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第七章 一元一次不等式与不等式组
7.3 一元一次不等组
第1课时
1.了解一元一次不等式组的概念.
2.会解简单的一元一次不等式组.
3.理解不等式组解集的意义，能借助数轴表示一元一次不等式组的解集.
4.加深学生对数形结合的作用的理解，让学生体会数学解题的直观性和简洁性的数学美.
重点：一元一次不等式组的解法.
难点：一元一次不等式组解集的确定.
（一）创设情境
情境：小莉带5元钱去超市买作业本，她拿了5本，付款时钱不够，于是小莉退掉一本，收银员找给她一些零钱。你能估计作业本单价的取值范围吗？
师生活动：教师展示问题，请学生独立思考，然后在小组内说一说.
设计意图：通过实际情境引入，让学生体会生活中的数学，并结合前面已经学过的一元一次不等式来解决实际问题，进而引入本节课.
（二）探究新知
任务一：探究一元一次不等式组的概念
小莉带5元钱去超市买作业本，她拿了5本，付款时钱不够，于是小莉退掉一本，收银员找给她一些零钱。你能估计作业本单价的取值范围吗？
分析：设作业本的单价为x元，那么5本作业本的价格为5x元，根据“付款时钱不够”可知5x>5.退掉一本，即4本作业本的价格应为4x元，由于收银员还找了一些零钱，于是4x<5.这里，作业本的单价x应同时满足上述两个不等式.
师生活动：教师组织学生先独立思考，再小组合作充分讨论；每小组挑选一名代表展示小组讨论结果；讨论时间3分钟.教师可适当提示上面所提出的问题，实质上就是列出两个不等式，从而建立一元一次不等式组.
预设答案：
解：把这两个不等式合写在一起，用大括号括起来，就得到一个不等式组:
像上面这样，由两个或几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，叫作一元一次不等式组.
设计意图：通过实例的探究，让学生理解和掌握一元一次不等式组的概念，为后面解决实际问题奠定基础.
任务二：探究一元一次不等式组的解法及解集的意义
问题2：某村种植杂交水稻8 m2，去年的总产量是94800kg.今年改进了耕作技术，估计总产量比去年增产2%~4%(包括2% 和4%)，那么今年水稻平均每公顷的产量将会在什么范围内
分析： 设今年水稻平均每公顷的产量为xkg，则今年水稻的总产量为8xkg，
根据题意得
师生活动：教师组织学生合作探究，先独立思考，再小组合作充分讨论；每小组挑选一名代表展示小组讨论结果；讨论时间5分钟.教师可适当引导学生思考，待学生充分交流后，教师可选代表总结，教师补充.
预设答案：
解： 设今年水稻平均每公顷的产量为xkg，则今年水稻的总产量为8xkg，
根据题意得
解不等式①，得x≥12087.
解不等式②，得x≤12324.
在数轴上分别表示这两个不等式的解集
由图可知，这两个不等式解集的公共部分是12087≤x≤12324， ，
因此，原不等式组的解集是12087≤x≤12324.
像上面这样，这两个一元一次不等式解集的公共部分，叫作这个一元一次不等式组的解集.
求不等式组解集的过程叫作解不等式组.
设计意图：通过实例的探究，让学生掌握一元一次不等式组的解法步骤，并理解和掌握一元一次不等式组的解集及解不等式组等概念。
总结：
1.由两个或几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，叫一元一次不等式组.
2.两个或几个一元一次不等式解集的公共部分，叫作这个一元一次不等式组的解集.
3.如果不等式的解集无公共部分，就说这个不等式组无解.
4.几个不等式的解集的公共部分通常利用数轴来确定.
5.求不等式组解集的过程叫作解不等式组.
6.不等式组解集的四种基本类型.
（三）应用举例
例1：:解不等式组
提示：解不等式组一般有三个步骤，其中在数轴上表示不等式的解集容易忽略.
