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第五章　图形的轴对称
5.1　轴对称及其性质
1．感知生活中的轴对称现象，了解轴对称图形和两个图形成轴对称的概念，理解轴对称的性质，会画出已知轴对称图形的另一半．
2．通过自然界和生活中的例子了解轴对称的概念，在探索轴对称的性质时，经历观察，动手操作，归纳总结的过程，培养探索与实践能力，体会数学由一般到特殊的研究方法．
3．通过认识自然界和生活中的轴对称，感受对称之美，认识轴对称的应用价值，培养学生的审美情趣.
重点：掌握轴对称轴的性质．
难点：轴对称图形和两个图形成轴对称的区别，理解轴对称的性质．
一、导入新课
知识链接
生活中很多美丽的图形都带有数学的身影，你能举例说一说吗？
中国结、剪纸等
创设情境——见配套课件
二、合作探究
探究一：轴对称图形及其性质
1．轴对称图形
(1)通过多媒体让学生观察图5－1(教材P121)；
(2)它们有什么共同特点？你还能举出一些类似的例子吗？与同伴进行交流．
要点归纳：如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫作轴对称图形，这条直线叫作对称轴．　
2．轴对称图形的性质
认识对应点、对应线段、对应角：图5－2(教材P121)是一个轴对称图形，直线l是它的对称轴，沿对称轴折叠后，点A与点A′重合，称点A关于对称轴的对应点是点A′.类似地，线段AB关于对称轴的对应线段是线段A′B′，∠B关于对称轴的对应角是∠B′.
问题1：你还能在图5－2中找出其他的对应点、对应线段和对应角吗？
点B和点B′，AC和A′C，∠BAC和∠B′A′C等
问题2：图5－3(教材P122)是一个轴对称图形，直线l是它的对称轴．观察这个图形，回答下列问题：
(1)在图中任意选一组对应线段，这两条线段之间有什么关系？
对应线段相等．
(2)在图中任意选一组对应角，这两个角之间有什么关系？
对应角相等．
(3)连接对应点A与点A′，线段AA′与对称轴之间有什么关系？连接其他任意一组对应点再试一试．
对应点所连的线段被对称轴垂直平分．
探究二：两个图形成轴对称及其性质
1．两个图形成轴对称
(1)通过多媒体让学生观察图5－4(教材P122)；
(2)你发现了什么？与同伴进行交流．
要点归纳：如果两个平面图形沿一条直线折叠后能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线叫作这两个图形的对称轴．　
2．两个图形成轴对称的性质
如图5－5(教材P123)，将一张长方形纸对折，然后用笔尖扎出“14”这个数，将纸打开后铺平：在铺平的纸中
(1)两个“14”之间有什么关系？
关于直线l对称．
(2)对应线段之间有什么关系？对应角之间有什么关系？连接对应点的线段与对称轴l之间有什么关系？请举例说明，并与同伴进行交流．
对应线段相等，对应角相等，对应点所连的线段被对称轴垂直平分．
要点归纳：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等．　
3．轴对称图形和两个图形成轴对称的区别与联系
观察5－1蝴蝶(教材P121)和5－4囍(教材P122)，说出轴对称图形与两个图形成轴对称的区别与联系．
要点归纳：
轴对称图形 两个图形成轴对称
图形
区别 具有特殊形状的一个图形 有特殊位置关系的两个全等图形
联系 1.都是沿着某条直线折叠后能重合； 2.可以通过分割或整合互相转化．
探究三：画轴对称图形
图5－6(教材P123)是一个图案的一半，直线MN是这个轴对称图形的对称轴，请画出这个图形的另一半．
如图5－7(教材P123)，延长AO至A′，使OA′＝OA；延长BN至B′，使NB′＝NB；依次连接MA′，MB′，A′B′，A′P，B′P.这样画出来的图形就是这个图形的另一半．
方法总结：先确定一些特殊的点(如三角形的顶点)，然后作这些特殊点的对称点，再顺次连接．
如图，四组图片中有哪几组图形成轴对称？
【答案】BD
如图，已知四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN对称，∠A＝100°，∠B＝125°，∠C＝80°，∠D＝55°，AB＝3 cm，EH＝4 cm.
