资源简介

数学北师大版（2024）七年级下册
第一章 整式的乘除
1.3 乘法公式
第2课时 平方差公式的几何解释
一、教学目标
1.通过拼图游戏，给出平方差公式的几何解释，发展运用几何直观的能力．
2.在利用几何图形的面积验证公式的过程中，了解平方差公式的几何意义，感知数形结合的思想．
3.在探索平方差公式的过程中，感悟从一般到特殊、从具体到抽象地研究问题的方法．
4.在探究过程中发现规律，并能用符号表示，感受数学的严谨性，体会数学的简洁美.
二、教学重难点
重点：掌握平方差公式及其几何意义，并能正确运用公式进行计算.
难点：理解平方差公式的结构特征，能灵活运用公式.
三、教学过程设计
环节一 创设情境
【复习回顾】
问题1：什么是平方差公式？它有什么特点？
预设答案：平方差公式
两数和与这两数差的积，等于它们的平方差.
即(a+b)(ab)=a2b2
平方差公式的特征：
(1)等号左边是两个二项式的积，且这两个二项式中有一项为相同项，另一项为相反项.
(2)等号右边是相同项的平方减去相反项的平方.
(3)公式中的字母可以表示具体的数，也可以表示单项式或多项式等式子.
设计意图：通过复习平法差公式及其特点，为新知识的学习作准备.
环节二 探究新知
【观察思考】如图，边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，你能表示图中阴影部分的面积吗？
【合作探究】
问题2：如何计算阴影部分的面积？
教师活动：提出问题，引导学生先独立思考，完成验证，然后小组合作，交流思路，完善过程.
预设答案：S阴影=S大正方形S小正方形
=a2b2
追问1：小颖将阴影部分拼成了一个长方形 (如图)，这个长方形的长和宽分别是多少 你能表示出它的面积吗
预设答案：这个长方形的长为：a+b，宽为：ab，S阴影=长×宽=(a+b)(ab).
设计意图：让学生通过计算图形面积入手，提高学习积极性，培养学生自主探究解决问题的能力.
追问2：比较两种计算结果，你能验证平方差公式吗
预设答案：两种计算方法都是表示阴影部分的面积，由面积相等，可得：(a+b)(ab)=a2b2.
教师活动：引导学生思考，并由面积相等验证平方差公式，使学生明确这就是平方差公式的几何意义.
设计意图：利用几何图形的面积验证平方差公式，让学生从不同的角度理解这一公式，了解平方差公式的几何意义，并让学生感知数形结合的思想.
追问3：是否还有其它的剪拼方法来证明？
预设答案：
S阴影=长×宽=(a+b)(ab).
教师活动：让学生独立思考后，进行展示，如上图，可以沿大正方体的一条对角线剪开，得到两个直角梯形，再把这两个直角梯形拼成一个长为a+b，宽为ab的长方形，也可以验证平方差公式.
设计意图：培养学生的发散性思维，举一反三，学会从多种角度思考并解决问题.
【归纳】
平方差公式：(a+b)(ab)=a2b2
几何意义：
总结：使用平方差公式计算时，一定程度上可以简化计算.
设计意图：通过归纳，培养学生的观察分析能力和归纳概括能力.
环节三 应用新知
【例1】用平方差公式进行计算：
(1) 103×97；(2) 118×122.
分析： (1) 103×97=(100+3)(1003)
(2) 118×122=(1202)(120+2)
解： (1) 103×97
=(100+3)(1003)
=100232
=9991；
(2) 118×122
=(1202)(120+2)
=120222
=14396.
设计意图：让学生在应用过程中进一步加深对平方差公式的认识和理解，培养学生的应用意识.
【例2】计算：
(1) a2(a+b)(ab)+a2b2；
(2) (2x5)(2x+5)2x(2x3)
提示：只有符合公式条件的乘法，才能运用公式简化运算，其余的运算仍按乘法法则进行.
解：(1) a2(a+b)(ab)+a2b2；
=a2(a2b2)+a2b2
=a4a2b2+a2b2
=a4；
(2) (2x5)(2x+5)2x(2x3)
=(2x)2252x(2x3)
=4x225 4x2+6x
=6x25.
设计意图：让学生在应用过程中进一步加深对平方差公式的认识和理解，并让学生明白只有符合公式条件的乘法或者能变形成满足平方差公式特征的式子，才能运用公式简化运算.
【想一想】
问题3：计算下列各组算式，并观察它们的共同特点.
预设答案：
追问1：从以上过程中，你发现了什么规律？
预设答案：
(1)每组的两个算式，上面算式中的两个因数，都是下面算式的因数分别减1，加1得到的；
(2)每组的两个算式，上面算式的结果+1=下面算式的结果.
追问2：请用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗？
预设答案：(a+1)(a1)=a21.
问题4：你能快速说出下面式子的答案吗？
201×199= 1003×997=
解：201×199
=(200+1)(2001)
=200212
=3999
1003×997
=(1000+3)(10003)
=1000232
=999991
设计意图：通过让学生计算、观察、归纳、验证，让学生感知从一般到特殊的研究问题的方法.
环节四 课堂练习
1. 利用平方差公式计算：
(1) 598×602； (2) 1999×2001.
2.计算：
(1) (y+2)(y2)(y1)(y+5)；
(2) (4x+3)(4x3)(3x+2)(2x3)
3. 计算：(ab)(a+b)(3a2b)(3a+2b).
答案：
1. 解：(1) 598×602
=(6002)× (600+2)
=600222
=359 996
(2) 1999×2001
=(20001)×(2000+1)
=20002 12
=3 999 999
2. 解：(1) (y+2)(y2)(y1)(y+5)
=y222(y2+5yy5)
=y24y24y+5
=4y+1
(2) (4x+3)(4x3)(3x+2)(2x3)
=(4x)232(6x29x+4x6)
=16x296x2+9x4x+6
=10x2+5x3
3. 解：(ab)(a+b)(3a2b)(3a+2b)
=a2(b)2(3a)2+(2b)2
=a2b29a2+4b2
=8a2+b2.
设计意图：通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.
环节五 总结归纳
思维导图的形式呈现本节课的主要内容：
设计意图：通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识.

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