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数学北师大版（2024）七年级下册
第一章 整式的乘除
1.3 乘法公式
第3课时 完全平方公式
一、教学目标
1.能根据多项式的乘法法则推导出完全平方公式，理解完全平方公式的结构特征，并能正确运用公式进行计算．
2.了解(a±b)2=a2 ±2ab+b2的几何背景，发展几何直观．
3.在探索完全平方公式的过程中，发展学生的符号感和推理能力，培养学生观察、归纳、概括等能力．
4.在探究过程中发现规律，并能用符号表示，感受数学的严谨性，体会数学的简洁美.
二、教学重难点
重点：掌握完全平方式的推导过程，并能正确运用公式进行计算.
难点：理解完全平方公式的结构特征，能灵活运用公式.
三、教学过程设计
环节一 创设情境
【复习回顾】
问题1：多项式与多项式是如何相乘的？
预设：
多项式与多项式相乘：(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq
多项式与多项式相乘的法则：
先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
教师活动：引导学生回顾多项式乘以多项式的计算法则，待学生回答后，教师可举两个简单的例子，让学生一起计算.
如：(a+b) (m+n)= am+an+bm+bn
(x+3) (x+3)=x2+6x+9.
问题2：平方差公式是怎样的呢？
预设：(a+b)(ab)=a2b2
两数和与这两数差的积，等于它们的平方差.
小游戏：比一比谁算的更快
152=？ 252=？ 352=？
452 =？ 552 =？ 652 =？…
设计意图：通过复习回顾熟悉已学知识，为新知识的学习作准备，激发学生的学习兴趣，调动积极性.
环节二 探究新知
【探究】
教师活动：先给出式子让学生计算出结果，然后通过追问引导学生发现这些等式的规律，得出完全平方公式.
问题1：计算下列各式，看谁算得又快又对？
(m+3) = =
= = ；
(2+3x) = =
= = .
预设：
(1)(m+3) =(m+3)(m+3)
=m +3m+3m+9=m2+6m+9
(2)(2+3x) =(2+3x)(2+3x)
=2 +2×3x+2×3x+9x2= 4+12x+9x
设计意图：让学生通过多项式相乘的运算法则计算出结果，由熟悉的知识入手，提高学习积极性.
观察上面的等式，你能发现什么规律？
追问1：原算式有什么共同点？
(1)(m+3) =(m+3)(m+3)=m2+6m+9
(2)(2+3x) =(2+3x)(2+3x)= 4+12x+9x
预设：均为两个数的和的平方.
追问2：原算式中的各项与它们结果中的各项有什么关系？
(1)(m+3) =(m+3)(m+3)
=m +3m+3m+9
(2)(2+3x) =(2+3x)(2+3x)
=2 +2×3x+2×3x+9x2
预设：两个数的和的平方，恰好是这两个数的平方和，加上这两个数的积的2倍.
设计意图：通过追问引导学生发现等式的规律，培养学生的观察分析能力.
追问3：根据发现的规律你能得出什么结论吗？用式子表示出来.
预设：猜想(a+b)2=a2+2ab+b2
追问4：你能再举两个例子，验证你发现的规律吗？
预设答案：
(m+1)2=(m+1)(m+1)
=m2+m+m+1
=m2+2m+1
(2) (3n+4) =(3n+4)(3n+4)
=9n2+12n+12n+16
=9n2+24n+16
追问5：你能对发现的规律进行推导吗？
小组合作：
1.独立思考，完成验证；
2.两人一组，交流思路，完善过程.
推导过程：
(a+b) =(a+b)(a+b)
=a2+ab+ab+b2
=a2+2ab+b2
完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2
两数和的平方，等于它们的平方和加上它们的积的2倍.
设计意图：通过合作探究培养学生的合作意识，并让学生感知从一般到特殊的研究问题的方法.