(1)试写出EF，AD的长度；
(2)求∠G的度数；
(3)连接BF，线段BF与直线MN有什么关系？
(1)∵四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN对称，且 AB＝3 cm，EH＝4 cm，
∴EF＝AB＝3 cm，AD＝EH＝4 cm.
(2)∵四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN对称，且∠C＝80°，∴∠G＝∠C＝80°.
(3)∵对称轴垂直平分对称点的连线，
∴直线MN垂直平分BF.
三、当堂检测
1．在下列“禁毒”“和平”“志愿者”“节水”这四个标志中，属于轴对称图形的是（B）
2．如图，△ABC与△DEF关于直线MN对称，则以下结论中可能错误的是（A ）
A．AB∥DF B．∠B＝∠E
C．AB＝DE D．MN垂直平分AD
　　 　
第2题图 第3题图
3．如图，一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形ABCD，其中∠B＝40°，∠CAD＝60°，则∠BCD的度数为160°．
(其他课堂拓展题，见配套PPT)
四、课堂小结【板书设计】
学生在形成对轴对称基本认识的同时，探究并得出轴对称的性质，并利用轴对称的性质画出简单平面图形经过轴对称后的图形．以学生的观察、操作、交流性活动为主，学生在活动中进一步发展空间观念和积累数学活动经验．第五章　图形的轴对称
5.2　简单的轴对称图形
第1课时　等腰三角形的性质
　
1．经历探索简单图形轴对称的过程，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念．
2．探索并掌握等腰三角形的轴对称性及其相关性质.
3．通过学生的操作与思考，使学生掌握等腰三角形和等边三角形的轴对称性及其有关性质，从而发展空间观念．
重点：探索等腰三角形、线段、角的轴对称性及其相关性质．
难点：了解等腰三角形、线段、角的轴对称性及其相关性质．
一、导入新课
知识链接
什么是等腰三角形？
两边相等的三角形
创设情境——见配套课件
二、合作探究
探究一：等腰三角形的性质
1．等腰三角形
问题1：等腰三角形(如图5－10，教材P127)是比较常见的图形．你有哪些办法可以得到一个等腰三角形？与同伴交流．
1．折叠法2.尺规画图
问题2：如图，在△ABC中，AB＝AC，则三角形ABC为等腰三角形．它的各个组成部分名称分别是什么？
(1)相等的两条边都叫腰；
(2)另一边叫底边；
(3)两腰的夹角∠A叫顶角；
(4)腰与底边夹角∠B，∠C叫底角．
2．等腰三角形的性质
思考1：(1)等腰三角形是轴对称图形吗？如果是，沿着它的对称轴折叠，你能发现哪些相等的线段和相等的角？
(2)等腰三角形的对称轴是一条怎样的直线？你是如何描述的？
(3)你认为等腰三角形有哪些特征？与同伴交流．
要点归纳：等腰三角形是轴对称图形．
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合(也称“三线合一”)，它们所在的直线就是等腰三角形的对称轴．
等腰三角形的两个底角相等．　
已知一个等腰三角形的底角是顶角的2倍，求它的各个内角的度数．
设这个等腰三角形顶角的度数为x°，则底角度数为2x°.
根据“三角形三个内角的和等于180°”，得
x＋2x＋2x＝180.
解得x＝36.
2×36＝72.
所以这个三角形的三个内角分别为36°、72°、72°.
