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第四章 三角形
4.3　探索三角形全等的条件
第2课时　利用“角边角”“角角边”判定三角形全等
1．掌握三角形全等的“角边角”“角角边”判定方法．
2．会运用“角边角”“角角边”判定方法进行简单的说理．
3．经历探索三角形全等的条件的过程归纳获得数学结论的方法，体会利用转化的数学思想和方法解决问题的过程．
重点：掌握判定三角形全等的“角边角”“角角边”条件.
难点：能够用“角边角”判定作为依据，通过演绎推理得出“角角边”判定．
一、导入新课
知识链接
如果给出三个条件画三角形，你能说出有哪几种可能的情况？
三条边、三个角、两边一角和两角一边．
创设情境——见配套课件
二、合作探究
探究一：三角形全等的判定(“角边角”)
活动1：如果已知一个三角形的两角及一边的大小，那么有几种可能的情况呢？学生分组画图讨论．
(课件展示，几何画板画图)
两种情况：
追问：每种情况下得到的三角形都全等吗？
做一做：如果“两角及一边”条件中的边是两角所夹的边，比如三角形的两个内角分别是60°和80°，它们所夹的边为2 cm，你能画出这个三角形吗？你画的三角形与同伴画的一定全等吗？
追问：改变角度和边长，你能得到同样的结论吗？
学生分组探究3分钟，得出结论：仍然成立．
(教师用《几何画板》课件验证猜想，让学生直观感受猜想，见配套课件)
要点归纳：“角边角”判定方法
文字语言：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写为“角边角”或“ASA”．
几何语言：
在△ABC和△A′B′C′中，
因为∠A＝∠A′，AB＝A′B′，∠B＝∠B′，
所以△ABC≌△A′B′C′(ASA).　
探究二：用“角角边”判定三角形全等
活动2：如果“两角及一边”条件中的边是其中一角的对边，情况会怎样呢？你能将它转化为“做一做”中的条件吗？画图讨论．
(学生分组画图讨论，老师课件展示验证．)
要点归纳：“角角边”判定方法
文字语言：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写为“角角边”或“AAS”．
几何语言：
在△ABC和△A′B′C′中，
因为∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，AC＝A′C′，
所以△ABC≌△A′B′C′(AAS).　
学以致用：
如图，小明不慎将一块三角形模具打碎为三块，他是否可以只带其中的一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具呢？如果可以，带哪块去合适？你能说明其中理由吗？
答：带1去，因为有两角且夹边相等的两个三角形全等．
探究三：已知三角形的两角及一边，利用尺规作三角形
活动3：已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形．
已知：∠α，∠β，线段c.
求作：△ABC，使∠A＝∠α，∠B＝∠β，AB＝c.
做法与示范：
作法 图示
(1)作∠DAF＝∠α；
(2)在射线AF上截取线段AB＝c；
(3)以B为顶点，以BA为一边，作∠ABE＝∠β，BE交AD于C.△ABC就是所求作的三角形．
已知：∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝∠DBC.
试说明：△ABC≌△DCB.
在△ABC和△DCB中，
因为∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝∠DBC，BC＝CB，
所以△ABC≌△DCB(ASA).
已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥m，CE⊥m，垂足分别为点D，E.
试说明：(1)△BDA≌△AEC；(2)DE＝BD＋CE.
(1)因为BD⊥m，CE⊥m，
所以∠ADB＝∠CEA＝90°.
所以∠ABD＋∠BAD＝90°.
因为∠BAC＝90°，所以∠CAE＋∠BAD＝90°.
所以∠ABD＝∠CAE.
在△BDA和△AEC中，
所以△BDA≌△AEC(AAS).
(2)因为△BDA≌△AEC，所以BD＝AE，AD＝CE.所以DE＝DA＋AE＝BD＋CE.
三、当堂检测
1．如图，AC＝DF，∠1＝∠2，如果根据“ASA”判定△ABC≌△DEF，那么需要补充的条件是（ A ）
A．∠A＝∠D B．AB＝DE C．BF＝CE D．∠B＝∠E
第1题图 第2题图
2．如图，点A，D，C，E在同一条直线上，BC∥DF，AB＝EF，∠B＝∠F，AE＝10，AC＝6，则CD的长为（ A ）
A．2 B．4 C．4.5 D．3
(其他课堂拓展题，见配套PPT)
四、课堂小结【板书设计】
本节课的教学借助于动手操作、分组讨论等探究出三角形全等的判定方法．在寻找判定方法说明两个三角形全等的条件时，可先把容易找到的条件列出来，然后再根据判定方法去寻找所缺少的条件．从课堂教学的情况来看，学生对“角边角”掌握较好，达到了教学的预期目的．存在的问题是少数学生在方法“AAS”和“ASA”的选择上混淆不清，还需要在今后的教学中进一步加强巩固和训练．第四章 三角形
4.4 利用三角形全等测距离
1．能利用三角形的全等解决实际问题，体会数学与实际生活的联系．
2．能在解决问题的过程中进行有条理地思考和表达.
重点：利用三角形全等解决实际问题．
难点：在解决问题的过程中进行有条理的思考和表达.
一、导入新课
知识链接
我们学过哪些全等三角形的判定方法？
答：SSS，ASA，AAS，SAS.