【想一想】
你能用下图解释(a+b)2=a2+2ab+b2这一公式吗？
预设：
(a+b)2=a2+2ab+b2
设计意图：利用几何图形的面积解释完全平方公式，让学生从不同的角度理解这一公式，了解完全平方公式的几何意义，并让学生感知数形结合的思想.
【议一议】
(a b)2=？你是怎样做的？
预设：
方法一：(a b)2=(a b)(a b) =a2 ab ab+b2
=a2 2ab+b2
方法二：(a b)2=[a+( b)]2
=a2+2a( b)+( b)2
=a2 2ab+b2
教师活动：引导学生思考并计算，待学生完成计算后，教师汇总并补充，得出结论，教师可适当追问，还有其他的计算方法吗？使学生理解，还可以运用多项式乘以多项式的法则计算.
归纳：
完全平方公式(a b)2=a2 2ab+b2
两个数的差的平方，等于它们的平方和，减去它们的积的2倍.
设计意图：引导学生类比探究两数和的情况，探究两数差的情况，从而得到两数差的完全平方公式.
【做一做】
请你设计一个图形解释(a b)2=a2 2ab+b2这一公式.
预设：
(a b)2=a2 2(a b)b b2
=a2 2ab+b2
设计意图：类比“两数和”的情况，引导学生能够利用几何直观对这一结果进行解释.
【归纳】
完全平方公式
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a b)2= a2 2ab+b2
完全平方公式的特征：
(1)公式的左边是两个相同的二项式相乘；
(2)公式的右边都是二次三项式；
(3)首尾两项分别是二项式两项的平方，中间一项是二项式两项积的2倍；
(4)公式中的字母a、b可以表示数、单项式或多项式.
设计意图：通过归纳完全平方公式的特征，培养学生的观察分析能力和归纳概括能力.
环节三 应用新知
【典型例题】
教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，教师巡视，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.
【例1】利用完全平方公式计算：
(1) (2x3) ；
(2) (4x+5y) ；
(3) (mna) .
分析：关键是确认完全平方公式中的a，b分别代表什么.
解： (1) (2x3) =(2x)22·2x·3+32
=4x212x+9；
(2) (4x+5y) =(4x)2+2·4x·5y+(5y)2
=16x2+40xy+25y2；
(3) (mna)=(mn) 2·mn·a+a2
=m n ma+a2
设计意图：让学生在应用过程中进一步加深对完全平方公式的认识和理解，培养学生的应用意识.
【回顾思考】
回顾借助几何图形解释或分析问题的过程，对于形与数的联系，你有哪些感悟
预设答案：几何图形提供了一种直观的方式来理解和解释数学公式.
平方差公式和完全平方公式可以通过图形如正方形、长方形和它们的切割、重组来直观展示.通过几何图形的解释，我们可以将复杂的代数表达式转化为直观的图形，也可以从几何图形中抽象出数学公式和定理.
环节四 课堂练习
教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.
1.运用完全平方公式计算：
(1) (x2y)2 (2) (2y+)2
(3) (n+1)2 -n
解：
(n+1) n = n2+2n+1 n2==2n+1.
2.图1是一个长为2a，宽为2b(a＞b)的长方形，用剪刀沿图中的线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图2那样拼成一个正方形，则中间空余的部分的面积是( )
A. ab B. (a+b)2 C. (ab)2 D. a2b2
答案：C.
3.一个圆的半径长为r(r>2)cm，减少2 cm后，这个圆的面积减少了多少？
解：πr2 - π(r-2)2
=πr2 -π(r2 -4r+4)
=πr2 -πr2 +4πr-4π
=4π(r-1) cm
答：这个圆的面积减少了4π(r-1) cm .
4.若x2+kx+81=(x9)2，则k=________．
解： ∵ x2+kx+81=(x±9)2
∴ x2+kx+92=x2±18x+92
∴ k=±18
设计意图：通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.
环节五 总结归纳
思维导图的形式呈现本节课的主要内容：
设计意图：通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识.

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