3．概念辨析
画出任意一个等腰三角形的底角平分线、这个底角所对的腰上的中线和高，看看它们能不能重合？
不能重合
如图5－11(教材P128)，三角形ABC是一个等腰三角形，直线l是它的对称轴．请在△ABC中画出以直线l为对称轴的一组对应点、一组对应线段、一组对应角，你能发现哪些相等的线段、相等的角，以及形状、大小完全相同的图形？
学生自己动手画图，发现规律，为后面课时做铺垫
探究二：等边三角形的特征
思考2：通过学习我们知道等腰三角形的轴对称性及其特征，那么当等腰三角形的腰与底边相等时它是什么三角形？
等边三角形，它是特殊的等腰三角形
(1)等边三角形有几条对称轴？
等边三角形有3条对称轴．
(2)你还能发现它的哪些特征？与同伴进行交流．
要点归纳：等边三角形三个内角都相等，且均为60°；
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或角的平分线所在的直线；
等边三角形每条边上的中线、高线和该边所对的角的平分线互相重合．　
如图是由大小相等的等边三角形组成的图案，请找出它的对称轴．
等腰三角形的一个内角是50°，则这个三角形的底角的大小是(　　)
A．65°或50° B．80°或40°
C．65°或80° D．50°或80°
分类讨论【答案】A
如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，∠CAD＝40°，EF为过点A的一条直线，且EF∥BC，求∠BAE的度数．
在△ABC中，因为AB＝AC，AD为BC边上的中线，
所以AD⊥BC，且AD平分∠BAC，
所以∠ADB＝90°，∠BAD＝∠CAD＝40°，
所以∠B＝50°，
因为EF∥BC，
所以∠BAE＝∠B＝50°.
三、当堂检测
1．在△ABC中，若AB＝AC，∠A＝70°，则∠B的度数为（ C ）
A．70° B．45° C．55° D．65°
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，则下列结论不一定成立的是（ A ）
A．AD＝CD B．∠1＝∠2
C．AD⊥BC D．∠B＝∠C
第2题图 第3题图
3．如图，△ABC为等边三角形，BC⊥CD，AC＝CD，则∠BAD＝135°.
4．已知等腰三角形的一个角为72°，则其顶角的度数为72°或36°.
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，BC＝12.
(1)求∠1的度数；
(2)求∠CDE的度数．
(1)∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝30°.
∵D是BC的中点，∴AD⊥BC.
∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
∴∠1＝90°－∠B＝60°.
(2)∵DE⊥AB，∴∠AED＝90°.
由(1)知∠1＝60°，∴∠ADE＝90°－∠1＝30°.
∴∠CDE＝∠ADE＋∠ADC＝30°＋90°＝120°.
(其他课堂拓展题，见配套PPT)
四、课堂小结【板书设计】
本节课主要认识简单的轴对称图形，由于等腰三角形的轴对称性是最直观、最易于被认知的轴对称图形，所以教科书安排认识轴对称图形先从等腰三角形开始．第五章　图形的轴对称
5.1　轴对称及其性质
第3课时　角平分线的性质
1．从轴对称的性质中，提炼出里面的数学思想，探索并掌握角平分线的性质及尺规作图的画法．
2．由具体的客观事实，转化成抽象的猜想证明，让学生感悟数学思维解决问题的方法．
3．经历猜想、验证、归纳的学习过程，体会归纳的数学思想方法，逐步养成用数学语言表达与交流的习惯．
重点：探索并理解角的平分线的性质
难点：利用轴对称的性质，探索并掌握角平分线的性质
一、导入新课
知识链接
生活中哪些地方有角的身影？请举例说明．
墙角，桌角等
创设情境——见配套课件
二、合作探究
探究一：角的轴对称性
角(如图5－17、5－18，教材P130)是生活中常见的图形．角是轴对称图形吗？如果是，请指出它的对称轴．
学生讨论“角是不是轴对称图形”，思考怎样验证角的轴对称性．
要点归纳：角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴．
强调：角平分线是一条射线，而角的对称轴是角平分线所在的直线．　
探究二：角平分线的性质
思考1：如图5－19(教材P131)，OP是∠AOB的平分线，点C是OP上的任意一点．在∠AOB中画出以OP所在直线为对称轴的一组对应点D和D′，连接CD和CD′.
(1)你认为线段CD和CD′之间有什么关系？说说你的理由．
CD＝CD′，因为∠AOB是轴对称图形，D和D′是对应点，所以CD和CD′是以OP所在直线为对称轴的一组对应线段，所以CD＝CD′.