创设情境——见配套课件
二、合作探究
探究：利用三角形全等测距离
活动1：你听过智慧炸碉堡的故事吗？(图片显示)
播放音频或者让学生阅读书上的故事内容．你知道这位战士用的是什么方法吗？能解释其中的原理吗？
(1)按这个战士的方法，找出教室或操场上与你距离相等的两个点，并通过测量加以验证．
学生小组讨论，小组代表演示测量方法，教师适当指导与评价．
(2)你能解释其中的道理吗？
在△ACB和△ACD中，
因为∠CAB＝∠CAD，AC＝AC，∠ACB＝∠ACD，
所以△ACB≌△ACD(ASA).所以BC＝CD.
要点归纳：1.利用三角形全等测距离的目的：变不可测距离为可测距离．
2．依据：全等三角形对应边相等．
3．关键：构造全等三角形．　
活动2：小明在上周末游览风景区时，看到了一个池塘，他想知道最远两点A，B之间的距离，但是他没有船，不能直接去测．手里只有一根绳子和一把尺子，他怎样才能测出A，B之间的距离呢？把你的设计方案在图上画出来，并与你的同伴交流你的方案，看看谁的方案更便捷．
方案一：先在地上取一个可以直接到达点A和B的点C，连接AC并延长到D，使AC＝CD；连接BC并延长到E，使CE＝CB；连接DE并测量出它的长度，则DE的长度就是点A，B间的距离．
追问：同学们知道这其中的原理吗？你能说出每步的道理吗？
在△ABC和△DEC中，
因为AC＝DC，∠ACB＝∠DCE，BC＝EC，
所以△ABC≌△DEC(SAS).所以AB＝DE.(全等三角形，对应边相等)
小组讨论：你还能设计出其他的方案吗？(构建全等三角形)
学生讨论出几种方案，其他学生根据所想方案作答．(PPT展示)
方案二：
在△ABC与△DEC中，已知AB⊥BE，BC＝CE，DE⊥BE，点A，C，D在同一直线上，结论：AB＝DE.
理由：ASA：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等．
方案三：如图，先作△ABD，再找一点C，使BC∥AD，并使AD＝BC，连接CD，量CD的长即得AB的长．
理由：因为AD∥CB，所以∠1＝∠2.
在△ABD与△CDB中，因为AD＝CB，∠1＝∠2，
BD＝DB，所以△ABD≌△CDB(SAS).所以AB＝CD.
方案四：如图，找一点D，使AD⊥BD，延长BD至C，使CD＝BD，连接AC，量AC的长即得AB的长.
理由：因为AD⊥BD，所以∠ADB＝∠ADC＝90°.
在Rt△ADB与Rt△ADC中，
因为AD＝AD，∠ADB＝∠ADC，BD＝CD，
所以Rt△ADB≌Rt△ADC(SAS).所以AB＝AC.
要点归纳：
　
如图，工人师傅要计算一个圆柱形容器的容积，需要测量其内径．现在有两根同样长的木棒、一条橡皮绳和一把带有刻度的直尺，你能设法帮助他完成吗？
如图，在容器外取一点O，连接CO，DO并延长，
使AO＝CO，BO＝DO，连接AB.
∵∠AOB＝∠COD，
∴△ABO≌△CDO(SAS).
∴CD＝AB，测出AB的长即可知CD的长，
即可知容器的内径．
三、当堂检测　
如图，欲测量内部无法到达的古塔相对两点A，B间的距离，可延长AO至C，使CO＝AO，延长BO至D，使DO＝BO，则△COD≌△AOB，从而通过测量CD的长度即可得A，B间的距离，其全等的根据是（ A ）
A.SAS
B．ASA
C．AAS
D．SSS
(其他课堂拓展题，见配套PPT)
四、课堂小结【板书设计】
通过实例引入课堂教学，激发学生的探究兴趣，从而了解到全等三角形在实际生活中的应用．在小组间的合作探究过程中，要鼓励学生大胆设想，充分展开联想，对三角形全等的利用进行深层的探究与学习，培养学生的创造性和独立解决问题的能力．第四章 三角形
4.3　探索三角形全等的条件
第3课时　利用“边角边”判定三角形全等
1．经历探讨三角形全等的条件“边角边”的过程，掌握三角形全等的“边角边”判定方法．
2．会运用“边角边”判定方法进行简单的说理．
3．通过对全等三角形的判定定理的学习，在经历猜想、验证、归纳的学习过程中，体会归纳的数学思想方法，逐步养成用数学语言表达与交流的习惯．
重点：探索三角形全等的条件——“SAS”，并能应用它来判定两个三角形全等．
难点：能运用“边角边”判定方法解决有关问题．
一、导入新课
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我们学过哪些三角形全等的判定方法？
答：SSS，ASA，AAS.
