)3]2； (3) (103)mn.
解：(1) [(a2)3]4a234a24
(2) [(ab)3]2(ab)32(ab)6
(3) (103)mn103(mn)
教师重点引导学生观察第(2)问的底数、第(3)问的最外层的指数，引导学生得出中的底数a、指数m，n不仅可以代表数、单项式，还可以代表多项式等.
例3 计算：
(1) (a4)3·a6a18 ；
(2) (x3)2· (x2)3(x4)3.
解：(1) 原式a43·a6a18
a12·a6a18
a18a18
2a18
(2) 原式x6·(x6)x12
x12x12
2x12
教师带领学生观察例3中两个算式所包含的运算，引导学生根据数的混合运算的顺序，类比得出式的混合运算顺序：先算幂的乘方，再算同底数幂的乘法，最后算加减法.再让学生动手计算，计算时，教师提醒学生注意第(2)问中 (x3)2、 (x2)3这两个式子括号内都带有负号，分别表示2个x3相乘、3个x2相乘，但是结果的符号却不相同.
设计意图：使学生理解中的底数a指数m，n不仅可以代表数、单项式，还可以代表多项式等.
环节四 课堂练习
教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.
【随堂练习】
1.计算：
(1)（103）3； （2）-(a2)5； (3)(x3)4· x2
解：(1) (103)3=103×3=109.
(2) -(a2)5=-a2×5=-a10
(3) (x3)4· x2=x3×4·x2=x12·x2=x14.
2.计算：
（1）(x2)n(xn)2
（2）x4·x5·(x7)(x8)2
解：（1）原式x2nx2n
0
（2）原式x16x16
2x16
3.填空：
（1）若(a3)xa15，则x .
（2）若ax5，ay6 ，则axy ，a2x .
答案：（1）5；（2）30，25.
4.若10α2，10β3，求102α3β的值.
解：102α3β
102α·103β
(10α)2·(10β)3
2233
108.
设计意图：通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养学生独立完成练习的习惯.
环节五 总结归纳
思维导图的形式呈现本节课的主要内容：
设计意图：通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识.

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