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第六章 实数
6.2 无理数和实数
实数 第1课时
1.知道无理数是客观存在的，通过实例了解无理数和实数的概念.
2.能对实数按要求进行分类，同时会判断一个数是有理数还是无理数.
3.经历用无理数估算的探索过程，感受“逼近”的数学思想，发展数感，激发学生的探索创新精神.
4.通过观察、比较、分析等活动，提高学生的数学探究能力和抽象概括能力，体会分类的数学思想.
重点：能对实数按要求进行分类，同时会判断一个数是有理数还是无理数.
难点：无理数估算的探索，感受“逼近”的数学思想，发展数感.
（一）创设情境
情境：学校要建一个面积是81平方米的草坪，草坪周围用铁栅栏围绕，有两种方案.有人建议建成正方形的，也有人说要建成圆形的.如果从节省铁栅栏费用的角度考虑，你选择哪个 请说明理由.(π取3）
师生活动：教师展示问题，请学生独立思考，然后在小组内说一说.
设计意图：通过实际情境引入，让学生体会生活中的数学，并从实际问题中抽象出数的发展.，进而引入本节课.
（二）探究新知
任务一：你会画一个面积是2的正方形吗
图6-5是由4条横线、5条竖线构成的方格网,它们相邻的行距、列距都是1.从这些纵横线相交得出的20个点(称为格点)中,我们可以选择其中4个格点作为顶点连接成一个正方形,这样的正方形叫作格点正方形.还有与这些面积不相同的格点正方形吗
(1)有面积分别是1，4，9的格点正方形吗
(2)有面积是2的格点正方形吗 把它画出来.
师生活动：教师组织学生先独立思考，再小组合作充分讨论；每小组挑选一名代表展示小组讨论结果；讨论时间3分钟.教师可适当提示上面所提出的问题，实质上就是要找出面积为2的正方形，其边长为.
预设答案：
解：(1)有；面积是1,4,9,则边长为1,2,3，从图中可看出有边长为1,2,3的正方形.
(2)有；从图中可以得出有面积2的正方形其边长为；
画法如图.
提示：从图中我们看到四个边长为1的相邻正方形的对角线就围成了一个面积为2的格点正方形(图6-6),设这个正方形的边长为x，则x2=2.因为x>0,所以x= .
任务二：思考：是一个怎样的数？
师生活动：教师组织学生合作探究，先独立思考，再小组合作充分讨论；每小组挑选一名代表展示小组讨论结果；讨论时间5分钟.教师可适当引导学生思考，待学生充分交流后，教师可选代表总结，教师补充.
预设答案：
因为12=1 < 2,22=4 > 2,所以1< <2 ，这说明 不可能是整数.
在1和2之间的一位小数有1.1，1.2，…，1.9,那么在哪两个一位小数之间呢
因为1.42=1.96 < 2, 1.52=2.25>2,所以1.4 <<1.5
同样,在1.4与1.5之间的两位小数有1.41，1.42,…，1.49,那么 在哪两个两位小数之间呢
因为1.412=1.9881 <2,1.422=2.0164>2,所以1.41 < < 1.42 .
类似地,可得1.414 < < 1. 415.
像上面这样一直(无限)做下去,我们可以得到=1.414 213562...，说明 是一个无限不循环小数,因此它不是有理数
任务三：探究无理数的概念
在情境问题中，假若建成正方形，设正方形的边长为a，则有a==9；若建成圆形，设圆的半径为r，则有r=3，这里的类似，它也是一个无限不循环小数,因此它也不是有理数.
师生活动：教师组织学生合作探究，先独立思考，再小组合作充分讨论；每小组挑选一名代表展示小组讨论结果；讨论时间5分钟.教师可适当引导学生思考，待学生充分交流后，教师可选代表总结，教师补充.
预设答案：
（1）有理数包括整数和分数,整数和分数可统一写成分数的形式(整数可以看作分母为1的分数)，也就是说,有理数总可写成（m,n是整数,且m≠0)的形式.例如 2= ，0.5= ， 0. =
（2） 任何有限小数和无限循环小数都可以写成分数的形式. 反过来,任何整数、分数都可以化为有限小数或无限循环小数,因此有理数是有限小数或无限循环小数.
（3）像=1.732 050 807…，=1.414 213562…，=1.442249570…， π=3.141 592653…等，它们都是一个无限不循环小数,因此它们不是有理数.
（4）无限不循环小数叫作无理数.
