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第六章 实数
6.1 平方根、立方根
平方根 第1课时
1.了解平方根、算术平方根的概念、性质;明确平方根和算术平方根之间的联系和区别;能用符号正确地表示一个数的平方根.
2.理解开平方运算和乘方运算之间的互逆关系.
3.能准确判断一个数是否有平方根，会用平方运算求百以内整数的平方根.
4.通过探究平方根的定义与性质体验数学与生活实际的密切关联，培养数学的分类讨论思想，进一步激发学生学习数学的兴趣，逐步养成良好的学习品质.
重点：平方根的概念和求非负数的平方根.
难点：平方根和算术平方根的联系与区别.
创设情境
装修房屋，选用了某种型号的正方形地砖，用4块这种地砖正好铺1，如图6-1，1块这种地砖的边长是多少？
师生活动：教师引导学生观察图形，回忆正方形的面积等于边长的平方，然后要求学生思考问题.
学生思考、交流和讨论，尝试回答问题.
设计意图：结合生活实际，从问题出发，充分引导学生进行思考、交流和讨论，让学生内心产生对数学知识的渴望，激发学生学习数学知识兴趣.
预设答案：设一块正方形地砖的边长为，
根据题意，有 .
追问： 这是已知一个数的平方，求这个数的问题，进而引导学生如果不考虑实际问题，则的值是多少
师生活动：学生思考并讨论，使学生明白这样的数有两个，它们是和.
设计意图： 这个问题是引人平方根概念的切人点，要让学生有充分的时间进行思考和体验.
由此引人平方根的概念.
总结归纳：一般地，如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根.也叫做二次方根.
（二）探究新知
任务一：平方根的性质
思考1：(1)的平方根是什么？
(2) 的平方根是什么？
(3) 有没有平方根？
预设答案：由于，所以 的平方根是；，所以的平方根是，由于没有任何数的平方等于，所以没有平方根.
师生活动：学生思考、交流和讨论，尝试回答问题.
设计意图：通过此问题使学生明白平方根可以从平方运算中求得，并能规范地表述一个数的平方根.这个问题也为探讨平方根的性质做好准备.
思考2：根据上面的计算请大家归纳，正数的平方根有什么特点 0的平方根是多少 负数有平方根吗
师生活动：学生通过思考讨论，对有理数的平方根有一个全面的认识，也是平方根概念的进一步深化，体验分类思想，巩固平方根概念.
师生共析，归纳得到:平方根的性质
(1)一个正数a的平方根有两个，它们互为相反数.其中正的平方根也叫做a的算术平方根，用表示，读作“根号a”，另一个负的平方根记为;
(2)的平方根是的算术平方根也是，即;
负数没有平方根.
举例：的平方根用表示，读作“正负根号”
的算术平方根用表示，读作“根号”
任务二：认识开平方
思考3：已知一个数，求它的平方的运算，叫做平方运算.反之，已知一个数的平方，求这个数的运算叫什么？
预设答案：开平方
师生活动：教师引导学生概念归纳： 求一个数的平方根的运算叫做开平方.
任务三：概括平方运算与开平方之间的关系
观察以下图片，你能发现什么？
预设答案：开平方是平方的逆运算
设计意图：上图表示了开平方是平方的逆运算，揭示了开平方运算的本质，同时让学生体验平方和开平方的互逆关系.
（三）应用举例
例1：判断下列各数是否有平方根，为什么
，
预设答案: 因为正数和零都有平方根，负数没有平方根，所以， 都有平方根;没有平方根.
例2：求下列各数的平方根和算术平方根:
(2) 81; (3) ; (4)
预设答案:
解：(1)因为 ,所以1的平方根是,即；1的算术平方根是1.
(2)因为,所以81的平方根是,即；81的算术平方根是9.
(3)因为 ,所以的平方根是,即；
的算术平方根是.
(4)因为 ，所以的平方根是，
即；的算术平方根是3.
师生活动：学生进行板演，写出过程.
