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第七章 幂的运算
7.1同底数幂的乘法
本节课《同底数幂的乘法》是苏科版初中数学七年级下册第七章第一节，具有承上启下的重要作用．从知识体系上看，它是在学生学习了有理数乘方的基础上进行的拓展，为后续学习幂的其他运算性质、整式乘法等奠定了坚实基础．
本课教材通过创设实际问题情境，如中国空间站的运行等，引导学生从具体问题中抽象出数学模型，进而引入同底数幂乘法的概念．这种从实际到抽象的过渡，有助于学生更好地理解同底数幂乘法的现实意义，激发他们的学习兴趣．在探索同底数幂乘法法则的过程中，学生需要将复杂的幂运算转化为简单的指数相加问题，这有助于培养学生的数学思维能力和解决问题的能力础，不仅传授了重要的数学知识，更注重了学生数学素养的全面提升．
学生在学习《同底数幂的乘法》时，已具备一定的知识基础和学习能力．因为学生在七年级上册已学习了有理数的乘方和整式的加减，掌握了用字母表示数的技能，会判断同类项、合并同类项，对乘方运算有了初步认识，这为学习同底数幂的乘法提供了知识支撑．
1.从具体的运算中抽象出同底数幂的乘法运算性质及其符号表示，提高数学抽象能力.
2.掌握同底数幂的乘法运算性质，培养学生的数学运算核心素养.
3.会运用同底数幂的乘法运算性质进行有关计算，提高学生的运算能力.
4.经历各式各样的生活情境，体会数学与生活的紧密联系，培养学生代数运算和解决实际问题的能力.学情分析
重点：掌握同底数幂的乘法运算性质，培养学生的数学运算核心素养.
难点：会运用同底数幂的乘法运算性质进行有关计算，提高学生的运算能力.
本章引入
你还记得吗？an= .
几个相同因数a的乘积可以简写为幂an的形式．本章将学习幂的运算，进一步简化代数式的运算过程．
光在真空中的速度约是3×108 m/s，光在真空中穿行1年的距离称为1光年．
请你算算:
1光年约是多少千米(1年以3×107 s计算)
中国科学家利用位于贵州省的500 m口径球面射电望远镜(FAST)，发现了1个尺度大约为200万光年的巨大原子气体结构，这个原子气体结构的尺度约为多少千米
距离太阳系最近的恒星是比邻星，它距离地球约4.25光年，如果一个探测器以6.4×104km/h的平均速度飞往比邻星，那么大约需要多少年
师生活动：教师带领学生回顾幂的定义，通过章头图，与学生共同感受，几个相同因数a的乘积可以简写为幂an的形式．本章将学习幂的运算，进一步简化代数式的运算过程．乘方的意义、乘法运算律是研究幂的运算性质的基础．利用幂的运算性质，可以把幂的运算转化为指数的运算．幂的运算是整式运算的基础，有助于简洁地表达现实生活中的数量和数量关系．本章我们将学习幂的运算，培养学生数学运算的核心素养．
设计意图：让学生对本章有一个初步的感知，有利于激发学生的学习兴趣，学生在头脑中建立全章的思维导图，形成体系．
情境导入
中国空间站的运行速度大约是7.68×103m/s，运行3h的路程大约是多少？
答：3h=3×60×60s=1.08×104s，
中国空间站运行3h的路程约为
7.68×103×1.08×104
=（7.68×1.08）×（103×104）
≈ 8.29×（103×104）（m）.
103×104
=（10×10×10）×（10×10×10×10）
= 107，
所以，中国空间站运行3h的路程约为8.29×107m．
师生活动：教师演示，学生倾听，独立思考．
设计意图：通过情境创设，让学生感悟数学来源于生活并应用于生活的辩证思想，锻炼学生的独立思考能力，为推导同底数幂的乘法法则埋下伏笔．
探究新知
活动一：探究同底数幂的乘法运算性质
问题1 计算：
（1）102×105 ； （2）10m 10n（m、n是正整数）.
答：（1）解：原式=（10×10）×（10×10×10×10×10）= =107.
解：原式=×==10m+n.
师：追问指数从特殊到一般、从具体到抽象，底数有变化吗？
生：底数不变.
问题2 计算：
（1）23×24 ; （2）a3 a4.
答：（1）解：原式=（2×2×2）×（2×2×2×2）= = 27.
（2）解：原式=（a a a） （a a a a）= = a7.
活动二：同底数幂的乘法运算性质
问题3 从上面的计算中，你发现了什么？
师追问：说一说如何计算同底数幂的乘法？
答：同底数幂的乘法运算性质：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
用符号表示为：am an=am+n（m、n是正整数）．
师生活动：第（1）题，教师演示，学生倾听，第（2）题，学生模仿，类比完成，师生互动交流．
设计意图：借助乘方的意义，获得同底数幂的乘法法则，在此过程中培养学生的表达能力和总结能力，让学生学会用数学思维思考，用数学的语言表达．
应用新知
例1 计算:(1)(－3) 4 × (－3) 3 ； (2) x · x7；
(3)a3m · a2m-1(m 是正整数)； (4)(m－n) · (m－n) .