设计意图：组织学生合作探究，重视概念的生成，让学生了解数的发展，同时让学生进一步理解有理数和无理数的区别.特别是在探究数的概念时让学生体会分类的数学思想.
任务四：探究实数的概念及分类
思考：什么叫做实数，你能对实数按要求进行分类吗？
预设答案：
有理数和无理数统称为实数
实数的分类
总结：
1.有限小数或无限循环小数叫作有理数.
2.无限不循环小数叫作无理数.无理数可分为正无理数与负无理数，
如 ，，π是正无理数;- ，- ，-π 都是负无理数.
3.有理数和无理数统称为实数.
4.实数可按定义分类，也可按性质分类.
（三）应用举例
例1：把下列各数分类填入图中:
0， 3， 1， ， 0. ， 0.25，3.14，π，，，， ， ，，0.181881888…(两个1之间依次增加一个8).
提示：任何整数、分数都可以化为有限小数或无限循环小数，它们都是有理数.
无限不循环小数叫作无理数.
解：
总结：
（1）整数、分数、有限小数、无限循环小数都是有理数；
（2）无限不循环小数是无理数；
（3）π是无理数；
（4）能化简的要先化简再分类.
设计意图：通过把各数正确填入图中，让学生熟练掌握实数分类的方法和依据，并体会“分类”的数学思想.
例2：判断下列各题:
（1）实数不是有理数就是无理数.（ ）
（2）无理数都是无限不循环小数.（ ）
（3）无理数都是无限小数. （ ）
（4）带根号的数都是无理数. （ ）
（5）无理数一定都带根号. （ ）
提示： 根据有理数、无理数、实数的概念来判断.
师生活动：注意让学生各抒己见，教师要给予归纳和总结.
解：（1）本题考查了实数的分类，实数分为有理数和无理数，所以实数不是有理数就是无理数，故本题正确.
该题考查了无理数的定义，熟练掌握无理数的定义是解题的关键;无理数的定义:无限不循环小数叫做无理数，故本题正确.
（3）本题考查无理数的定义，无理数即非有理数之实数，若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环，故本题正确.
（4）带根号的数不一定是无理数，例如：=2，2是有理数，所以是有理数，故本题错.
（5）无理数是无限不循环小数，带根号的数不一定是无理数，例如：是有理数，不带根号的数也不一定是无理数，例如π，故本题错误.
设计意图：让学生掌握通过明辨是非，进一步掌握无理数、实数等重点概念.
例3 若将四个数 ，，，表示在数轴上，中可能被如图所示的墨迹覆盖的数是（ ）
A. B. C. D.
提示：墨迹覆盖的数应该在1~3之间，然后对这四个答案逐一分析.
解：根据数轴可得墨迹覆盖的数的范围是1~3之间
A.因为1<3<4，所以1< <2，所以-2< < 1，故此选项不符合题意.
B.因为4<<9，所以2<<3，故此选项符合题意.
C.因为9<<16，所以3<<4，故此选项不符合题意.
D.因为9<11<16，所以3<<4，故此选项不符合题意.
[答案] B
总结：用无理数估算的探索过程，从中感受“逼近”的数学思想，发展数感.
设计意图：让学生理解“逼近”的数学思想.在解题过程中掌握无理数的取值范围，
例4 阅读材料：
因为＜ ＜ 即 2＜ ＜3 ，所以1＜ 1＜2，
所以-1的整数部分为1，小数部分 -2.
解决问题：
（1）的小数部分是_______.
（2）已知a是 -4的整数部分， b是-4的小数部分，
求代数式 +（b+4）2的值
提示：对阅读材料中的题目进行认真分析，然后用类比的方法进行解答.
解：（1）因为＜＜，所以9＜ ＜10，
所以√的整数部分为9，小数部分 - 9.
（2）因为＜ ＜，所以4＜ ＜5，所以0＜ 4＜1
因为a是 4 的整数部分， b是 - 4 的小数部分，
所以a=0，b= 4
所以 +（b+4）2 = - 03+( 4+4)2=21
总结：
估算无理数的大小，确定形如a(a≥0)的无理数的整数部分时，常用的是“逼近”的数学思想,关键是找出位于无理数两边的平方数，则无理数的整数部分即为较小的平方数的算术平方根.
设计意图：通过前面所学知识和无理数估算的探索过程相结合，来培养学生的综合应用能力.
（四）课堂练习
1. 下列整数中与最接近的数是 （ ） .