设计意图：加深对符号意义的理解和对平方根概念的灵活应用
例3： 如果一个数的两个平方根分别是与，那么这个数是多少？
预设答案:
解：∵一个数的两个平方根互为相反数，
∴
解得：．
∴
∵=25，
∴这个数是．
设计意图：强化对平方根性质的理解与运用.
（四）课堂练习
1.下列说法正确的是．( )
A. 的平方根是 B. 的平方根是
C. 的平方根是 D. 的平方根是
解：A.，的平方根是，故A错误；
B.的平方根是，故B错误；
C. 负数没有平方根，故C错误；
D. ，的平方根是，故D正确．
故选D.
2.个自然数的算术平方根为，则和这个自然数相邻的下一个自然数是( )
A. B. C. D.
解：一个自然数的算术平方根为，
这个自然数是．
和这个自然数相邻的下一个自然数是．
故选B．
3.中，被开方数是非负数，即 ；
是非负数，即 ；
负数没有算术平方根，即当 时，无意义．
解：(1) ；(2) ; (3)
4.已知和是一个正数的两个不同的平方根，求的值和这个正数的平方根．
解：由题意，得，
解得；
所以，．
所以这个正数的平方根是．
5.已知，求的值．
解：由题意得，，，
解得，，，
则．
设计意图：通过练习，使学生能准确认识到平方根、算术平方根的概念与性质，同时通过练习强化学生对于知识的灵活运用，提高学生分析问题解决问题的能力.
课堂总结
1.本节课你学到了什么？
2.平方根、算术平方根的定义、性质是什么，如何用符号来表示？
3.平方运算与开平方之间的关系是什么？
4.如何用平方运算求百以内整数的平方根？第六章 实数
6.1 平方根、立方根
平方根 第2课时
1.进一步理解平方根的定义、书写、读法．
2.能够运用现代技术计算器将所给的数进行开方，让学生学习知识的同时也能够了解最先进的科学技术．
3.学生能够运用所学的平方根知识，解决现实生活、科研中所遇到的问题.
4.通过本节课的学习，让学生体会到学以致用，理论联系实际的重要性，明确数学在现实生活中的重要性.
重点：利用计算器解决不能直接开方的数字问题.
难点：学会运用平方根相关知识解决实际生活中的问题.
创设情境
情境：
2020年11月24日，我国用长征五号遥五运载火箭成功发射探月工程嫦娥五号探测器，开启我国首次地外天体采样返回之旅.要使嫦娥五号探测器飞离地球，它的速度需大于v2，计算v2的公式为.（其中g取9.8m/，r取6.4×），上式中的v2如何计算呢？
回顾：
1.什么是平方根？
预设：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，也叫做二次方根.
2.什么是开平方？
预设：求一个数的平方根的运算叫做开平方.
师生活动：教师展示章头问题的实例，引导学生观察并思考解决方案；通过知识回顾自然地引入本节所要讲述的内容.
设计意图：通过实际情境引入，让学生体会生活中的数学，并从生活实例把实际问题转化为平方根的数学问题，进而引入本节课题，需要探究的知识.
（二）探究新知
任务一：用计算器求出一个数的平方根
思考：这些问题无法通过自行计算得出结果，故可借助计算器求出问题的答案.
求下列各式的值（精确到0.01）：
（1）； （2）； （3）； （4）
师生活动：引导学生回顾知识点，说一说自己所想到的求一个数的平方根的方法（不能直接开平方的）.
预设答案：
采用计算器进行计算.
设计意图：引发学生思考，通过小组头脑风暴活动，进而引出用计算器进行开平方运算.
任务二：本节情境导入的问题，即平方根的实际应用问题
思考：本节情境中提到的速度是第二宇宙速度，，（其中g取9.8m/，r取6.4×）.
师生活动：教师组织学生合作探究，小组合作，每小组同学进行讨论，每小组挑选一名代表展示计算结果；教师可适当引导学生思考，待学生充分交流后，教师可选代表总结，教师补充.