创设情境——见配套课件
二、合作探究
探究一：三角形全等的判定(“边角边”)
问题：如果已知一个三角形的两边及一角，那么有几种可能的情况呢？
思考：每种情况下得到的三角形都全等吗？
活动1：按要求画图：已知两边分别为2.5 cm，3.5 cm，它们所夹的角为40°.分小组画图，鼓励学生利用量角器、直尺、三角板等一切工具画三角形，并要求画出的三角形尽可能准确，减少误差．
改变上述条件中的角度和边长，再试一试．
要点归纳：
“边角边”判定全等的方法
文字语言：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”．
几何语言：在△ABC和△DEF中，因为AB＝DE，∠A＝∠D，AC＝DF，所以△ABC≌△DEF.　
探究二：两边及其中一边对角分别相等的两个三角形
活动2：按要求作图：以两条边分别为2.5 cm；3.5 cm，长度为2.5 cm的边所对的角为40°.分小组画图，要求同活动1.
画出的三角形不都全等．
要点归纳：两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形不一定全等．　
活动3：
1．学生根据各小组所画的图形，剪下后对比分析，看图形是否完全重合．
2．小组内合作探究，剪下所画图形后对比分析图形是否全等，并互相补充产生这种情况的原因．
已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形.
已知：线段a，c，∠α.
求作：△ABC，使BC＝a，AB＝c，∠ABC＝∠α.
作法1：
作法 图示
(1)作一条线段BC＝a；
(2)以B为顶点，BC为一边，作∠DBC＝∠α；
(3)在射线BD上截取线段BA＝c；
(4)连接AC，△ABC就是所求作的三角形．
作法2：
(1)作∠MBN＝∠α；
(2)在射线BN上截取BC＝a，在射线BM上截取BA＝c；
(3)连接AC，则△ABC为所求作的三角形．
已知：如图，AB＝DB，CB＝EB，∠1＝∠2，试说明：∠A＝∠D.
因为∠1＝∠2，所以∠1＋∠DBC＝∠2＋∠DBC，即∠ABC＝∠DBE.
在△ABC和△DBE中，因为AB＝DB，∠ABC＝∠DBE，CB＝EB，所以△ABC≌△DBE(SAS).所以∠A＝∠D.
三、当堂检测
1．如图，点B在∠CAD的平分线上，若添加一个适当的条件能使△ABC≌△ABD，所添加的条件不可以是（ D ）
A．∠C＝∠D B．AC＝AD
C．∠CBE＝∠DBE D．BC＝BD
第1题图 第2题图
2．如图，∠1＝∠2，AC＝AD，增加下列条件，不能肯定△ABC≌△AED的是（ D ）
A．∠C＝∠D B．∠B＝∠E C．AB＝AE D．BC＝ED
(其他课堂拓展题，见配套PPT)
四、课堂小结【板书设计】
本节课从操作探究入手，具有较强的操作性和直观性，有利于学生从直观上积累感性认识，从而有效地激发了学生的学习积极性和探究热情，提高了课堂的教学效率，促进了学生对新知识的理解和掌握．从课堂教学的情况来看，学生对“边角边”掌握较好，但在探究三角形的大小、形状时不会正确分类，需要在今后的教学和作业中进一步加强分类思想的巩固和训练．第四章 三角形
4.2　全等三角形
1．学会辨认全等三角形的对应边、对应角，掌握全等三角形的性质．
2．通过动手操作，认真观察全等三角形，丰富学生对全等三角形的感性认知，培养学生的观察和动手能力，发展学生的空间观念．
3．通过对全等三角形概念和性质的学习，在经历猜想、验证、归纳的学习过程中，体会归纳的数学思想方法，逐步养成用数学几何语言表达与交流的习惯．
重点：理解并掌握全等三角形的性质．
难点：全等三角形性质的应用．
一、导入新课
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在前面我们学习了三角形的有关知识，请同学们回顾一下三角形的元素有哪些？
答：三个顶点、三个内角、三条边．
创设情境——见配套课件
二、合作探究
探究一：全等三角形的定义
活动1：观察所给出的图形，它们有什么特点？
每个大图形中，都含有若干个形状、大小相同的小三角形．
活动2：如图，PPT演示△ABC与△DEF完全重合的过程，观察这两个三角形有哪些共同点．
追问：你能找出他们的对应点、对应边和对应角吗？
对应点：点A与点D；点B与点E；点C与点F；
对应边：AB与DE；AC与DF；BC与EF；
对应角：∠A与∠D；∠B与∠E；∠C与∠F.
全等三角形的对应边相等，对应角相等．
要点归纳：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形．
全等的表示方法：
“全等”用符号“≌”表示，读作“全等于”．
△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF.　
探究二：全等三角形的性质
活动3：准备两个全等的三角形纸片，并画出两个三角形对应边上的高．
(1)全等三角形对应边的高相等吗？对应边的中线呢？还有哪些相等的线段？举例说明．
(2)如图，已知△ABC≌△A′B′C′，你如何在△A′B′C′中画出与线段DE相对应的线段？
(1)全等三角形的对应线段都相等．
(2)如图所示．
做一做：下图是一个等边三角形，你能把它分成两个全等的三角形吗？三个呢？四个呢？
如图，△ABC≌△EBD，问∠1与∠2相等吗？若相等请说明理由．
∠1＝∠2.　理由如下：
因为△EBD≌△ABC，
所以∠A＝∠E.
在△AOF与△EOB中，
∠AOF＝∠EOB.
根据三角形内角和为180°，
所以∠1＝∠2.