(2)特别地，当CD⊥OA时(如图5－20，教材P131)，CD′与OB有怎样的位置关系？为什么？此时，线段CD和CD′之间还有(1)中的关系吗？由此你能得到什么结论？
CD′⊥OB，因为∠AOB是轴对称图形，D和D′是对应点，所以∠ODC和∠OD′C是以OP所在直线为对称轴的一组对应角．所以∠ODC＝∠OD′C.因为CD⊥OA，即∠ODC＝90°，所以∠OD′C＝∠ODC＝90°.所以CD′⊥OB.
线段CD和CD′之间还有(1)中的关系．
得到结论：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
验证：你能验证这个结论吗？
已知：如图，∠AOC＝∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.试说明：PD＝PE.
因为PD⊥OA，PE⊥OB，
所以∠PDO＝∠PEO＝90°.
在△PDO和△PEO中，
所以△PDO≌△PEO(AAS).
所以PD＝PE.
要点归纳：
性质：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
应用所具备的条件：
①点在角的平分线上；
②到角两边的距离(垂直).
性质的作用：证明线段相等．
几何语言：
因为OC是∠AOB的平分线，CD⊥OA，CE⊥OB，
所以CD＝CE.　
探究三：利用尺规作角平分线
思考2：如图5－21(教材P131)，已知∠AOB，如何作出它的平分线？
假设∠AOB的平分线已作出，那么
(1)这条射线有什么特征？
(2)如何确定这条射线上除端点之外的一个点？用三角尺、量角器、圆规等工具试一试．如果只用尺规呢？与同伴进行交流．
注意：需要确定的点是角对称轴上的点，因此应当从角两边进行“对称”的操作．
如图5－22(教材P132)，已知∠AOB，请用尺规作∠AOB的平分线．
作法：
1．在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD＝OE(如图5－22，教材P132).
2．分别以点D和点E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内相交于点C.
3．作射线OC.
射线OC就是∠AOB的平分线．
思考3：请你说说这样作图的道理．
角平分线的作图依据是“SSS”
比较：过直线上一点作已知直线的垂线与作一个角的平分线，这两种尺规作图方法有什么共同点？与同伴进行交流．
如图所示，在Rt△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB，垂足为E.DE与DC相等吗？为什么？
DE与DC相等．
因为射线BD是∠ABC的平分线，点D到角两边BA，BC的距离分别是线段DE，DC的长，
所以DE＝DC.
变式训练：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4，AB＝14.
(1)求点P到AB的距离；
(2)求△APB的面积．
存在一条垂线段——构造应用．
(1)如图，过P作PD⊥AB于点D，因为AP平分∠BAC，PD⊥AB，PC⊥AC，所以PD＝PC＝4.
(2)S△APB＝AB·PD＝28.
反思：回顾探究等腰三角形、线段、角的性质的过程，你运用了哪些方法？积累了哪些经验？
三、当堂检测
1．如图，∠C＝90°，∠BAD＝∠CAD，若BC＝11 cm，BD＝7 cm，则点D到AB的距离为4cm.
第1题图 第2题图
2．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，用尺规作图法作出射线AE，AE交BC于点D，CD＝2，P为AB上一动点，则PD的最小值为（ A ）
A．2 B．3 C．4 D．无法确定
(其他课堂拓展题，见配套PPT)
四、课堂小结【板书设计】
学生通过自己动手动脑，得到不同验证角平分线性质的方法，学生在验证自己结论的同时培养了反思、修正、归纳的能力；在描述探究结果的过程中，学生通过有条理的语言表达，进一步提高了数学语言的运用能力，为八年级的推理和严格证明打下坚实基础．第五章　图形的轴对称
1　轴对称及其性质
第2课时　线段垂直平分线的性质
1．经历探索线段的轴对称的性质的过程，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念．
2．探索并掌握线段垂直平分线的基本性质，掌握线段垂直平分线的尺规作图方法．
3．进一步培养学生的逻辑推理能力，感受数学与生活的紧密联系，培养学生学数学、用数学的意识．
重点：理解线段垂直平分线的性质和判定．
难点：能运用线段垂直平分线的性质和判定解决实际问题．
一、导入新课
知识链接
什么样的图形叫作轴对称图形？
如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫作轴对称图形，这条直线叫作对称轴．
创设情境——见配套课件
二、合作探究
探究一：线段的对称性
线段(如教材P128图5－12)是轴对称图形吗？请描述它的对称轴的特点．
学生讨论“角是不是轴对称图形”，思考怎样验证角的轴对称性．
要点归纳：线段是轴对称图形，垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴．
定义：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线(简称中垂线).