变式1 计算:(1) 34 × (－3) 3； (2)(m－n) · (n－m) ．
变式2 设n是正整数，计算：2n+1 2n．　　
答：例1 (1)(－3) 4 ×(－3) 3 = (－3) 4+3 = (－3) 7= －37= －2187；
(2) x·x7 = x1+7 = x8；
(3)a3m · a2m-1 =a3m+2m-1 =a5m-1；
(4)(m－n) · (m－n) 2= (m－n) 3+2= (m－n) 5．
变式1 (1) 34 × (－3) 3 =34 × (－3 3) =－(34 ×3 3)=－34+3 =－37= －2187；
(m－n) · (n－m) 2=(m－n) · (m－n) 2 =(m－n) 3+2= (m－n) 5．　
师总结：运用同底数幂的乘法运算性质的前提条件: 底数相同或互为相反数的幂相乘.特别地，当底数为多项式时，也必须满足这个条件.
变式2 2n+1 2n=2n×2 2n=2n×(2－1)=2n．
师总结：逆用同底数幂的乘法运算性质可以对代数式进行化简计算.
师生活动：教师板演示范，学生模仿．
设计意图：通过例题讲解，及时练习巩固所学，培养学以致用、积极思考的习惯，提升学生计算能力．让学生理解运用同底数幂的乘法运算性质的前提：底数相同或互为相反数的幂相乘．特别地，当底数为多项式时，也必须满足这个条件．
例2 我国的“神威 太湖之光”超级计算机全部采用中国国产处理器构件，是世界上首台峰值计算速度超过 10 亿亿次/s的超级计算机.如果它的持续计算能力为 9.3 亿亿次/s，那么按这个速度运算1天能运算多少次？
解：24 h＝24×3.6×103 s，9.3亿亿次＝9.3×108×108次.
（9.3×108×108）×（24×3.6×103）
=（9.3×24×3.6）×（108×108×103）
= 803.52×1019
= 8.0352×1021（次）.
答：按这个速度运算1天能运算8.0352×1021次.
师生活动：教师板演示范，学生模仿．
设计意图：这个环节不仅可以巩固本课知识点，还可以发挥学生作为教学主体的主动性，让学生感受数学来源于生活，服务于生活，生活是数学的宝库，体验到学习的乐趣和成功的喜悦．
探究 已知m、n、p是正整数，计算am·an·ap．
答：原式= = = am+n+p
师生活动：学生先独立思考，再小组交流讨论，共同探究．
设计意图：类比同底数幂的乘法公式，拓展延伸到三个或三个以上的同底数幂相乘．理解并识记同底数幂的乘法法则，培养学生的运算能力．
课堂练习
【教材习题】
1. 计算：
（1）a8·a3 ； （2）x5·x；
（3）1010×(－10)13； （4）－b6 b6；
（5）(－a)2 (－a) (－a)3； （6）()2 ×()5 ×(－)3.
2.下面的计算是否正确？如有错误，请改正.
（1）x2 x2 =2x； （ ）
（2）x2 x4 =x8； （ ）
（3）a3 +a3 =a6； （ ）
（4）3m×32m =93m. （ ）
3. 计算：
（1）x3 x7 +x5 x5 ； （2）a2 a6 －a4 a4；
（3）(a－b)3 (b－a)4.
答：1.（1）a11 ； （2）x6 ；（3）－1023； （4）－b12 ； （5）a6； （6）－ .
2.（1）×，x4； （2）×，x6； （3）×，2a3； （4）×，33m.
3.（1）2x10； （2）0； （3）(a－b)7.
　　【限时训练】
　　1.填空：
（1） 8=2x，则x= ； （2） 8×4=2x，则x= ；
（3） 3×27×9=3x，则x= ； （4）an-2 an+1=a11, 则n= ；
（5）x2·x（ ）=x2n+1.
2. 计算:
(1) (a+b)2 ·(a+b)5；
(2) (x－y)3 · (y－x)4 ·(x－y)2 ；
(3) x2·x5－2x·x2·x4.
3.设n是正整数，计算：4×5n－5n+1.
　答：1.（1）3； （2）5 ； （3）6； （4）6； （5）2n－1 .
2.（1）(a+b)7 ； （2）(x－y)9； （3）－x7 .
3.－5n.
师生活动：学生独立完成，教师批阅.
设计意图：通过课堂练习巩固新知，加深对本节课的理解及应用.
归纳总结
设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.
实践作业
寻找生活中同底数幂的例子，如细胞分裂、计算机存储单位换算等，记录下来并说明其符合同底数幂乘法的依据.
本课通过引入一个实际问题——“中国空间站的运行”来吸引学生的注意力。这种情境创设有助于学生理解数学知识在现实生活中的应用，激发他们的学习兴趣，引导学生自主思考，让学生自己发现问题与同底数幂乘法之间的联系，以增强学生探究和解决问题的能力.
通过几个简单的同底数幂乘法的例子来引入新知识。学生对于指数运算的性质理解不够深刻，通过对比不同底数的幂的乘法，帮助学生掌握同底数幂乘法的规律.鼓励学生参与讨论，自主推导出同底数幂的乘法运算性质，加深学生对知识的理解.
本课时选择了一些典型的同底数幂乘法的例子，通过逐步分析和解答，帮助学生理解并掌握解题方法.学生在解题时容易忽略指数的变化，因此应该更多地让学生自己尝试解题，而不是仅仅依赖于老师的讲解，从而提高学生的独立解题能力.
通过思维导图和快速回顾的方式，帮助学生巩固本节课的知识点.注重学生的反馈，通过让学生自己总结学到的内容，更好地检测他们对知识的掌握情况，追寻数学本质，力争全体学生正确理解同底数幂的性质的形成过程，并规范使用.

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