三、当堂检测
1．下列说法正确的是（ A ）
A．能完全重合的两个三角形全等
B．两个等边三角形全等
C．大小相同的两个三角形全等
D．面积相等的两个三角形全等
2．如图，已知△ABE≌△DCE，AE＝2 cm，∠A＝25°，∠B＝48°，那么DE＝2cm，∠C＝48°.
(其他课堂拓展题，见配套PPT)
四、课堂小结【板书设计】
全等三角形
本节课首先展示了部分全等三角形的图片，激发学生兴趣，从图中总结全等形和全等三角形的概念；最后总结全等三角形的性质，通过练习来理解全等三角形的性质并渗透符号语言推理；通过实例熟悉运用全等三角形的性质解决一些简单的实际问题．第四章 三角形
4.3　探索三角形全等的条件
第1课时　利用“边边边”判定三角形全等
1．掌握“边边边”证明方法的内容，会运用“边边边”证明方法说明两个三角形全等，给出三边会用尺规作图的方法画出三角形．
2．会用“边边边”定理判定两个三角形全等和解决相关实际问题，体会三角形的稳定性．
3．在探索三角形全等条件及其应用过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理．
重点：探索三边分别相等的两个三角形全等．
难点：利用“SSS”说明三角形全等的思考和推理过程.
一、导入新课
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通过上节课内容，我们知道完全重合的两个三角形全等．已知△ABC≌△DEF，你能得到哪些结论？
对应边相等，对应角相等．
创设情境——见配套课件
二、合作探究
探究一：三角形全等的判定(“边边边”)
活动1：
做一做：1.只给一个条件(一条边或一个角)画三角形时，大家画出的三角形一定全等吗？
结论：只有一个相等条件不能保证两个三角形全等．
2．给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况？每种情况下画出的三角形一定全等吗？分别按照下面的条件画图试一试．
(1)三角形的一个内角为30°，一条边为3 cm；
(2)三角形的两个内角分别为30°和50°；
(3)三角形的两条边分别为4 cm，6 cm.
两个条件画出的三角形不一定全等．
议一议：如果给出三个条件画三角形，你能说出有哪几种可能的情况？
有四种可能：三条边、三个角、两边一角和两角一边．
活动2：
做一做：1.已知一个三角形的三个内角分别为40°，60°和80°，你能画出这个三角形吗？把你画的三角形与同伴画的进行比较，它们一定全等吗？
三个内角分别相等的两个三角形不一定全等．
2．已知一个三角形的三条边分别为4 cm，5 cm和7 cm，你能画出这个三角形吗？把你画的三角形与同伴画的进行比较，它们一定全等吗？
画出的三角形都全等．
改变三边的长度，同桌之间再画一画，比一比吧！
要点归纳：“边边边”判定方法
文字语言：三边分别相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”．
几何语言：
在△ABC和△DEF中，因为AB＝DE，BC＝EF，CA＝FD，所以△ABC≌△DEF.　
探究二：三角形的稳定性
活动3：请同学们动手用三根木条钉成一个三角形框架，再用四根木条钉成框架，看看它们的形状能否改变？
三角形大小和形状固定不变，四边形形状可以改变.
活动4：在生活中，我们经常会看到应用三角形稳定性的例子．(用PPT展示)
你还能举出一些其他的例子吗？
要点归纳：三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性．　
已知三角形的三条边，求作这个三角形．
已知：线段a，b，c.
求作：△ABC，使AB＝c，AC＝b，BC＝a.
作法：(1)作一条线段BC＝a；
(2)分别以B，C为圆心，以c，b的长为半径画弧，两弧交于点A；
(3)连接AB，AC.则△ABC就是所求作的三角形．
如图，有一个三角形钢架，AB＝AC，AD是连接点A与BC中点D的支架．试说明：△ABD≌△ACD.