A. 3 B. C. D. 6
答案：C
知识点：估算无理数的大小.
解析：略.
2.有下列四个论断:
① - 是有理数；② 是分数;
③ 2.3131131113...(两个3之间依次增加一个1)是无理数; ④π是无理数.
其中正确的有( )
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
答案： B.
知识点：实数的概念，有理数、无理数的意义.
解析：略.
3.写出一个大于2且小于4的无理数：_______.
答案：（不唯一）.
知识点：估算无理数的大小.
解析：因为一个大于2且小于4的无理数＜x＜
所以x=（不唯一）.
a、b均为整数且a >，b＜，a-b的最小值是_______.
答案：1
知识点：估算无理数的大小，平方根，立方根.
[分析] 此题考查了估算无理数的大小，解题的关键是确定a的最小值，b的最大值，先估算、的范围，然后确定a的最小值，b的最大值，即可计算a-b的最小值.
[解答] 因为＜＜，所以2＜＜3 .
因为a >且为整数，所以a的最小值是3 .
＜＜，所以2＜＜3 .
因为b＜且为整数，所以b的最大值是2 .
所以a-b的最小值3-2=1.
5.已知3+的小数部分是m，3-的小数部分是n，求m+n的值.
解：因为1<3<4，即1<<2，所以4<3+<5.
因此3+的整数部分是4，小数部分是3+-4=-1，即m=-1.
因为1<3<4，所以1<<2，即-2<-<-1，所以1<3-<2.
因此3的整数部分是1，小数部分是3--1=2-，即n=2-. 故m+n=-1+2-=1.
6.如图所示，四边形ABCD是5×5网格中的格点正方形，网格中的每个小正方形的边长均为1.
(1)求正方形ABCD的面积;
(2)判断正方形ABCD的边长是有理数还是无理数.
解： (1)正方形ABCD的面积=52-4× ×1×4=17.
（2）设正方形ABCD的边长为x，则x2=17，
所以x=.
因为任何一个有理数的平方都不等于17，所以是无理数.
（五）总结归纳
1.本节课学习了无理数、实数的概念，会判断一个数是有理数还是无理数.
2.能对实数按要求进行分类，同时经历用无理数估算的探索过程，从中感受“逼近”的数学思想.
3.通过观察、比较、分析等活动，发展学生的探究能力和抽象概括能力并体会分类的数学思想.第六章 实数
6.2 无理数和实数
第2课时
1.能够理解用尺规作图在数轴上画出无理数的方法，理解数轴上的点与实数是一一对应的关系．
2.通过对比，理解实数与有理数一样，可以进行加、减、乘、除、开方等的运算，运算法则和运算律等同样适用．
3.能够用计算器对一些无理数进行计算，进而能够推理出有理数比较大小的法则同样适用于无理数，并且能够在数轴上表示出来.
4.通过本节课的学习，学生将有理数和无理数联系起来，推广到实数范围，探究过程中进行类比、思考，体会到从特殊到一般的数学思想，培养了学生的逻辑思维和动手能力
重点：理解无理数和有理数与数轴上的点是一一对应的关系以及无理数一样适用于有理数的各种运算法则以及运算律.
难点：学会对无理数大小进行比较并且能够在数轴上表示出来.
创设情境
回顾：
1.实数是由什么组成的？
预设：有理数无理数统称为实数
2.实数的两种分类是什么？
预设：
情境：每一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，无理数√2能在数轴上表示吗？
预设：我们可以借助四个边长为1的正方形，每个小正方形的对角线围成的格点正方形面积是2，易得这个正方形的边长为.
师生活动：教师引导学生观察所给正方形，用尺规作图的方式在数轴上画出所求的无理数.
设计意图：通过实际情境引入，让学生用生活中常见的正方形变形运用，解决所遇到的问题.开拓脑筋学以致用，进而引入本节课题，需要探究的知识.
(二)探究新知
任务一：从有理数到实数---在数轴上表示无理数
师生活动：引导学生进行尺规作图，并且小组展示自己的成果.
预设答案：
操作：
1.以数轴上的单位长度为边作一个正方形
2.以原点为圆心，正方形的对角线为半径画弧
3.与x正半轴交于点A，则点A表示的数为
思考：点A′是画圆弧时与数轴的另一交点，它表示什么数？
预设：点A′表示的数是
设计意图：组织学生合作探究，通过观察、思考、小组讨论、动手操作等活动，最终在数轴上表示出无理数.