分析：这些数据都不能直接被开平方，且比较大.
预设：我们可以借助计算器求得，
≈=11200（m/s）=11.2（km/s）.
思考：你会总结用计算器求平方根的步骤吗？
预设答案：
1.借助计算器求一个数的平方根时，注意需要在计算器上依次输入：√ 、需要求平方根的数字、=，再根据显示结果依据所要求的精确度取近似值，最后写出结果；
2.借助计算器解决求平方根的应用题时，需先依据题意列出对应的算式，化简后，再利用计算器求出结果.
设计意图：组织学生合作探究，重视知识的发生过程，让学生掌握利用计算器的方法解决实际问题.加强动手能力，体会理论与实际相结合的思想.
（三）应用举例
例1：用计算器求下列各式的值（精确到0.01）：
（1）； （2）； （3）； （4）
提示：这些数不能直接进行开方，要用计算器进行．
预设答案：解：（1）在计算器上依次输入： 127 =，显示结果是11.26942766958464，精确到0.01，得≈11.27；（2）≈0.80；（3）在计算器上依次输入 = ，即可得≈0.07；（4）在计算器上依次输入） = ，即可得≈ 0.58；
例2：如图，跳水运动员要在空中下落的短暂过程中完成一系列高难度动作.如果不考虑空气阻力等其他因素影响，弹跳到最高点后，人体下落到水面所需要的时间t与下落的高度 之间应遵循下面的公式：
=
其中 的单位是m，t的单位是s，g=9.8m/.假设跳板的高度是，运动员在跳板上起至高出跳板处开始下落，那么运动员下落到水面约需多长时间？
师生活动：教师尝试让学生小组讨论该如何解决，并组内制定答案后后举手发言.
提示：根据所给的公式，将题目中相关的数据代入即可，但是要用到计算器进行计算．
解：设运动员下落到水面约需ts，根据题意，得
=×9.8,
=
因而，运动员下落到水面约需

小结：
1.借助计算器求一个数的平方根时，注意需要在计算器上依次输入：√ 、需要求平方根的数字、=，再根据显示结果依据所要求的精确度取近似值，最后写出结果；
2.借助计算器解决求平方根的应用题时，需先依据题意列出对应的算式，化简后，再利用计算器求出结果.
设计意图：通过学会使用计算器，从而让学生能够应对对所有数进行开方，层次渐进的二个例题，进一步巩固利用计算器的方法解决实际问题的基本步骤，例1是利用教会学生如何使用计算器，例2用实际问题引入平方根再实际生活中的重大用处，二个例题层层递进，也利于分阶段达成本节的知识目标，并在解题过程中进一步渗透理论联系实际的数学思想，培养了学生的动手能力.
（四）课堂练习
1.的平方根是( )
A. B. C. D.
答案：B
2.某数的平方根为和，则这个数是 .
答案：9
解析：由题意得： a+1+2a 7=0 ，
∴a=2 ，
∴a+1=3，
∴(a+1)2=9.
故答案为： 9.
3.周利用教材中的计算器依次按键如下：，则计算器显示的结果与下列各数中最接近的一个是 ( )
A. B. C. D.
答案：B
4.填空找规律．
利用计算器分别求：
________，_______，_______，_______．
由的结果，我们发现所得的结果与被开方数间的规律是_____________________
运用中的规律，直接写出结果：________，________
答案：解：
被开方数扩大倍算术平方根扩大倍

5.用计算器求下列各式的值保留到
．
答案
解： ；
；
；
．
设计意图：通过练习，能恰当地应用计算器解决不能直接开方的数学问题，提高学生逻辑思维能力和解决实际问题的能力.
（五）课堂总结
1.本节课你学到了哪些知识？
2.使用计算器求不能直接开平方的数的步骤是什么？
3.怎么利用所学平方根的知识解决相关实际应用问题？
4.通过本节课的学习，你体会到了哪些数学思想？

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