探究二：线段垂直平分线的性质
思考1：如图5－13(教材P129)，直线l是线段AB的垂直平分线，点C是l上的任意一点．在线段AB上画出关于直线l成轴对称的点D和D′，连接CD和CD′.
(1)你认为线段CD和CD′之间有什么关系？说说你的理由．
CD＝CD′且关于直线l对称
(2)特别地，当点D与点A重合时，点D′位于什么位置？此时，线段CD和CD′之间还有(1)中的关系吗？由此你能得到什么结论？
点D′与点B重合，CD＝CD′且关于直线l对称
结论：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．
验证：你能验证这个结论吗？
已知：如图，MN⊥AB，垂足为点C，
AC＝BC，点P是直线MN上的任意一点．
试说明：PA＝PB.
解：∵MN⊥AB，
∴∠PCA＝∠PCB＝90°.
在△PCA和△PCB中，
∴△PCA≌△PCB(SAS)，
∴PA＝PB.
要点归纳：性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．
几何语言：
因为点P是线段AB垂直平分线上的一点，
所以AP＝BP.　
探究三：利用尺规作线段的垂直平分线
思考2：如图5－14(教材P129)，已知线段AB，如何作出它的垂直平分线？
假设线段AB的垂直平分线已作出，那么
(1)这条直线有什么特征？
(2)如何确定这条直线上的两个点？用三角尺、量角器、圆规等工具试一试．如果只用尺规呢？与同伴进行交流．
注意：需要确定的点是线段对称轴上的点，因此应当从线段两端进行“对称”的操作．
如图5－15(教材P129)，已知线段AB，请用尺规作线段AB的垂直平分线．
作法：
1．分别以点A和点B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点C和D；
2．作直线CD.直线CD就是线段AB的垂直平分线.
思考3：如图5－16(教材P130)，已知直线l和l上的一点P，如何用尺规作l的垂线，使它经过点P？能说明你的作法的道理吗？
作法：①以点P为圆心，以任意长为半径作弧，与直线l相交于点A，B；
②分别以A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，连接MN即可得出直线l的垂线．
如图，DE垂直平分AC，AB＝12 cm，BC＝10 cm，则△BCD的周长为A
A.22 cm
B．16 cm
C．26 cm
D．25 cm
如图，某地由于居民增多，要在公路l边增加一个公共汽车站，A，B是路边两个新建小区，这个公共汽车站O建在什么位置，能使两个小区到车站的路程一样长(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写画法)
解：连接AB，作AB的垂直平分线交直线l于O，交AB于E.
因为EO是线段AB的垂直平分线，
所以点O到A，B的距离相等．
所以这个公共汽车站应建在O点处，才能使两个小区到车站的路程一样长．
三、当堂检测
1．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA＝3 cm，则线段PB的长为（ D ）
A．6 cm B．5 cm C．4 cm D．3 cm
第1题图 第2题图
2．如图，PC垂直平分线段AB，量得∠A＝40°，那么∠APB的度数为D
A．130° B．120° C．110° D．100°
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6 cm，DE是AB的垂直平分线，△BDC的周长为16 cm，则AB的长为10 cm．
第3题图 第4题图
4．如图，AD垂直平分BC于点D，EF垂直平分AB于点F，交AC于点E，BE＋CE＝20 cm，则AB的长为20 cm．
(其他课堂拓展题，见配套PPT)
四、课堂小结【板书设计】
本课时探索线段的轴对称性．教科书以操作性活动以及“你发现了什么”的问题引入线段的轴对称性，学生在回答“线段是轴对称图形”后，建议要求其说明线段的对称轴的特点，为下面给出垂直平分线的定义做铺垫．第五章　图形的轴对称
☆　问题解决策略：转化