三、当堂检测
1．如图，AB＝CD，AC＝BD，且AC与BD交于点O，在原图形的基础上，要利用“SSS”判定△AOB≌△DOC，可以添加的条件是A
A．OA＝OD B．∠A＝∠D
C．AB∥CD D．∠B＝∠C
　 　第1题图 第2题图
2．如图，OA＝OB，OC＝OD，AD＝BC，∠O＝50°，∠D＝35°，则∠DBC的度数为（ C ）
A．60° B．50° C．85° D．30°
(其他课堂拓展题，见配套PPT)
四、课堂小结【板书设计】
本节课从操作探究活动入手，有效地激发了学生的学习积极性和探究热情，提高了课堂的教学效率，促进了学生对新知识的理解和掌握．从课堂教学的情况来看，学生对“边边边”掌握较好，达到了教学的预期目的．存在的问题是少数学生在辅助线的构造上感到困难，不知道如何添加合理的辅助线，还需要在今后的教学中进一步加强巩固和训练.第四章 三角形
4.1　认识三角形
第3课时　三角形的高、中线和角平分线
1．认识三角形的高、中线、角平分线，会画任意三角形的高、中线、角平分线．
2．了解三角形的高、中线和角平分线都分别交于一点的性质．
3．通过折纸、画图等实践活动丰富学生对所学内容的理解和体验，同时发展他们的空间观念．
重点：三角形的高、中线和角平分线的定义与性质．
难点：钝角三角形的高的画法．
一、导入新课
知识链接
体育课上同学们进行了跳远训练，你知道如何测出他们的跳远成绩吗？过三角形的一个顶点，你能画出它的对边的垂线吗？
创设情境——见配套课件
二、合作探究
探究一：三角形的高
活动1：每人准备一个锐角三角形纸片．
(1)你能画出这个三角形的三条高吗？你能用折纸的方法得到它们吗？
(2)这三条高之间有怎样的位置关系？将你的结果与同伴进行交流．
要点归纳：
1．从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高．
2．一个三角形有三个顶点，所以有三条高．
3．锐角三角形的三条高交于同一点，并且这个点在三角形内部．　
议一议：在纸上画出一个直角三角形和一个钝角三角形．
(1)画出直角三角形的三条高，它们有怎样的位置关系？
(2)你能折出钝角三角形的三条高吗？你能画出它们吗？
(3)钝角三角形的三条高交于一点吗？它们所在的直线交于一点吗？将你的结果与同伴进行交流．
要点归纳：三角形的三条高所在的直线交于一点．　
探究二：三角形的中线
复习线段的中点定义和确定线段中点的方法，类比得出三角形中线的定义和三角形中线的作法．
定义：在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫作三角形的中线．
如图，AE是△ABC的BC边上的中线．
活动2：
(1)在纸上画出一个锐角三角形，确定它的中线．你有什么方法？它有多少条中线？它们有怎样的位置关系？
三角形有三条中线，并且它们相交于一点．
(2)钝角三角形和直角三角形的三条中线也有同样的位置关系吗？折一折，画一画，并与同伴进行交流．
(3)如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线．试判断△ABD和△ACD的面积有什么关系？为什么？
要点归纳：1.三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心．
2．三角形的中线能将三角形的面积平分．
探究三：三角形的角平分线
活动3：每人准备锐角三角形、钝角三角形和直角三角形纸片各一个．
(1)你能用折纸的办法折出三角形的三条角平分线吗？
(2)在每个三角形中，这三条角平分线之间有怎样的位置关系？
三角形的角平分线的定义：
在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线．
要点归纳：三角形角平分线的特征：
三角形的三条角平分线交于同一点．　
如图，在△ABC中，AC＝5 cm，AD是△ABC的中线，若△ABD的周长比△ADC的周长大2 cm，则AB＝7cm.
如图，已知AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，求∠ADB的度数．
因为AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝60°，所以∠DAC＝∠BAD＝30°.
因为CE是△ABC的高，∠BCE＝40°，
所以∠B＝50°.
所以∠ADB＝180°－∠B－∠BAD＝180°－50°－30°＝100°.
三、当堂检测
1．如图，在△ABC中，AD，CE分别是△ABC的高，且AB＝7，BC＝8，AD＝6.则CE的长为 .
第1题图 第2题图
2．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，BE是AC边上的中线，AC＝10 cm，则AE＝5cm.若∠ABD＝30°，则∠ABC＝60°.
(其他课堂拓展题，见配套PPT)
四、课堂小结【板书设计】
本节课由实际问题“测量跳远成绩”引入，让学生意识到数学与实际生活的密切联系，明确数学来源于实践应用于实践，进而学习用数学方法解决实际问题．然后从画图入手，分三种情况：即锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，培养学生形成分类讨论思想，同时，可以在学生头脑中对这三种线段留下清晰的形象，然后结合这些具体形象叙述它们的定义以及表示方法，最后通过例题进一步巩固.第四章 三角形
4.3　探索三角形全等的条件
第4课时　全等三角形的性质与判定
1．熟练掌握全等三角形的判定定理，全面认清条件，能正确地利用判定条件判定三角形全等．
2．运用全等三角形的性质和判定定理解决线段相等与角相等的相关实际性问题．
3．通过全等三角形性质与判定的证明，进一步培养推理论证能力．
重点：全等三角形的判定定理和性质．
难点：灵活应用三角形全等的判定定理和性质解决问题．
一、导入新课
知识链接
回忆前面研究过的全等三角形，展示课前准备的三角形纸片，提出问题：你能画一个三角形与它全等吗？怎样画？
创设情境——见配套课件
二、合作探究
探究一：判断三角形全等的条件
活动1：已知在△ABC中，BC＝5 cm，AC＝3 cm，AB＝3.5 cm，∠B＝36°，∠C＝44°，请你选择适当数据，画与△ABC全等的三角形(用三种方法画图，不写作法，但要在所画的三角形中标出用到的数据).
参考作法如下：
图①作法示例：
(1)作线段BC＝5 cm；
(2)以C为圆心，3 cm为半径画弧；
(3)以B为圆心，3.5 cm为半径画弧，两弧相交于点A；
(4)连接AB，AC，则△ABC为所求作的三角形．
要点归纳：三角形全等的条件及判定方法：
对应相等的元素 两边及其夹角 两角及其夹边 两角及其中一角的对边 三边
三角形全等理由 SAS ASA AAS SSS
探究二：三角形全等的判定和性质的综合应用
活动2：
如图，点D，E分别在线段AB，AC上，AE＝AD，不添加新的线段和字母，从下列条件：①∠B＝∠C；②BE＝CD；③AB＝AC；④∠ADC＝∠AEB中选择一个使得△ABE≌△ACD.