解：解不等式①，得x> 1.5.
解不等式②，得x>2.
在数轴上分别表示这两个不等式的解集
由图可知，这两个不等式解集的公共部分是x>2，
因此，原不等式组的解集是x>2.
总结：
利用数轴来确定不等式组的解集，直观简明；
（2）两个不等式解集的公共部分是不等式组的解集.
例2：:解不等式组
提示：解不等式组一般有三个步骤，其中在数轴上表示不等式的解集容易忽略..
师生活动：注意让学生独立完成，然后师生共同评价和总结.
解：解不等式①，得x≥2.
解不等式②，得x>.
在数轴上分别表示这两个不等式的解集
由图知，这两个不等式解集的公共部分是x> ，
因此，原不等式组的解集是x> ，
设计意图：通过例题的探究，让学生进一步掌握一元一次不等式组的解法步骤，并理解和掌握一元一次不等式组的解集及解不等式组等概念。
例3 一辆汽车上有(5a 4)个人，到某一车站有(9 2a)名乘客下车，求车上原来有多少名乘客
提示：求车上原来有多少名乘客要根据实际情况，同时答案应取整数.
解：由题意得
解得
又a为整数，所以a可取2、3、4.
当a=2时，5a 4=6；
当a=3时，5a 4=11；
当a=4时，5a 4=16.
答：车上原来有6，11或16名乘客.
总结：解不等式应用题时，根据实际情况进行列不等式，找到不等式组的解集后，再利用特殊值进行求解.
设计意图：让学生掌握不等式组应用题的分析思路以及做题方法步骤，尤其应注意找到不等式组的解集后，再利用特殊值进行求解.
例4 某校志愿者团队在重阳节购买了一批牛奶到“夕阳红”敬老院慰问孤寡老人，如果给每个老人分5盒，则剩下38盒，如果给每个老人分6盒，则最后一个老人不足5盒，但至少分得一盒.
(1)设敬老院有x名老人，则这批牛奶共有多少盒(用含x的代数式表示)
(2)该敬老院至少有多少名老人 最多有多少名老人
分析：
(1)每个老人分5盒，剩下38盒，则牛奶一共有(5x+38)盒.
(2)每个老人分6盒，最后一名老人至少分得一盒，如果在x名老人中，除去最后一名老人，每个老人分6盒，应该有6(x 1)盒，这种情况下牛奶有剩余，即5x + 38 > 6(x 1);最后一名老人不足5盒，如果最后一名老人分了5盒，应该有6(x 1)+5盒，这种情况下牛奶不够分，即5x + 38< 6(x 1)+5，建立不等式组进行解答即可.
解：（1）(5x+38)盒.
( 2 ) 由题意得
解得39因为x为整数，所以x=40，41，42，43.
答：该敬老院至少有40名老人，最多有43名老人.
总结：利用不等式组解题的步骤及注意事项
(1)读:阅读理解、认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系;
(2)建:将文字语言转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型;
(3)解:解不等式，得到数学结论，要注意数学模型中元素的实际意义;
(4)答:回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果.
设计意图：让学生掌握不等式组应用题的分析思路以及做题方法步骤，尤其应注意找到不等式组的解集后，再利用特殊值进行求解.
（四）课堂练习
1. 某日的最低气温是11℃，最高气温是27℃，在数轴上表示该日气温变化范围正确的是（ ）
A B C D
答案：A.
知识点：在数轴上表示不等式组的解集
解析： 本题主要考查的是利用数轴表示不等式组的解集的方法，掌握用数轴表示不等式的解集时，包含用实心点表示，不包合用空心点表示是解题关键，根据气温在11℃到27℃之间，并且包括11℃和27℃，利用数轴表示不等式组解集的方法即可.
详解：由题意可知:气温在11℃到27℃之间，并且包括11℃和27℃，在数轴上表示11℃和27℃的点用实心点表示，四个选项中只有A选项符台，故选:A.