任务二：从有理数到实数---运算法则及运算律
探究：我们发现：
与互为相反数，有+( )=0
√与互为倒数，有×=1
||=，| |=
······
你有什么发现吗？
师生活动：教师组织学生合作探究，小组合作，每小组同学进行讨论，每小组挑选一名代表展示计算结果；讨论时间10分钟.教师可适当引导学生思考，待学生充分交流后，教师可选代表总结，教师补充.
预设：1.在实数范围内，相反数，绝对值倒数的意义与在有理数的范围内完全一样.
2.实数和有理数一样，可以进行加减乘除、乘方运算，正数和零可以进行开方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.
3.有理数运算法则和运算律对于实数仍然适用.
设计意图：组织学生合作探究，重视知识的发生过程，让学生掌握从有理数到实数的扩展过程中的思路和方法，体会从一般到特殊、学以致用，发现问题解决问题思想.
(三)应用举例
例1：分别写出：
(1) 、的相反数 (2) 、的倒数
(3)、3.14 π的绝对值 (4)绝对值为的实数
提示：有理数的各种运算法则等仍然适用于无理数.
预设答案：解：(1) 的相反数是，的相反数是
(2)的倒数是，的倒数倒数是
(3)的绝对值是3，3.14 π的绝对值是π 3.14
(4)绝对值为的实数是±
例2：近似计算：
(1)+π(精确到0.01)
(2)(精确到0.1)
思考：教师尝试让学生总结无理数的加减乘除该如何计算？
提示：在实数运算中，如果遇到无理数，并且需求出结果的近似值，可以先按照所要求的精确度用近似的有限小数代替无理数，再进行计算.
解：(1)+π≈1.732+3.414=4.873≈4.87
(2)≈2.23×2.64=5.8872≈5.9
小结：
1.用计算器取出比要求的精确度再多一位小数的近似值.
2.用近似值代替无理数.
3.进行有理数计算.
4.按照要求进行四舍五入.
例3：在数轴上作出表示下列各数的点，比价它们的大小，并用“＜”连接它们.
1，， 2，-，| 2|，5.
解：如图所示： 2＜ ＜ 1＜＜| 2|＜5
思考：通过例3你有什么新发现吗？
预设答案：两个实数可以像有理数一样比较大小，即数轴上右边的点所表示的数总是大于左边的点表示的数.
小结：
在实数范围内：
1.正数都大于零，负数都小于零，正数都大于负数.
2.两个正数，绝对值大的数较大.
3.两个负数，绝对值大的数较小.
设计意图：通过层次渐进的三个例题，进一步数从有理数扩展到实数，巩固了有理数的知识，又增加了无理数的知识，例1是通过在数轴上表示无理数，进而得到数轴上的点与实数一一对应，例2通过无理数的运算进而将有理数的运算法则乘方、以及有理数的运算法则等适用于无理数，例3是对无理数在数轴上比较大小，进而将比较大小的定理推广到实数范围内.三个例题层层递进，也利于分阶段达成本节的知识目标，并在解题过程中进一步渗透从一般到特殊的数学思想.
(四)课堂练习
1.在，，，四个数中，最大的数是( )
A. B. C. D.
答案：
解：，
在，，，四个数中，最大的数是．
故选：C.
正实数都大于；负实数都小于；正实数大于一切负实数；两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
2.已知，，，则下列大小关系正确的是( )
A. B. C. D.
答案：A
解：，，，
，
，
故选A．
3.如图，在数轴上表示的点可能是( )
A. 点 B. 点 C. 点 D. 点
答案：
解：，
，
对应的点是．
故选C．
4.的相反数是 ， ．
答案：
解：的相反数是： ；
．
故答案为： ；．
5.在数轴上，离表示的点距离为的点表示的数是 ．
答案：
解：该点可能在的左侧，则为；
也可能在的右侧，即为．
故答案为．
6.已知的算术平方根是，的平方根是，是的整数部分，求的平方根．
答案：
解：由题意得：
，．
，
．
．
．
的平方根是．
设计意图：通过练习，能恰当地应用无理数、实数的相关概念解决一些问题，提高学生逻辑思维能力、解决实际问题的能力.
(五)课堂总结
1.本节课你学到了哪些知识？
2.如何在数轴上表示出无理数？
3.你会对无理数进行加减乘除等运算以及比较大小吗？
4.从有理数推广到实数的范围内的过程中，你体会到应用了哪些数学思想？

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