小组讨论：你能选择的条件有哪些，请写出证明过程．
选择①：在△ABE和△ACD中，
∴△ABE≌△ACD(AAS).
选择②，不能判定△ABE≌△ACD.
选择③，在△ABE和△ACD中，
∴△ABE≌△ACD(SAS).
选择④，在△ABE和△ACD中，
∴△ABE≌△ACD(ASA).
要点归纳：1.三角形全等书写的三个步骤：
①写出在哪两个三角形中；
②摆出三个条件用大括号括起来；
③写出全等结论．
2．怎样寻找已知条件：已知条件包含两部分，一是已知中给出的，二是图形中隐含的(如公共边、公共角等).　
教材P104例1，课件出示，学生独立思考，老师总结．
教材P105例2，课件出示，学生独立思考，老师总结．
如图，△ADF和△BCE中，∠A＝∠B，点D，E，F，C在同一直线上，有如下三个关系式：①AD＝BC；②DE＝CF；③BE∥AF.
(1)请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出所有你认为正确的命题(用序号写出命题书写形式，如：如果①②，那么③)；
(2)选择(1)中你写出的一个命题，说明它正确的理由.
(1)如果①③，那么②；如果②③，那么①.
(2)对于“如果①③，那么②”理由如下：
∵BE∥AF，∴∠AFD＝∠BEC.
又∵AD＝BC，∠A＝∠B，
∴△ADF≌△BCE(AAS).
∴DF＝CE.
∴DF－EF＝CE－EF，即DE＝CF.
对于“如果②③，那么①”证明如下：
∵BE∥AF，
∴∠AFD＝∠BEC.
∵DE＝CF，
∴DE＋EF＝CF＋EF，即DF＝CE.
∵∠A＝∠B，
∴△ADF≌△BCE(AAS).
∴AD＝BC.
三、当堂检测
1.如图，已知AC＝DB，∠ACB＝∠DBC，则有△ABC≌△DCB，
理由是SAS，且有∠ABC＝∠DCB，AB＝DC．
2．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，E为AC上的一动点(不与A重合)，在点E移动的过程中，BE和DE是否相等？若相等，请写出证明过程；若不相等，请说明理由．
相等．理由如下：
在△ABC和△ADC中，
∴△ABC≌△ADC(SSS).
∴∠DAE＝∠BAE.
在△ADE和△ABE中，
∴△ADE≌△ABE(SAS).∴BE＝DE.
(其他课堂拓展题，见配套PPT)
四、课堂小结【板书设计】
本节课学习了全等三角形四种判定方法的灵活运用，让学生积极主动地去练习，学会分析已知什么，要证明什么，还需要什么条件，同时还要善于从图形中发现隐含的条件：公共边、公共角、对顶角、邻补角等．第四章 三角形
☆　问题解决策略：特殊化
　
1．理解特殊化策略在解决数学问题中的重要意义，明确特殊化策略是解决复杂问题的有效手段之一.
2．会识别出哪些类型的数学问题适合采用特殊化策略来解决，例如几何图形面积计算问题、与图形内点相关的线段关系问题等．
3．能熟练地将一般性的数学问题转化为特殊情形进行思考，学会在不同特殊情形之间建立联系和转化，培养举一反三的学习能力．
重点：理解特殊化问题解决策略的本质，掌握运用特殊化策略解决几何问题的方法．
难点：将一般情形转化为特殊情形，并会运用特殊情形的结论解决一般问题．
一、导入新课
知识链接
回顾七年级上册我们学过的数轴，点a在数轴上的位置如图所示，你知道怎么快速比较a，，|a|的大小关系吗？
答：取a＝－0.5，则a，，|a|三个数分别为－0.5，－2，0.5，所以＜a＜|a|.
创设情境——见配套课件
二、合作探究
探究一：几何图形中的特殊化
活动1：裁出两块边长为10 cm，大小一样的正方形纸片ABCD和正方形纸片EFGH，如图，把顶点E钉在纸片ABCD的正中心位置，旋转正方形纸片EFGH，画一画重叠部分，量一下两个正方形重叠部分的面积是多少？
分小组讨论，如何计算重叠部分面积．
问题1：在旋转过程中，两个正方形的重叠部分会呈现出哪些情形？
(学生转动纸片观察，老师用几何画板操作演示)
几种情形如下：
①正方形ABCD的顶点在正方形EFGH边上；
②正方形ABCD的边与正方形EFGH的边垂直；
③两个正方形的边相交．
问题2：对于这些不同情形，如何求两个正方形重叠部分的面积？你遇到的困难是什么？你会选择哪一种方法求正方形面积？
(分小组讨论，写出你的解决方案．)
情形①：两个正方形重叠部分的面积恰好为三角形BEC的面积，很容易得出为正方形面积的，为×10×10＝25(cm2).
情形②：两个正方形的边互相垂直时，重叠部分刚好也是一个小正方形，其面积为5×5＝25(cm2).