2.不等式组的解集在数轴上表示正确的是( )
A B C D
答案： B .
知识点：一元一次不等式组的解法；在数轴上表示不等式组的解集.
解析：先求出不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可
详解: 解不等式①得x ≤ 2， 解不等式②得x > -1，
不等式组的解集是-1< x ≤ 2.在数轴上表示B
3.若关于x的一元一次不等式组 的解集是，则a的取值范围是_______.
答案：a ≤ 2
知识点：一元一次不等式组的解法
解析：解不等式①得:x>1，
解不等式②得
根据题意得≤1
解得a ≤ 2.
故答案为:a ≤ 2
4.不等式-2<1- x < -1的整数是_______.
答案：11，12、13，14 .
知识点：一元一次不等式组的解法及利用特殊值进行求解.
解析：根据题意得
解不等式①得:x15，
解不等式②得
所以不等式组的解集为10 x 15.
因为10 ~ 15中的整数有11，12、13，14 .
故答案为11，12、13，14.
解不等式组
解：解不等式①得:x-3
解不等式②得x 5
在数轴上分别表示这两个不等式的解集.
所以不等式组的解集为-3 x 5.
6.已知两个代数式4a+5与 2a-1 的值符号相同，求a的取值范围.
答案：a > 或 a < -
知识点：.方程与不等式；不等式与不等式组；一元一次不等式组的解法；分类讨论思想.
解析：本题考查的是解一元一次不等式组有关知识，先根据题意列出不等式组，然后求解，注意分类讨论.
详解: 代数式4a+5与 2a-1 的值符号相同分两种情况：
第一种情况: 4a+5>0 ；2a-1>0
由4a +5 > 0得a > -
由2a-1> 0得a > 该不等式组的解集为a >
所以 当a > 时，代数式4a+5与2a-1的值的符号同时为正.
第二种情况: 4a+5 < 0 2a-1 < 0
由4a+5<0得a < - 由2a -1< 0得a<
该不等式组的解集为a < -
所以 当a< - 时，代数式4a+5与2a-1的值的符号同时为负.
故当a > 或 a < - 时，代数式4a+5与2a-1的值的符号相同.
7.为应对新冠肺炎疫情，某服装厂决定转型生产口罩，根据现有厂房大小决定购买10条口罩生产线，现有甲、乙两种型号的口罩生产线可供选择.经调查:购买3条甲型口罩生产线比购买2条乙型口罩生产线多花14万元，购买4条甲型口罩生产线与购买5条乙型口罩生产线所需款数相同.
(1)求甲、乙两种型号口罩生产线的单价;(2)已知甲型口罩生产线每天可生产口罩9万只，乙型口罩生产线每天可生产口罩3万只，若每天要求产量不低于75万只，预算购买口罩生产线的资金不超过90万元，该厂有哪几种购买方案 哪种方案最省钱 最少费用是多少
解:(1)设甲型号口罩生产线的单价为x万元，乙型号口罩生产线的单价为y万元，
由题意得: 解得:
答:甲型号口罩生产线的单价为10万元，乙型号口罩生产线的单价为8万元.
(2)设购买甲型号口罩生产线m条，则购买乙型号口罩生产线(10-m)条
由题意得:
解得:2.5≤m≤5又.m为整数
所以m=3.或m=4，或m=5因此有三种购买方案;
①购买甲型3条，乙型7条；
②购买甲型4条，乙型6条；
③购买甲型5条，乙型5条.
当m=3时，购买资金为10×3+8 ×7= 86（万元）
当m=4时，购买资金为10×4+8 ×6= 88（万元）
当m=5时，购买资金为10×5+8 ×5= 90（万元）
因为86<88<90
所以，最省钱的购买方案为:选购甲型3条，乙型7条，最少费用为86万元.