1．通过将新的、陌生的问题转化为已经研究过的、熟悉的问题，发展学生解决问题的能力．
2．经历具体解题思路的探究过程，了解“转化”策略的意义与过程．
3．运用“转化”策略解决生活情境中的几何问题，进一步体会“转化”策略的应用价值，增强数学的应用意识，提高学生的分析问题、解决问题的能力与几何推理能力．
重点：理解“转化”策略的价值，初步掌握转化的方法和技巧．
难点：运用“转化”的策略解决实际问题。
一、导入新课
知识链接
观察图形，回答问题：
这两个图形的形状有什么特别的吗？看图后你能提出什么数学问题？
形状不同，面积相同．
你猜测它们的面积有什么关系？你能说明理由吗？
利用图片，可以通过折一折、剪一剪、数一数等方法，把不规则图形转化为规则图形来求．
创设情境——见配套课件
二、合作探究
探究一：线段和“最短”问题
阅读教材P136问题，分小组进行下列活动．
活动1：如果把大门、车间和储物点所在的位置都看作点，把道路看作一条直线，那么上述问题可以抽象成怎样的数学问题？试着写一写、画一画．
问题1：你以前遇到过类似的问题吗？关于“最短”，你有哪些认识？
问题2：相信你能解决以下问题：
如图(教材P136，图5－24)，直线l的两侧分别有A，B两点，在直线l上确定一个点C，使AC＋CB最短．原问题与图中这个问题有什么区别和联系？你能将原问题转化为图中这样的问题吗？说说你的想法．
要点归纳：
异侧两点求线段和最小值 同侧两点求线段和最小值
已知：两定点A，B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使PA＋PB的值最小 已知：两定点A，B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使PA＋PB的值最小
结论1：连接AB交直线l于点P，此时PA＋PB的值最小，最小值为AB的长 结论2：作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′，交直线l于点P，此时PA＋PB的值最小，最小值为AB′的长
　
探究二：转化在代数中的应用
活动2：利用学过的知识计算：＋＋＋＋＋，你准备怎样解决这个问题？分小组讨论，展示过程和答案．
方法一：通分转化，都变成分母是64的分数．
方法二：式子中每个分数的分子都是1，分母依次乘2，转化为边长为1的正方形，如图所示，涂色部分的面积可以用1减去空白部分的面积，1－＝.
要点归纳：1.运用“转化”策略，可以化繁为简，化难为易，化不熟悉为熟悉．
2．转化思想的方法和步骤：分析问题，找到转化点；确定转化方法；进行转化；解决问题．　
思考：展示课前知识链接的问题．
其实“转化”的策略并不神秘，在我们以前的学习中就曾经很多次运用了“转化”的策略，你能回想出哪些呢？
①三角形(梯形)面积→平行四边形面积→长方形面积
②圆形→长方形(三角形、梯形)
③小数乘法→整数乘法
④分数除法→分数乘法
……
除了学过的数学知识，我们生活中也有很多这样的问题，同学们可以讨论交流自己遇到的运用转化解决的问题．
下面的推导过程中，运用“转化”思想的是（ D ）
A．①和② B．②和③ C．①和③ D．①②③
如图，已知牧马营地在M处，每天牧马人要赶马群先到河边饮水，再到草地上吃草，最后回到营地，请你为牧马人设计出最短的牧马路线．(保留画图痕迹)
分别作M关于河与草地所在直线的对称点，记为M′、M″，连接M′M″交河与草地所在直线于P和Q.
由对称性知，PM＝PM′，QM＝QM″，
∴MP＋PQ＋MQ＝PM′＋PQ＋QM″＝M′M″.
∴MP－PQ－QM即为最短路线．
三、当堂检测
教材P138习题T1－4.
(其他课堂拓展题，见配套PPT)
四、课堂小结【板书设计】
转化是一种常见的、极其重要的解决问题的策略，转化是把一个复杂问题变更为一类已经解决或比较容易解决的问题，从而使原问题得以解决的一种策略，转化的关键是要能根据具体的问题，确定转化后要实现的目标和具体的转化方法．教材分别安排空间与图形领域和数与代数领域的实际问题，引导学生用转化的策略加以解决．

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