思考1：在这两种特殊图形中，你是如何通过简单的几何关系得出重叠部分面积为正方形面积的的？
可以通过正方形的对称性或三角形全等关系来证明重叠部分面积是正方形面积的.
情形③：将一般情形转化为特殊情形．
(1)如图，连接EB，EC，两个正方形重叠部分的面积记作S重叠．
(2)引导学生发现S重叠＝S△BEC＋S△CEN－S△BEM；△BEM≌△CEN.
(3)引导学生探究发现此时图③的情形就转化为图①的情形，S重叠＝S△BEC＝S正方形ABCD.
要点归纳：1.面对一般性的问题时，可以考虑特殊图形，借助特殊情形下获得的结论或方法解决一般性的问题，这就是特殊化策略．
2．在数学问题中，“从特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论．　
探究二：代数问题中的特殊化
活动2：同桌两人一组玩游戏．
游戏规则：甲、乙两人轮流在正方形纸片上放同样大小的硬币，每人每次只能放一枚，且放置过程中不允许重叠与倾斜，硬币不能超出纸片的边界．规定谁在纸片上放下最后一枚硬币，谁就获胜．
你知道获胜的策略吗？如果你走第一步，你会放在哪里才可能稳操胜券？请说明你的理由．
第一步应放正方形纸片的中心位置．
这时，对方放一枚硬币，你就可以在正方形纸片上放一枚硬币，使它与你同桌的硬币关于正方形中心对称，直到同桌无处可放，你就赢了．
思考2：在日常生活中，还有哪些问题可以用特殊化的方法来解决？写一篇小短文介绍你的发现．
若一个三位数的各位数字是任意三个连续的正整数，则÷3的最小值是41，最大值是329．
当x＝1，y＝2，z＝3时，123÷3＝41；
当x＝9，y＝8，z＝7时，987÷3＝329.
如图，四边形ABCD各内角的平分线交于点O，则有AB＋CD＝AD＋BC，试说明理由．
特殊情形：显然当四边形ABCD是正方形时，点O是正方形的中心，满足题目条件，则有AB＝BC＝CD＝DA，显然结论AB＋CD＝AD＋BC成立．
一般情形：过点O作四边形ABCD各边的垂线，垂足分别为E，F，G，H.在△AOE与△AOH中，
∴△AOE≌△AOH(AAS).∴AE＝AH.
同理，DH＝DG，BE＝BF，CF＝CG，
∴AB＋CD＝AD＋BC.
三、当堂检测
教材P112习题4.4，T1－3.
(其他课堂拓展题，见配套PPT)
四、课堂小结【板书设计】
☆　问题解决策略：特殊化
1．特殊化策略的概念
2．应用步骤：提出问题→理解问题→拟定计划→实施计划→回顾反思
3．例题展示与解题过程
在教学过程中，要注意观察学生对特殊化策略的理解和掌握程度，及时调整教学方法和节奏．对于学生在练习中出现的问题，要进行有针对性的讲解和指导，确保学生能够真正掌握特殊化这一问题解决策略．第四章 三角形
4.1　认识三角形
第2课时　三角形的三边关系
1．会按边对三角形进行分类．
2．通过度量三角形的边长，理解并掌握三角形三边的关系．
3．通过研究三角形三边关系的过程，培养逻辑思维能力，体会数学知识的严密性．
重点：三角形三边关系的探究和归纳．
难点：应用三角形的三边关系解决简单的实际问题．
一、导入新课
知识链接
三角形按角的大小关系，可以分为哪几类？
答：锐角三角形，直角三角形，钝角三角形．
若按边来分类，又可分为哪几类呢？
创设情境——见配套课件
二、合作探究
探究一：三角形按边分类
活动1：观察图中的三角形你能发现它们各自的边长之间有什么关系吗？
要点归纳：有两条边相等的三角形叫作等腰三角形．
三边都相等的三角形叫作等边三角形．(正三角形)
思考：等边三角形和等腰三角形之间有什么关系？
探究二：三角形的三边关系
议一议：元宵节的晚上，房梁上亮起了彩灯，装有黄色彩灯的电线与装有红色彩灯的电线哪根长呢？说明你的理由．
请你动手量一量，比一比吧！有黄色彩灯的电线更长.
活动2：准备4根长分别为3 cm，4 cm，5 cm，7 cm的木棒，任意取出3根首尾相接搭三角形，并填表：
选择长度 能否搭出三角形 示意图
能 不能
3cm ,4cm ,5cm
问题：在一个三角形中，任意两边之和与第三边的长度有怎样的关系？为什么？
猜想：AC＋CB＞AB
证明：方法一：测量法
画不同类别的三角形，用直尺分别测量两条路线的长度．
方法二：几何推导
因为两点之间，线段最短，
所以AC＋CB>AB.
同理：AC＋AB>BC，AB＋BC>AC.
活动3：任意画一个三角形，分别量出三角形的三边长度，并填入下表内．
　画图 长度
a
b
c
计算每个三角形的任意两边之差，并与第三边比较，你能得到什么结论？再画一些三角形试一试．
要点归纳：1.三角形的任意两边之和大于第三边．
2．三角形的任意两边之差小于第三边．　
教材P89例题，课件出示，学生独立思考，老师总结．
拓展：有两根长度分别为5 cm和8 cm的木棒，如果一根木棒能与原来的两根木棒摆成三角形，那么它的长度l取值范围是多少？
3 cm＜l＜13 cm.