设计意图：让学生巩固本节所学的新知，进一步理解一元一次不等式组的概念；掌握一元一次不等式组解法；学会利用数轴表示不等式组的解集；同时掌握利用不等式组解决实际问题的分析思路及做题方法步骤.
总结归纳
1.本节课学习了一元一次不等式组的概念；不等式组的解集的概念；能借助数轴正确表示一元一次不等式组的解集.
2.学会解由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组.
3.通过解一元一次不等式组应用题，体会分类的数学思想，从而发展学生的探究能力和逻辑思维能力.第七章 一元一次不等式与不等式组
7.3 一元一次不等式组
一元一次不等式组 第2课时
1.熟练掌握一元一次不等式组的解法，学会解复杂的一元一次不等式组.
2.能够利用数轴法或口诀法正确表示出一元一次不等式组的解集.
3.经历求复杂的一元一次不等式组的过程，进一步熟悉数形结合的思想方法，感受类比与化归的思想.
4.让学生体会数学表达的简洁性，提高学生的符号意识,培养学生全面系统的总结概括能力.
重点：较复杂的一元一次不等式组的解法.
难点：一元一次不等式组解集分类．
创设情境
回顾：
说一说解一元一次不等式组的基本步骤吗？
师生活动：复习回顾解一元一次不等式组的基本步骤
设计意图：让学生对解一元一次不等式组的步骤再次进行梳理，使得解不等式组的方法更加清晰，为接下来解复杂的一元一次不等式组做好铺垫．
预设答案：
①分别解各个不等式;
②利用数轴找出各个不等式解集的公共部分；
③写出解集.
情境：
用若干辆载重量为8t的汽车运一批货物，若每辆汽车只装4t，则剩下20t货物；若每辆汽车装满8t，则最后一辆汽车不满也不空．请你算一算：有多少辆汽车运这批货物（只列式，不计算）？
预设答案：解设有x辆汽车运这批货物.
追问：要想解决这个计算,我们需要用什么知识？
预设：解一元一次不等式组
师生活动：教师展示问题，引导学生观察并思考解决方案.
设计意图：通过实际情境引入，让学生体会生活中的数学，并从生活实例把实际问题转化为含有不等式组的数学问题，进而引入本节课题，需要探究的知识.
（二）探究新知
任务一：探究复杂的一元一次不等式组的解法
思考1：这个不等式组与我们上节课学的在形式上有哪些差异？
思考2：在解题步骤上可能会有哪些差异？
思考3：请你根据上述分析，完成该不等式组的求解吧．
师生活动：学生先独立思考然后组内交流.
设计意图：以问题串的形式引导学生思考，突出解复杂的一元一次不等式组的基本方法和步骤.
预设答案：
思考1：上节的不等式没有分母，这个不等式组第2个不等式里面的带有分母.
思考2：在解不等式去分母时要注意每一项都需乘最小公倍数，如果乘的是负数，还要注意改变不等号的方向．
思考３：
解不等式①，得x＞8．
解不等式②，得x≤．
所以此不等式组无解.
任务二：归纳一元一次不等式组不同解集的规律
试一试求下列不等式组的解集并猜想分析一元一次不等式的解集有多少情况
师生活动：学生先独立对不等式组求解,并尝试回答问题，小组内交流结果然后展示.
设计意图：通过观察四组不等式组解集的公共部分，让学生自己归纳得出一元一次不等式组的4种不同情况的解集，为下一步探究其中的规律做铺垫.
预设答案：
第一组
第二组
第三组
第四组
提出问题：求以上4组不等式组的解集时，都出现了哪几种情况？
设计意图：通过观察四组不等式组解集的公共部分，讨论交流探究不同情况的解集的规律.
预设答案：
1.两个不等符号都是大于时，解集为大于较大的那个；“同大取大”
2.两个不等符号都是小于时，解集为小于较小的那个；“同小取小”
3.大于一个小的数，小于一个大的数，解集为中间的公共部分；“大小小大取中间”
4.大于一个大的数，小于一个小的数，不等式组无解.“大大小小无解集”
思考：如果数字用a，b来替代，且a＜b，你能很快说出下列不等式组的解集吗？
分析：这里主要引导学生将字母a，b在数轴上的位置确定下来，然后再进行讨论，形成结论.
