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数学北师大版（2024）七年级下册
第一章 整式的乘除
1.3 乘法公式
第4课时 完全平方公式的运用
一、教学目标
1.进一步巩固(a±b)2=a2±2ab+b2，能运用完全平方公式进行一些有关数的简便运算.
2.能综合运用完全平方式与平方差公式进行有关的计算.
3.进一步熟练乘法公式，提高最基本的运算技能，并且明白每一步的算理.
4.提高合作交流意识和创新精神，提高学习数学的兴趣.
二、教学重难点
重点：能运用完全平方公式进行一些有关数的简便运算.
难点：能综合运用完全平方式与平方差公式进行有关的计算.
三、教学过程设计
环节一 创设情境
【复习回顾】
问题1：平方差公式是怎样的呢？
预设：(a+b)(ab)=a2b2
两数和与这两数差的积，等于它们的平方差.
问题2：完全平方公式又是怎样的呢？
预设：
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a b)2= a2 2ab+b2
两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.
设计意图：通过复习回顾熟悉已学知识，为新知识的学习作准备.
环节二 探究新知
【思考】怎样计算1022和1972更简便呢？
分析：102=100+2可以改写成(100+2)2，197=200-3可以改写成(200-3)2，再利用完全平方式进行求解.
预设：
(1) 1022=(100+2)2=10000+400+4=10404.
(2) 1972= (200–3)2=40000–1200+9=38809.
归纳：完全平方公式用于简便运算时，关键是找到与原数接近的类似整十、整百的数，再将原数变形成(a+b)2 或者(a-b)2的形式，使之符合公式的特点，再用完全平方公式进行求解．
设计意图：让学生学会利用完全平方公式进行数的平方简便运算，并与学生一起归纳总结计算的基本思路.
【想一想】下列式子你是怎样计算的呢？
(1) (m+n+1)(m+n-1)
(2) (-m+n-1)(m+n-1)
教师引导学生将m+n和n-1看作是一个整体即看作是一项，然后再利用平方差公式和完全平方公式进行计算.
预设：
(1) (m+n+1)(m+n-1)
=[(m+n)+1][ (m+n)-1]
=(m+n)2-12
=m2+2mn+n2-1
(2) (-m+n-1)(m+n-1)
=[(n-1)+m][(n-1)+m]
=(n-1)2-m2
=n2-2n-m2+1
归纳：可通过添括号变形成平方差公式的形式，将其中某一部分看作一项，再利用平方差公式和完全平方公式求解.
设计意图：使学生进一步熟悉乘法公式的运用，初步体会完全平方公式中字母a，b的含义是很广泛的，它可以是数，也可以是整式，并归纳总结计算的基本思路.
环节三 应用新知
【典型例题】
教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，教师巡视，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.
【例1】计算：
(1) (x+3)2-x2；
(2) (a+b+3)(a+b-3)；
(3) (x+5)2-(x-2) (x-3)；
(4) [(a+b)(a-b)]
分析：(1)直接利用完全平方公式求解即可.
(2)直接利用完全平方公式和多项式乘法展开，再去括号合并同类项即可.
(3)把a+b看作整体(一项)，再利用平方差公式求解即可.
(4)先利用平方差公式，再利用完全平方公式求解即可
解：(1)原式= (x+3)2-x2
= x2+6x+9－x2
=6x+9
(2)原式= x2+10x+25-(x2-5x+6)
=x2+10x+25-x2+5x-6
= 15x+19
(3)原式= [(a+b)+3][(a+b)-3]
= (a+b)2-32
=a2+2ab+b2－9.
(4)原式=(a2-b2)2= a4－2a2b2+b4
【例2】已知a2＋b2＝13，ab＝6，求(a＋b)2，(a-b)2的值.
分析：将两数的和(差)的平方式展开，产生两数的平方和与这两数积的两倍，再将条件代入求解．
解：因为a2＋b2＝13，ab＝6，
所以(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab＝13＋2×6＝25；
(a-b)2＝a2＋b2-2ab＝13-2×6＝1.
【归纳】常见的完全平方公式的变形
设计意图：使学生进一步熟悉乘法公式的运用，同时进一步体会完全平方公式中字母a，b的含义是很广泛的，它可以是数，也可以是整式.
【观察思考】
观察下图，你认为(m+n)×(m+n)点阵中的点数与m×m点阵n×n点阵中的点数之和一样多吗 请用所学的公式解释自己的结论.
预设答案：观察图形知，(m+n)×(m+n)点阵中的点数有(m+n)(m+n)=m +2mn+n ，
m×m点阵中的点数有m·m=m ，n×n点阵中的点数有n·n=n ，m +2mn+n ≠m +n
不一样多.
环节四 课堂练习
教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.
1.将9.52变形正确的是(　　)
A.9.52=92+0.52
B.9.52=(10+0.5)(10-0.5)
C.9.52=102-2×10×0.5+0.52
D.9.52=92+9×0.5+0.52
答案：C.
2.利用整式乘法公式计算：
(1) 96 ； (2) (a-b-3)(a-b+3)
解：(1)原式= (100-4)2=1002-2×100×4+42
=10000-800+16=9216.
(2)原式= [(a-b)-3][(a-b)+3]
= (a-b)2-32
=a2-2ab+b2-9.
3.一个底面是正方形的长方体，高为6cm，底面正方形边长为5cm，如果它的高不变，底面正方形边长增加了a cm，那么它的体积增加了多少？
解：依题意得：(a+5)2×6 - 52×6
=(a2+10a+25)×6 -25×6
=6a2+60a+25×6-25×6
=6a2+60a (cm3)
答：长方体的体积增加了6a2+60a cm3 .
4.若a+b=5，ab=-6，求a2+b2，a2-ab+b2.
解：因为a+b=5，ab=-6，
所以a2+b2= (a+b)2 -2ab
=52-2×(-6) =25+12 =37.
a2-ab+b2=(a2+b2)-ab=37-(-6)=43.
设计意图：通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.
环节五 总结归纳
思维导图的形式呈现本节课的主要内容：
设计意图：通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识.

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