若a，b，c是△ABC的三边长，化简：|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c＋a－b|.
根据三角形的三边关系，得a－b－c＜0，b－c－a＜0，c＋a－b＞0，所以|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c＋a－b|＝b＋c－a＋c＋a－b＋c＋a－b＝3c＋a－b.
三、当堂检测
1．现有两根长度分别为4 cm和2 cm的小木棒，请再找一根小木棒，以这三根木棒为边围成一个三角形，则第三根小木棒的长度可以是（ B ）
A．2 cm B．5 cm
C．6 cm D．7 cm
2．已知△ABC的三边长为a，b，c，且满足(a－2)2＋|b－2|＋|c－2|＝0，则此三角形是（D）
A．等腰不等边三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
3．四条线段的长度分别为4，6，8，10，可以组成三角形的组数为B
A．4组 B．3组
C．2组 D．1组
(其他课堂拓展题，见配套PPT)
四、课堂小结【板书设计】
本节课让学生经历了一个单就解决问题的过程，在验证三边和差时充分的调动了学生的积极性，在实践中总结了结论．学生能印象深刻，为理论的应用奠定基础．通过观察、验证、再操作，最终发现三角形任意两边之和大于第三边这一结论．这样教学符合学生的认知特点，既增加了学习兴趣，又增强了学生的动手能力．第四章 三角形
4.1　认识三角形
第1课时　三角形的内角和
1．理解并掌握三角形的概念，会用符号表示三角形．
2．通过剪拼、平移等操作，掌握三角形内角和定理，并会利用三角形内角和定理解决简单问题．
3．让学生感受三角形在生活中的应用，培养应用意识，能应用三角形的内角和知识判断三角形．
重点：了解三角形的概念，会用符号语言表示三角形.
难点：掌握三角形三个角的关系，会将三角形分类．
一、导入新课
知识链接
你能从身边或生活中所见物体中举出三角形的例子吗？
答：架桥钢梁，测量三角架等．
创设情境——见配套课件
二、合作探究
探究一：三角形的概念
活动1：观察下面图形的形成过程，说一说什么叫三角形．
(多媒体展示三角形的形成过程，学生观察并回答)
问题1：三角形中有几条线段？有几个角？几个顶点？
三角形有三条边，三个内角，三个顶点．
要点归纳：定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形．
三角形组成元素 三角形ABC，记作△ABC
边 边AB，边BC，边AC或边c，边a，边b
顶点 点A、点B、点C
角(内角) ∠A，∠B，∠C
探究二：三角形的内角和
合作探究：如何探索、验证三角形的内角和等于180°？说一说理由．
活动2：
画一画：在准备的三角形硬纸板上画出△ABC，并标出三个内角．
量一量：每个角各是多少度？三个内角的和是多少？
动动手：撕下三角形的三个角，拼在一起．
总结：三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角．
问题2：这种方法需要撕下三个角，那么撕一个角能不能证明呢？
撕拼法：撕下三角形的一个角，拼在一起．
此时∠1的另一条边b与∠3的一条边a平行吗？为什么？∠3与∠4的大小有什么关系？为什么？
a∥b，因为内错角相等，两直线平行．
∠3＝∠4，因为两直线平行，同位角相等．
问题3：现在，你能够确定这个三角形的内角的和了吗？
自己剪一个三角形纸片，重复上面的过程，你得到同样的结论了吗？与同伴进行交流．
要点归纳：三角形三个内角的和等于180°.　
探究三：三角形按角分类
议一议：猜猜图中三角形被遮住的两个内角是什么角？试着说明理由．
要点归纳：
三角形按角的大小分类
锐角三角形 三个角都是锐角 直角三角形 有一个角是直角 钝角三角形 有一个角是钝角
(1)图中有几个三角形？用符号表示出这些三角形．
(2)以AB为边的三角形有哪些？
(3)以E为顶点的三角形有哪些？
(4)以∠D为顶角的三角形有哪些？
(1)5个，分别是△ABE，△ABC，△BCE，△BCD，△ECD.
(2)△ABC，△ABE.
(3)△ABE，△BCE，△CDE.
(4)△BCD，△DEC.
一个三角形的三个内角的度数之比为1∶2∶3，这个三角形一定是A
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．无法判定形状
三、当堂检测
1．如图，图中以AB为边的三角形的个数是（ A ）
A．3 B．4
C．5 D．6
第1题图 第2题图
2．如图，一个长方形纸片，剪去部分后得到一个三角形，则图中∠1＋∠2的度数是（C）
A．30° B．60° C．90° D．120°
3．在△ABC中，∠A＝60°，且∠B∶∠C＝2∶1，则∠B的度数为（ B ）
A．40° B．80° C．60° D．120°
(其他课堂拓展题，见配套PPT)
四、课堂小结【板书设计】
在教学中，教师通过必要的提示指明学生思考问题的方向，在学生提出验证三角形内角和的不同方法时，教师注意让学生上台演示自己的操作过程和说明自己的想法，这样有助于学生接受三角形的内角和是180°这一结论．

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