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数学北师大版（2024）七年级下册
第一章 整式的乘除
1.3 乘法公式
第1课时 平方差公式
一、教学目标
1.能根据多项式的乘法法则推导出平方差公式，理解平方差公式的结构特征，并能正确运用公式进行计算.
2.在探索平方差公式的过程中，发展学生的符号感和推理能力，培养学生观察、归纳、概括等能力.
3.在探索平方差公式的过程中，感悟从一般到特殊、从具体到抽象地研究问题的方法.
4.在探究过程中发现规律，并能用符号表示，感受数学的严谨性，体会数学的简洁美.
二、教学重难点
重点：掌握平方差公式的推导过程，并能正确运用公式进行计算.
难点：理解平方差公式的结构特征，能灵活运用公式.
三、教学过程设计
环节一 创设情境
【复习回顾】
问题：多项式与多项式是如何相乘的？
预设答案：
多项式与多项式相乘
(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq
多项式与多项式相乘的法则：
先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
教师活动：引导学生回顾多项式乘以多项式的计算法则，待学生回答后，教师可举两个简单的例子，让学生一起计算.
如：(a+b) (m+n)= am+an+bm+bn
(x+3) (x+5)=x2+8x+15.
　　设计意图：通过复习回顾熟悉已学知识，为新知识的学习作准备.
环节二 探究新知
【探究】
教师活动：先给出式子让学生计算出结果，然后通过追问引导学生发现这些等式的规律，得出平方差公式.
问题1：计算下列多项式的积，看谁算得又快又对？
(1) (x+2)(x2) = = ；
(2) (1+3a)(13a) = = ；
(3) (x+5y)(x5y) = = ；
(4) (2y+z)(2yz) = = .
预设答案：
(1) (x+2)(x2) =x22x+2x4= x24；
(2) (1+3a)(13a) =13a+3a9a2=19a2；
(3) (x+5y)(x5y) =x25xy+5xy25y2= x225y2；
(4) (2y+z)(2yz) =4y22yz+2yzz2=4y2z2.
设计意图：让学生通过多项式相乘的运算法则计算出结果，由熟悉的知识入手，提高学习积极性.
观察上面的等式，你能发现什么规律？
追问1：下列问题中相乘的两个多项式有什么共同点？
(1) (x+2)(x2) = x24；
(2) (1+3a)(13a) =19a2；
(3) (x+5y)(x5y) = x225y2；
(4) (2y+z)(2yz) =4y2z2.
预设答案：均为相同的两个数的和、两个数的差的形式.
追问2：相乘的两个多项式的各项与它们积中的各项又有什么关系呢？
预设答案：两个多项式的积恰好是这两个多项式中相同的两个数的平方差.
追问3：根据发现的规律你能得出什么结论吗？用式子表示出来.
预设答案：猜想(a+b)(ab)=a2b2
追问4：你能再举两个例子，验证你发现的规律吗？
预设答案：
(1) (m+1)(m1) =m2m+m1=m212
(2) (2n+3)(2n3) =4n26n+6n9=4n29
=(2n)232
设计意图：通过追问引导学生发现等式的规律，培养学生的观察分析能力.
追问5：你能对发现的规律进行推导吗？
小组合作：
1.独立思考，完成验证；
2.两人一组，交流思路，完善过程.
推导过程：
(a+b)(ab)
=a2ab+abb2
=a2b2
平方差公式：(a+b)(ab)=a2b2
两数和与这两数差的积，等于它们的平方差.
设计意图：通过合作探究培养学生的合作意识，并让学生感知从一般到特殊的研究问题的方法.
【做一做】
下列式子是否能用平方差公式计算，如果能，请计算出结果.
(1) (x 3y)(x+3y)
(2) (a 2b)(2b a)
(3) (2ab)(b+2a)
(4) (a+2)(2 a)
预设答案：(1) 能，(x 3y)(x+3y)= x2(3y)2= x29y2；
(2) (a 2b)(2b a)= (a 2b) (a 2b)，不能，不存在相反的项；
(3) (2ab)(b+2a)= (2ab)(2ab)，不能，不存在相反的项；
(4) 能，(a+2)(2 a)=(2+a)(2 a)=22a2= 4a2.
【归纳】
平方差公式的特征：
(1)等号左边是两个二项式的积，且这两个二项式中有一项为相同项，另一项为相反项.
(2)等号右边是相同项的平方减去相反项的平方.
(3)公式中的字母可以表示具体的数，也可以表示单项式或多项式等式子.
设计意图：通过归纳平方差公式的特征，培养学生的观察分析能力和归纳概括能力.
环节三 应用新知
【典型例题】
【例1】利用平方差公式计算：
(1) (5+6x)(56x)；
(2) (x2y)(x+2y)；
(3) (m+n)(mn).
分析：关键是确认平方差公式中的a，b分别代表什么.
解： (1) (5+6x)(56x)=52(6x)2=2536x2；
(2) (x2y)(x+2y)=x2(2y)2= x24y2；
(3) (m+n)(mn)=(m)2n2=m2n2.
提问：你还有其他的计算方法吗？
小总结：所有的可应用公式的乘法，都可以用一般的多项式乘法法则来计算.
【例2】利用平方差公式计算：
(1) (xy)(x+y)；(2) (ab+8)(ab8).
分析：(1)中既可以直接使用平方差公式进行计算，也可以每个括号里提出一个负号后，再用平方差公式计算.
解：(1) (xy)(x+y)=(x)2y2=x2y2；
或(xy)(x+y)=(x+y)(xy)=(x)2y2=x2y2；
(ab+8)(ab8) =(ab)282=a2b264.
【想一想】
(ab)(ab)等于什么？你是怎样做的？
提示：能用平方差公式计算吗？
预设答案：
方法一：(ab)(ab)=(b+a)(ba)
=(b)2a2=b2a2；
方法二：(ab)(ab)=(a+b)(ab)
=(a2b2)= b2a2.
教师活动：引导学生思考并计算，待学生完成计算后，教师汇总并补充，得出结论，教师可适当追问，还有其他的计算方法吗？使学生理解，还可以运用多项式乘多项式的法则计算.
设计意图：让学生在应用过程中进一步加深对平方差公式的认识和理解，培养学生的应用意识.
环节四 课堂练习
　1.下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？
　(1) (x+2)(x2)=x22
　(2) (3a2)(3a2)=9a24
　2.计算：
　(1) (5mn)(5mn)
　(2) (2ab)(b2a)
　(3) (3x+2)(2x3)
　(4) (4k+3)(4k3)
　3. (a+3)(a2+9)(a3) 的计算结果是（ ）
　A. a4+81 B. a481 C. a481 D. 81a4
　答案：
　1. 解：(1)正确；
　 (2)错误，(3a2)(3a2)=49a2.
　2.解： (1) (5mn)(5mn)
　=(n)2(5m)2
　=n225m2；
(2) (2ab)(b2a)
=(b)2(2a)2
=b24a2；
(3) (3x+2)(2x3)
=6x29x+4x6
=6x25x6；
(4) (4k+3)(4k3)
=(4k)232
=16k29.
3. C
解：(a+1)(a1)(a2+1)
=(a21)(a2+1)
=a41
设计意图：通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.
环节五 总结归纳
　　思维导图的形式呈现本节课的主要内容：
设计意图：通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识.

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