预设答案：
设计意图：让学生体会数学表达的简洁性，提高学生的符号意识.
总结：在确定两个不等式解集的公共部分时，可借助数轴，也可利用口诀直接得出不等式组的解集.
（三）应用举例
例1：解不等式组,并把解集在数轴上表示出来.
预设答案: 解不等式①,得x＞ 1.
解不等式②,得x＜－1.
通过在数轴上表示这两个不等式的解集发现，这两个不等式的解集无公共部分，因此原不等式组无解.
例2：利用口诀法求出下列不等式组的解集.
（1） （2） （3） （4）
预设答案: （1）x＞4;（2）无解; （3）3＜x＜5;（4）x＜.
例3.一堆玩具分给若干个小朋友，若每人分2件，则剩余3件；若前面每人分3件，则最后一个人得到的玩具数不足2件.求小朋友的人数与玩具数.
预设答案: 解：设小朋友的人数为x，则玩具数为（2x+3），根据题意，得
解不等式组，得4＜x≤6.
因为x是整数，所以x＝5,6，则2x+3为13，15.
因此，当有5个小朋友时，玩具数为13个；当有 6个小朋友时，玩具数为15个.
设计意图：通过三个例题，进一步加深学生对一元一次不等式和口诀的理解，例1是对复杂一元一次不等式解法的练习，强化学生解题步骤,例2是对口诀的练习,帮助学生记忆口诀法的使用，例3是一元一次不等式组在实际问题中加以运用,培养学生综合运用所学知识解决实际问题的能力.
课堂练习
1.解不等式组：
解：
解不等式得：
解不等式得：
不等式组的解集为：．
2.采用转化思想的方法，求不等式的解集．
解：由，得
或
解不等式组，得．
解不等式组，无解．
所以不等式的解集为．
3.已知关于的不等式的最小整数解为，则实数的取值范围是 ．
解：解不等式，得．
因为不等式有最小整数解，
所以，
解得．
4.为了抓住梵净山文化艺术节的商机，某商店决定购进、两种艺术节纪念品．若购进种纪念品件，种纪念品件，需要元；若购进种纪念品件，种纪念品件，需要元．
（1）求购进、两种纪念品每件各需多少元？
（2）若该商店决定购进这两种纪念品共件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这件纪念品的资金不少于元，但不超过元，那么该商店共有几种进货方案？
（3）若销售每件种纪念品可获利润元，每件种纪念品可获利润元，在第问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？
.解：（1）设该商店购进一件种纪念品需要元，购进一件种纪念品需要元，
根据题意得方程组得：，
解方程组得：，
答：购进一件种纪念品需要元，购进一件种纪念品需要元；
（2）设该商店购进种纪念品个，则购进种纪念品有个，
，
解得：，
为正整数，，，，
共有4种进货方案，
分别为：方案1：商店购进种纪念品个，则购进种纪念品有个；
方案2：商店购进种纪念品个，则购进种纪念品有个；
方案3：商店购进种纪念品个，则购进种纪念品有个；
方案4：商店购进种纪念品个，则购进种纪念品有个．
（3）因为种纪念品利润较高，故B种数量越多总利润越高．
选择购种件，种件．
总利润元
答：当购进种纪念品件，种纪念品件时，可获最大利润，最大利润是元．
设计意图：通过课堂练习巩固新知，加深新知的理解，并培养学生综合运用所学知识解决问题的能力.
（五）总结归纳
1.本节课你学到了哪些知识？
2.解复杂一元一次不等式组的步骤是什么？
3.如何运用口诀法找方程组的解？
4.解题过程中，应用了哪些数学思想？

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